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2023-2024学年广东省佛山市南海九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．ax2+bx+c＝0D．（x﹣1）（x+2）＝1
2．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．标准大气压下，水的沸点为100℃
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环
C．佛山10月17日的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对边相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
4．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25D．x+x（1+x）＝25
5．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点（ ）
A．B．C．D．
6．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（ ）
A．2026B．2023C．2020D．2017
7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．2或5D．9或12
8．满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时
（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD；
（2）摆成如图2所示的四边形；
（3）____，矩形窗框制作完成．
下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）
A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
9．黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记（ ）只．
A．B．C．D．
10．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使B落在CD上点H处，连接BP、BH，则下列结论一定成立的是（ ）
①AE+CH＝FH；
②BP＝BH；
③AP+CH＝PH；
④PE+PG+EG＝HD．
A．①③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程是 ．
12．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 个．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE＝5，则菱形的周长为 ．
14．若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，则称其为“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2023能取得最大值是 ．
15．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题每小题10分，共24分.
16．解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
17．“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明），2，3的三个小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．
（1）小明摸到小球的编号为2的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB（不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题：
（1）本次接受抽样调查的总人数是 人；
（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；
（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法
20．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，一天可以多售出10个．
（1）售价为85元时，当天的销售量是 个；
（2）如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？
（3）若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？
21．动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，点C的对应点C′恰好落在边AB的中点处，折痕DE交BC于点E
（1）探究一：判断四边形CDC′E的形状，并说明理由；
（2）探究二：若BC＝10，四边形CDC′E的对角线之和为14，求四边形CDC′E的面积．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．已知实数a，b，c，其中b，c满足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．
（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一个相同的实数根x1；
（2）求证：x2是方程2x2+ax+2＝0的实数根；
（3）求实数a，b，c的值．
23．综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E
（1）当BE＝BF时，旋转角∠COF为 度；
（2）若点C（﹣2，4），求点B坐标与BF的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，将△OCN与△OAN的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，CO＝m，CF＝n，请猜想S、m与n的数量关系
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．ax2+bx+c＝0D．（x﹣1）（x+2）＝1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程）判断即可．
解：A、一元二次方程首先必须是整式方程；
B、是二元二次方程；
C、当a＝0时，故本选项不符合题意；
D、去括号得：x2+x﹣8＝1，是一元二次方程；
故选：D．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，解题的关键是明确一元二次方程满足条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
2．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．标准大气压下，水的沸点为100℃
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环
C．佛山10月17日的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
解：A、标准大气压下，是必然事件；
B、杭州亚运会上射击运动员射击一次，是随机事件；
C、佛山10月17日的最高温度为35℃，不符合题意；
D、用长为10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对边相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．
解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质；
B．对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质；
C．对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质；
D．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
4．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25D．x+x（1+x）＝25
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝25即可．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝25，
即（5+x）2＝25，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
5．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据概率公式求解即可．
解：观察图形可知，阴影部分是大圆面积的一半．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
6．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（ ）
A．2026B．2023C．2020D．2017
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
解：∵x＝m是x2+x+1＝6的一个根，
∴m2+m＝﹣1，
∴﹣6m2﹣3m+2023＝﹣4（m2+m）+2023＝﹣3×（﹣8）+2023＝2026，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．2或5D．9或12
【答案】B
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，有三角形的三边关系，2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．
解：x2﹣7x+10＝7，
（x﹣2）（x﹣5）＝2
∴x1＝2，x4＝5．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是5，底边是5，
周长为：5+5+5＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．
8．满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时
（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD；
（2）摆成如图2所示的四边形；
（3）____，矩形窗框制作完成．
下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）
A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
【答案】C
【分析】根据矩形的判定定理分析判断即可．
解：∵AB＝CD，EF＝GH，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．将直角尺紧靠窗框一个角，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形；
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等，
根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形；
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直，
此时无法判定四边形是矩形，符合题意；
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等，
此时可以证明对角线相等，可知四边形ABCD是矩形．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的判定，熟练运用矩形的判定定理是解题的关键．
9．黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记（ ）只．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】n只梅花鹿，发现其中k只有标记，说明在样本中有标记的占到，而在整体中有标记的共有m只，根据所占比例即可解答．
解：根据题意得：
m÷＝（只）．
即估计这个地区的梅花鹿的数量约有只．
故选：C．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，解题的关键是算出n只梅花鹿有标记的占的百分比．
10．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使B落在CD上点H处，连接BP、BH，则下列结论一定成立的是（ ）
①AE+CH＝FH；
②BP＝BH；
③AP+CH＝PH；
④PE+PG+EG＝HD．
A．①③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】B
【分析】作EM⊥BC于点M，证明△MEF≌△CBH（ASA），推出MF＝CH，可证明①正确；CH与AP不一定相等，则BP与BH不一定相等，故证明②不一定成立；作BI⊥PH于点Ⅰ，证明△IHB≌△CHB（AAS），推出IB＝CB，IH＝CH，再证明Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），推出AP＝IP，可证明③正确；推出PE+PG+EG＝GI，证明GI＝DH，可证明④正确．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC，
如图1，作EM⊥BC于点M，
∴EM＝AB＝BC，AE＝BM，
由折叠的性质得BH⊥EF，BF＝FH，
∴∠MEF＝90°﹣∠MFE＝∠CBH，
∴△MEF≌△CBH（ASA），
∵MF＝CH，
∴AE+CH＝BM+FM＝BF＝FH；故①正确；
∵AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴BP与BH不一定相等，故②不一定成立；
如图2，作BI⊥PH于点I，
由折叠的性质得FH⊥PH，
∴BI∥FH，
∴∠FHB＝∠HBI＝∠HBF，BH＝BH，
∴△IHB≌△CHB（AAS），
∴IB＝CB，IH＝CH，
∵AB＝BC，
∴IB＝AB，
∴∠A＝∠BIP＝90°，BP＝BP，
∴Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），
∵AP＝IP，
∴AP+CH＝IP+IH＝PH，故③正确；
由折叠的性质得GH＝AB，AE＝EG，
∵PI＝PA＝PE+AE＝PE+EG，
∴PE+PG+EG＝GI，
∵IH＝CH，GH＝AB，
∴PE+PG+EG＝HD，故④正确；
综上，①③④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程是 x2﹣2x+1＝0 ．
【答案】x2﹣2x+1＝0．
【分析】写出一个一元二次方程，使它的判别式等于0即可．
解：x2﹣2x+4＝0有两个相等的实数解．
故答案为x2﹣7x+1＝0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 24 个．
【答案】24．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，用频率估计概率可知黄色球的数量为总数乘以其所占百分比．
解：根据题意得：
60×（1﹣20%﹣40%）＝24（个），
答：此推测口袋中黄球的个数是24个．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE＝5，则菱形的周长为 40 ．
【答案】40．
【分析】解法一：根据OE是△BCA的中位线，即可得到BC的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
解法二：根据OE是Rt△AOB斜边上的中线，即可得到CD的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【解答】解法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
又∵点E是AB的中点，
∴OE是△BCA的中位线，
∴BC＝2OE＝2×2＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．
解法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是Rt△COD斜边上的中线，
∴CD＝2OE＝6×5＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，本题解法多样，关键是掌握：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
14．若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，则称其为“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2023能取得最大值是 2024 ．
【答案】2024．
【分析】根据“同族二次方程”的定义列出二元一次方程组，解方程组求出a、b，利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
解：由“同族二次方程”的定义可知：（a+6）x2﹣（b+6）x+6＝（a+6）（x﹣4）2+1＝3，
∵（a+6）（x﹣1）8+1＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+6+1，
∴，
解得：，
则ax2+bx+2023＝﹣x2+2x+2023＝﹣（x8﹣2x+1）+3+2023＝﹣（x﹣1）2+2024，
∴代数式ax6+bx+2023能取得最大值是2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查的是配方法的应用、“同族二次方程”的定义，掌握完全平方公式是解题的关键．
15．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 或3或6﹣6或6﹣3 ．
【答案】或3或6﹣6或6﹣3．
【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝BC，若AC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB的距离为6﹣6；若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣3．
解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°AC，
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH，
∴DH＝BC，
若AC＝6，则BC＝AC•cs45°＝3，即点D到直线AB的距离为；
若AB＝BC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为3；
②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴AB＝BH，
若AB＝AC＝8时，BH＝6＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣6，
∴AD＝7﹣6﹣6；
若BC＝6，则AB＝BC•cs45°＝8，
∴BH＝3，
∴CH＝6﹣3，
∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3；
综上所述，点D到直线AB的距离为﹣6或4﹣3．
故答案为：或3或6．
【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题每小题10分，共24分.
16．解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝2，x2＝4．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
（x﹣5）（x+8）＝0，
x﹣5＝4或x+1＝0，
所以x7＝5，x2＝﹣2；
（2）（x﹣2）2＝3x﹣4，
（x﹣2）7﹣2（x﹣2）＝5，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
x﹣2＝8或x﹣2﹣2＝2，
所以x1＝2，x3＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明），2，3的三个小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．
（1）小明摸到小球的编号为2的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解答．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
解：（1）∵甲口袋（不透明）装有编号为1，2，5的三个小球，
∴小明摸到小球的编号为2的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB（不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．
【答案】（1）（2）见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明四边形AECF是菱形即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵OC＝OA，∠FOC＝∠EOA，
∴△COF≌△AOE（ASA），
∴CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，即DF＝BE．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题：
（1）本次接受抽样调查的总人数是 120 人；
（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 390 人；
（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法
【答案】（1）120．
（2）见解答．
（3）390．
（4）．
【分析】（1）用参加B项目的学生人数除以其所占的百分比可得本次接受抽样调查的总人数．
（2）用本次接受抽样调查的总人数乘以参加C项目的人数所占的百分比，可求出参加C项目的学生人数，补全条形统计图即可；用参加A项目的人数除以本次接受抽样调查的总人数再乘以100%，可得参加A项目的人数所占的百分比，补全扇形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用2600乘以本次抽样调查中参加A项目的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次接受抽样调查的总人数是45÷37.5%＝120（人）．
故答案为：120．
（2）参加C项目的人数为120×25%＝30（人），
参加A项目的人数所占的百分比为×100%＝15%．
补全两个统计图如下．
（3）估计该校参加A项目的学生有2600×15%＝390（人）．
故答案为：390．
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》，
∴抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
20．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，一天可以多售出10个．
（1）售价为85元时，当天的销售量是 70 个；
（2）如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？
（3）若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？
【答案】（1）70；
（2）每个篮球售价为80元；
（3）商店有3种购买方案，最高盈利2600元．
【分析】（1）每降低5元增加10件，可知每个售价85元，多售出（100﹣85）÷5×10个，进而即可列出算式求解．
（2）总利润＝每个利润×售出个数，列出方程求解即可．
（3）根据投入资金不少于2500元又不多于2600元列不等式组解答即可．
解：（1）40+（100﹣85）÷5×10＝70（个），
答：售价为85元时，当天的销售量为70个；
故答案为：70；
（2）设每个篮球售价为x元，
根据题意得：（x﹣50）×（40+×10）＝40×（100﹣50）+400，
化简得x4﹣170x+7200＝0，
解得：x1＝80，x6＝90，
∵使顾客得到尽可能大的实惠，
∴x＝80，
答：每个篮球售价为80元；
（3）设商店可购买m个篮球，
∵商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，
∴2500≤50m≤2600，
解得50≤m≤52，
∵m是整数，
∴m可取50，51．
∴商店有3种购买方案；
∵（100﹣50）×52＝2600（元），
∴最高盈利2600元．
【点评】本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用含x的代数式表示每天售出的篮球个数．
21．动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，点C的对应点C′恰好落在边AB的中点处，折痕DE交BC于点E
（1）探究一：判断四边形CDC′E的形状，并说明理由；
（2）探究二：若BC＝10，四边形CDC′E的对角线之和为14，求四边形CDC′E的面积．
【答案】（1）四边形CDC′E是菱形，理由见解答过程；
（2）四边形CDC′E的面积为24．
【分析】（1）由D是AC中点，C'是AB中点，得C'D∥BC，知∠C'DE＝∠DEC，根据将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，得∠DEC＝∠DEC'，C'E＝CE，C'D＝CD，故∠C'DE＝∠DEC'，从而C'D＝C'E，即可得CE＝C'E＝C'D＝CD，故四边形CDC′E是菱形；
（2）连接CC'交DE于F，由四边形CDC′E是菱形，可得C'E∥AC，CC'⊥DE，CF＝CC'，EF＝DE，得E是BC中点，CE＝BC＝5，由勾股定理有EF2+CF2＝CE2＝25①，而EF+CF＝（DE+CC'）＝7②，即得EF•CF＝12，S△CEF＝EF•CF＝6，可得S菱形CDC'E＝4S△CEF＝24．
解：（1）四边形CDC′E是菱形，理由如下：
∵D是AC中点，C'是AB中点，
∴C'D是△ABC的中位线，
∴C'D∥BC，
∴∠C'DE＝∠DEC，
∵将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，
∴∠DEC＝∠DEC'，C'E＝CE，
∴∠C'DE＝∠DEC'，
∴C'D＝C'E，
∴CE＝C'E＝C'D＝CD，
∴四边形CDC′E是菱形；
（2）连接CC'交DE于F，如图：
由（1）知四边形CDC′E是菱形，
∴C'E∥AC，CC'⊥DECC'DE，
∵C'是AC中点，
∴E是BC中点，
∵BC＝10，
∴CE＝BC＝5，
∴EF2+CF6＝CE2＝25①，
∵CC'+DE＝14，
∴EF+CF＝（DE+CC'）＝7②，
由①②可得EF•CF＝12，
∴S△CEF＝EF•CF＝6，
∴S菱形CDC'E＝4S△CEF＝24，
∴四边形CDC′E的面积为24．
【点评】本题考查三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质和菱形的判定定理．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．已知实数a，b，c，其中b，c满足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．
（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一个相同的实数根x1；
（2）求证：x2是方程2x2+ax+2＝0的实数根；
（3）求实数a，b，c的值．
【答案】（1）（a≠b）；
（2）答案见解答过程；
（3）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝﹣1．
【分析】（1）将x1代入方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0之中，得到一个关于x1的方程组，解方程组求出x1即可；
（2）将x2代入方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0之中，得到一个关于x2的方程组，解方程组求出x2，再根据方程2x2+ax+2＝0的一个实数根为（a≠b），设另一个实数根为α，利用根与系数的关系求出α，再和x2，进行比较即可得出结论；
（3）先由（1）（2）可得：x2是2x2+2x+a＝0和方程2x2+ax+2＝0的实数根，将x2代入2x2+2x+a＝0和方程2x2+ax+2＝0之中，组成方程组，解方程组求出x2＝1，然后将x2＝1分别代入方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0之中得a＝﹣4，b+c＝﹣2，然后结合已知条件b﹣2c＝1即可求出a，b，c的值．
【解答】（1）解：∵方程2x2+ax+2＝0和2x5+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，
∴，
将上述方程组中的两个方程相减得：（a﹣b）x1+3﹣c＝0，
∴（a≠b）；
（2）证明：∵方程2x2+3x+a＝0和方程2x8+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．
∴，
将上述方程组中的两个方程相减得：（c﹣2）x6+b﹣a＝0，
∴，
∵方程2x2+ax+6＝0的一个实数根为（a≠b），
∴α•x1＝＝1，
∴α＝，即：α＝x2，
∴x7是方程2x2+ax+8＝0的实数根；
（3）由（1），（2）可知：x2是7x2+2x+a＝2和方程2x2+ax+3＝0的实数根，
∴，
将上述方程组中的两个方程相加得：（2﹣a）x7+a﹣2＝0，
当a≠2时，得：x2＝1，
将x6＝1代入方程2x4+2x+a＝0，得：4×12+8×1+a＝0，
解得：a＝﹣3，
∵2x2+cx+b＝7有一个实数根是x2，
∴2×32+c×1+b＝2，
∴b+c＝﹣2，即：b＝﹣c﹣2，
又∵b﹣2c＝1，
将b＝﹣c﹣2代入b﹣8c＝1，得：c＝﹣1，
∴b＝﹣c﹣8＝﹣1．
即：a＝﹣4，b＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
23．综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E
（1）当BE＝BF时，旋转角∠COF为 22.5 度；
（2）若点C（﹣2，4），求点B坐标与BF的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，将△OCN与△OAN的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，CO＝m，CF＝n，请猜想S、m与n的数量关系
【答案】（1）22.5；（2）B（2，6）；BF的长为；（3）S、m与n的数量关系为：S＝mn．理由见解析．
【分析】（1）利用旋转的性质和一次函数y＝x的性质得到：∠EOx＝45°，∠AOx＝∠COF＝α，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CD⊥x轴于点D，CM⊥BH于点M，交y轴于点G，利用点的坐标的特征和全等三角形的判定与性质，正方形的性质解答即可得出点B的坐标；利用勾股定理和平行线的判定预下载，平行线分线段成比例定理解答即可得出结论；
（3）过点N作HP⊥BC于点H，交OA于点P，利用正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到用含m，n的代数式表示出线段NP，CH，OA的长度，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
解：（1）如图，由题意得：∠EOx＝45°．
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝OC＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°．
∵BE＝BF，
∴CF＝AE．
在△COF和△AOE中，
，
∴△COF≌△AOE（SAS），
∴∠COF＝∠AOE＝α，
∴∠AOE+∠AOx＝2α＝45°，
∴α＝22.5°．
故答案为：22.2；
（2）过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CD⊥x轴于点D，交y轴于点G，
∵C（﹣2，4），
∴CG＝OD＝3，CD＝OG＝4．
∵BH⊥x轴，CM⊥BH，
∴四边形CDHM为矩形，
∴HM＝CD＝4，CM＝DH．
∴∠DCO+∠MCO＝90°，
∵∠MCO+∠MCB＝90°，
∴∠DCO＝∠MCB．
在△COD和△CMB中，
，
∴△COD≌△CMB（AAS），
∴CD＝CM＝8，OD＝BM＝2，
∴GM＝CM﹣CG＝2，BH＝BM+HM＝8，
∴OH＝2，
∴B（2，3）．
∴BC＝＝2．
∵FG⊥CM，BM⊥CM，
∴FG∥BM，
∴，
∴BF＝BC＝．
（3）S、m与n的数量关系为：S＝，理由：
过点N作HP⊥BC于点H，交OA于点P，
∵BC∥OA，
∴HP⊥OA，
∴四边形HPAB为矩形，
∴AP＝HB．
∵AC为正方形OABC的对角线，
∴∠CAO＝45°，
∴△APN为等腰直角三角形，
∴AP＝PN，
∴HB＝PN．
∵对角线AC交直线y＝x于点N，
∴∠NOx＝∠NOF＝45°，
∵FN＝ON，
∴∠NFO＝∠NOF＝45°，
∴△NFO为等腰直角三角形，
∴∠FNO＝90°，
∴∠ONP+∠FNH＝90°．
∵∠FNH+∠NFH＝90°，
∠ONP＝∠NFH．
在△ONP和△NFH中，
，
∴△ONP≌△NFH（AAS），
∴NP＝FH，
∴AP＝HB＝FH，
∵BF＝BC﹣CF，BC＝CO＝m，
∴BF＝m﹣n，
∴AP＝HB＝HF＝．
∴PN＝AP＝．
∴CH＝CF+FH＝n+＝．
∵OC•CH＝＝，
OA•NP＝m＝，
∴S＝S8﹣S2＝mn．
∴S、m与n的数量关系为：S＝．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，平面直角坐标系，一次函数的图象与性质，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．5
1
2
2
1
（1，8）
（1，1）
（4，2）
（1，5）
2
（2，6）
（2，1）
（6，2）
（2，6）
3
（3，6）
（3，1）
（4，2）
（3，4）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．ax2+bx+c＝0D．（x﹣1）（x+2）＝1
2．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．标准大气压下，水的沸点为100℃
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环
C．佛山10月17日的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对边相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
4．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25D．x+x（1+x）＝25
5．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点（ ）
A．B．C．D．
6．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（ ）
A．2026B．2023C．2020D．2017
7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．2或5D．9或12
8．满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时
（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD；
（2）摆成如图2所示的四边形；
（3）____，矩形窗框制作完成．
下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）
A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
9．黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记（ ）只．
A．B．C．D．
10．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使B落在CD上点H处，连接BP、BH，则下列结论一定成立的是（ ）
①AE+CH＝FH；
②BP＝BH；
③AP+CH＝PH；
④PE+PG+EG＝HD．
A．①③B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程是 ．
12．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 个．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE＝5，则菱形的周长为 ．
14．若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，则称其为“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2023能取得最大值是 ．
15．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题每小题10分，共24分.
16．解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
17．“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明），2，3的三个小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．
（1）小明摸到小球的编号为2的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB（不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题：
（1）本次接受抽样调查的总人数是 人；
（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；
（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法
20．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，一天可以多售出10个．
（1）售价为85元时，当天的销售量是 个；
（2）如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？
（3）若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？
21．动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，点C的对应点C′恰好落在边AB的中点处，折痕DE交BC于点E
（1）探究一：判断四边形CDC′E的形状，并说明理由；
（2）探究二：若BC＝10，四边形CDC′E的对角线之和为14，求四边形CDC′E的面积．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．已知实数a，b，c，其中b，c满足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．
（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一个相同的实数根x1；
（2）求证：x2是方程2x2+ax+2＝0的实数根；
（3）求实数a，b，c的值．
23．综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E
（1）当BE＝BF时，旋转角∠COF为 度；
（2）若点C（﹣2，4），求点B坐标与BF的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，将△OCN与△OAN的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，CO＝m，CF＝n，请猜想S、m与n的数量关系
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝0B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．ax2+bx+c＝0D．（x﹣1）（x+2）＝1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程）判断即可．
解：A、一元二次方程首先必须是整式方程；
B、是二元二次方程；
C、当a＝0时，故本选项不符合题意；
D、去括号得：x2+x﹣8＝1，是一元二次方程；
故选：D．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，解题的关键是明确一元二次方程满足条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
2．在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．标准大气压下，水的沸点为100℃
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环
C．佛山10月17日的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
解：A、标准大气压下，是必然事件；
B、杭州亚运会上射击运动员射击一次，是随机事件；
C、佛山10月17日的最高温度为35℃，不符合题意；
D、用长为10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对边相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．
解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质；
B．对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质；
C．对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质；
D．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
4．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25D．x+x（1+x）＝25
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝25即可．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝25，
即（5+x）2＝25，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
5．如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据概率公式求解即可．
解：观察图形可知，阴影部分是大圆面积的一半．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
6．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（ ）
A．2026B．2023C．2020D．2017
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
解：∵x＝m是x2+x+1＝6的一个根，
∴m2+m＝﹣1，
∴﹣6m2﹣3m+2023＝﹣4（m2+m）+2023＝﹣3×（﹣8）+2023＝2026，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．2或5D．9或12
【答案】B
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，有三角形的三边关系，2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．
解：x2﹣7x+10＝7，
（x﹣2）（x﹣5）＝2
∴x1＝2，x4＝5．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是5，底边是5，
周长为：5+5+5＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．
8．满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄．工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时
（1）如图1，先截出两对符合规格的木条，使AB＝CD；
（2）摆成如图2所示的四边形；
（3）____，矩形窗框制作完成．
下列方法中不能作为制作工序的第（3）个步骤的是（ ）
A．将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
【答案】C
【分析】根据矩形的判定定理分析判断即可．
解：∵AB＝CD，EF＝GH，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．将直角尺紧靠窗框一个角，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形；
B．调整窗框的边框使得两条对角线长度相等，
根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形；
C．调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直，
此时无法判定四边形是矩形，符合题意；
D．调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等，
此时可以证明对角线相等，可知四边形ABCD是矩形．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的判定，熟练运用矩形的判定定理是解题的关键．
9．黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，取得了显著效果，先捕捉了m只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，发现其中k只有标记（ ）只．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】n只梅花鹿，发现其中k只有标记，说明在样本中有标记的占到，而在整体中有标记的共有m只，根据所占比例即可解答．
解：根据题意得：
m÷＝（只）．
即估计这个地区的梅花鹿的数量约有只．
故选：C．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，解题的关键是算出n只梅花鹿有标记的占的百分比．
10．如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使B落在CD上点H处，连接BP、BH，则下列结论一定成立的是（ ）
①AE+CH＝FH；
②BP＝BH；
③AP+CH＝PH；
④PE+PG+EG＝HD．
A．①③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】B
【分析】作EM⊥BC于点M，证明△MEF≌△CBH（ASA），推出MF＝CH，可证明①正确；CH与AP不一定相等，则BP与BH不一定相等，故证明②不一定成立；作BI⊥PH于点Ⅰ，证明△IHB≌△CHB（AAS），推出IB＝CB，IH＝CH，再证明Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），推出AP＝IP，可证明③正确；推出PE+PG+EG＝GI，证明GI＝DH，可证明④正确．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC，
如图1，作EM⊥BC于点M，
∴EM＝AB＝BC，AE＝BM，
由折叠的性质得BH⊥EF，BF＝FH，
∴∠MEF＝90°﹣∠MFE＝∠CBH，
∴△MEF≌△CBH（ASA），
∵MF＝CH，
∴AE+CH＝BM+FM＝BF＝FH；故①正确；
∵AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴BP与BH不一定相等，故②不一定成立；
如图2，作BI⊥PH于点I，
由折叠的性质得FH⊥PH，
∴BI∥FH，
∴∠FHB＝∠HBI＝∠HBF，BH＝BH，
∴△IHB≌△CHB（AAS），
∴IB＝CB，IH＝CH，
∵AB＝BC，
∴IB＝AB，
∴∠A＝∠BIP＝90°，BP＝BP，
∴Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），
∵AP＝IP，
∴AP+CH＝IP+IH＝PH，故③正确；
由折叠的性质得GH＝AB，AE＝EG，
∵PI＝PA＝PE+AE＝PE+EG，
∴PE+PG+EG＝GI，
∵IH＝CH，GH＝AB，
∴PE+PG+EG＝HD，故④正确；
综上，①③④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．请写出一个有两个相等的实数根的一元二次方程是 x2﹣2x+1＝0 ．
【答案】x2﹣2x+1＝0．
【分析】写出一个一元二次方程，使它的判别式等于0即可．
解：x2﹣2x+4＝0有两个相等的实数解．
故答案为x2﹣7x+1＝0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 24 个．
【答案】24．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，用频率估计概率可知黄色球的数量为总数乘以其所占百分比．
解：根据题意得：
60×（1﹣20%﹣40%）＝24（个），
答：此推测口袋中黄球的个数是24个．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE＝5，则菱形的周长为 40 ．
【答案】40．
【分析】解法一：根据OE是△BCA的中位线，即可得到BC的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
解法二：根据OE是Rt△AOB斜边上的中线，即可得到CD的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【解答】解法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
又∵点E是AB的中点，
∴OE是△BCA的中位线，
∴BC＝2OE＝2×2＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．
解法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是Rt△COD斜边上的中线，
∴CD＝2OE＝6×5＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，本题解法多样，关键是掌握：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
14．若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，则称其为“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2023能取得最大值是 2024 ．
【答案】2024．
【分析】根据“同族二次方程”的定义列出二元一次方程组，解方程组求出a、b，利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
解：由“同族二次方程”的定义可知：（a+6）x2﹣（b+6）x+6＝（a+6）（x﹣4）2+1＝3，
∵（a+6）（x﹣1）8+1＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+6+1，
∴，
解得：，
则ax2+bx+2023＝﹣x2+2x+2023＝﹣（x8﹣2x+1）+3+2023＝﹣（x﹣1）2+2024，
∴代数式ax6+bx+2023能取得最大值是2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查的是配方法的应用、“同族二次方程”的定义，掌握完全平方公式是解题的关键．
15．已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 或3或6﹣6或6﹣3 ．
【答案】或3或6﹣6或6﹣3．
【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝BC，若AC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB的距离为6﹣6；若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣3．
解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°AC，
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH，
∴DH＝BC，
若AC＝6，则BC＝AC•cs45°＝3，即点D到直线AB的距离为；
若AB＝BC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为3；
②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴AB＝BH，
若AB＝AC＝8时，BH＝6＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣6，
∴AD＝7﹣6﹣6；
若BC＝6，则AB＝BC•cs45°＝8，
∴BH＝3，
∴CH＝6﹣3，
∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3；
综上所述，点D到直线AB的距离为﹣6或4﹣3．
故答案为：或3或6．
【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题每小题10分，共24分.
16．解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝2，x2＝4．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
（x﹣5）（x+8）＝0，
x﹣5＝4或x+1＝0，
所以x7＝5，x2＝﹣2；
（2）（x﹣2）2＝3x﹣4，
（x﹣2）7﹣2（x﹣2）＝5，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
x﹣2＝8或x﹣2﹣2＝2，
所以x1＝2，x3＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明），2，3的三个小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．
（1）小明摸到小球的编号为2的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解答．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
解：（1）∵甲口袋（不透明）装有编号为1，2，5的三个小球，
∴小明摸到小球的编号为2的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB（不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．
【答案】（1）（2）见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明四边形AECF是菱形即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵OC＝OA，∠FOC＝∠EOA，
∴△COF≌△AOE（ASA），
∴CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，即DF＝BE．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题：
（1）本次接受抽样调查的总人数是 120 人；
（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 390 人；
（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法
【答案】（1）120．
（2）见解答．
（3）390．
（4）．
【分析】（1）用参加B项目的学生人数除以其所占的百分比可得本次接受抽样调查的总人数．
（2）用本次接受抽样调查的总人数乘以参加C项目的人数所占的百分比，可求出参加C项目的学生人数，补全条形统计图即可；用参加A项目的人数除以本次接受抽样调查的总人数再乘以100%，可得参加A项目的人数所占的百分比，补全扇形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用2600乘以本次抽样调查中参加A项目的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）本次接受抽样调查的总人数是45÷37.5%＝120（人）．
故答案为：120．
（2）参加C项目的人数为120×25%＝30（人），
参加A项目的人数所占的百分比为×100%＝15%．
补全两个统计图如下．
（3）估计该校参加A项目的学生有2600×15%＝390（人）．
故答案为：390．
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》，
∴抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
20．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，一天可以多售出10个．
（1）售价为85元时，当天的销售量是 70 个；
（2）如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？
（3）若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？
【答案】（1）70；
（2）每个篮球售价为80元；
（3）商店有3种购买方案，最高盈利2600元．
【分析】（1）每降低5元增加10件，可知每个售价85元，多售出（100﹣85）÷5×10个，进而即可列出算式求解．
（2）总利润＝每个利润×售出个数，列出方程求解即可．
（3）根据投入资金不少于2500元又不多于2600元列不等式组解答即可．
解：（1）40+（100﹣85）÷5×10＝70（个），
答：售价为85元时，当天的销售量为70个；
故答案为：70；
（2）设每个篮球售价为x元，
根据题意得：（x﹣50）×（40+×10）＝40×（100﹣50）+400，
化简得x4﹣170x+7200＝0，
解得：x1＝80，x6＝90，
∵使顾客得到尽可能大的实惠，
∴x＝80，
答：每个篮球售价为80元；
（3）设商店可购买m个篮球，
∵商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，
∴2500≤50m≤2600，
解得50≤m≤52，
∵m是整数，
∴m可取50，51．
∴商店有3种购买方案；
∵（100﹣50）×52＝2600（元），
∴最高盈利2600元．
【点评】本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用含x的代数式表示每天售出的篮球个数．
21．动手操作：在数学实践课上，老师引导同学们对如图的△ABC纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，点C的对应点C′恰好落在边AB的中点处，折痕DE交BC于点E
（1）探究一：判断四边形CDC′E的形状，并说明理由；
（2）探究二：若BC＝10，四边形CDC′E的对角线之和为14，求四边形CDC′E的面积．
【答案】（1）四边形CDC′E是菱形，理由见解答过程；
（2）四边形CDC′E的面积为24．
【分析】（1）由D是AC中点，C'是AB中点，得C'D∥BC，知∠C'DE＝∠DEC，根据将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，得∠DEC＝∠DEC'，C'E＝CE，C'D＝CD，故∠C'DE＝∠DEC'，从而C'D＝C'E，即可得CE＝C'E＝C'D＝CD，故四边形CDC′E是菱形；
（2）连接CC'交DE于F，由四边形CDC′E是菱形，可得C'E∥AC，CC'⊥DE，CF＝CC'，EF＝DE，得E是BC中点，CE＝BC＝5，由勾股定理有EF2+CF2＝CE2＝25①，而EF+CF＝（DE+CC'）＝7②，即得EF•CF＝12，S△CEF＝EF•CF＝6，可得S菱形CDC'E＝4S△CEF＝24．
解：（1）四边形CDC′E是菱形，理由如下：
∵D是AC中点，C'是AB中点，
∴C'D是△ABC的中位线，
∴C'D∥BC，
∴∠C'DE＝∠DEC，
∵将△ABC纸片沿过边AC中点D的直线ED折叠，
∴∠DEC＝∠DEC'，C'E＝CE，
∴∠C'DE＝∠DEC'，
∴C'D＝C'E，
∴CE＝C'E＝C'D＝CD，
∴四边形CDC′E是菱形；
（2）连接CC'交DE于F，如图：
由（1）知四边形CDC′E是菱形，
∴C'E∥AC，CC'⊥DECC'DE，
∵C'是AC中点，
∴E是BC中点，
∵BC＝10，
∴CE＝BC＝5，
∴EF2+CF6＝CE2＝25①，
∵CC'+DE＝14，
∴EF+CF＝（DE+CC'）＝7②，
由①②可得EF•CF＝12，
∴S△CEF＝EF•CF＝6，
∴S菱形CDC'E＝4S△CEF＝24，
∴四边形CDC′E的面积为24．
【点评】本题考查三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质和菱形的判定定理．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．已知实数a，b，c，其中b，c满足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．
（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一个相同的实数根x1；
（2）求证：x2是方程2x2+ax+2＝0的实数根；
（3）求实数a，b，c的值．
【答案】（1）（a≠b）；
（2）答案见解答过程；
（3）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝﹣1．
【分析】（1）将x1代入方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0之中，得到一个关于x1的方程组，解方程组求出x1即可；
（2）将x2代入方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0之中，得到一个关于x2的方程组，解方程组求出x2，再根据方程2x2+ax+2＝0的一个实数根为（a≠b），设另一个实数根为α，利用根与系数的关系求出α，再和x2，进行比较即可得出结论；
（3）先由（1）（2）可得：x2是2x2+2x+a＝0和方程2x2+ax+2＝0的实数根，将x2代入2x2+2x+a＝0和方程2x2+ax+2＝0之中，组成方程组，解方程组求出x2＝1，然后将x2＝1分别代入方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0之中得a＝﹣4，b+c＝﹣2，然后结合已知条件b﹣2c＝1即可求出a，b，c的值．
【解答】（1）解：∵方程2x2+ax+2＝0和2x5+bx+c＝0有一个相同的实数根x1，
∴，
将上述方程组中的两个方程相减得：（a﹣b）x1+3﹣c＝0，
∴（a≠b）；
（2）证明：∵方程2x2+3x+a＝0和方程2x8+cx+b＝0有一个相同的实数根x2．
∴，
将上述方程组中的两个方程相减得：（c﹣2）x6+b﹣a＝0，
∴，
∵方程2x2+ax+6＝0的一个实数根为（a≠b），
∴α•x1＝＝1，
∴α＝，即：α＝x2，
∴x7是方程2x2+ax+8＝0的实数根；
（3）由（1），（2）可知：x2是7x2+2x+a＝2和方程2x2+ax+3＝0的实数根，
∴，
将上述方程组中的两个方程相加得：（2﹣a）x7+a﹣2＝0，
当a≠2时，得：x2＝1，
将x6＝1代入方程2x4+2x+a＝0，得：4×12+8×1+a＝0，
解得：a＝﹣3，
∵2x2+cx+b＝7有一个实数根是x2，
∴2×32+c×1+b＝2，
∴b+c＝﹣2，即：b＝﹣c﹣2，
又∵b﹣2c＝1，
将b＝﹣c﹣2代入b﹣8c＝1，得：c＝﹣1，
∴b＝﹣c﹣8＝﹣1．
即：a＝﹣4，b＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
23．综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E
（1）当BE＝BF时，旋转角∠COF为 22.5 度；
（2）若点C（﹣2，4），求点B坐标与BF的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，将△OCN与△OAN的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，CO＝m，CF＝n，请猜想S、m与n的数量关系
【答案】（1）22.5；（2）B（2，6）；BF的长为；（3）S、m与n的数量关系为：S＝mn．理由见解析．
【分析】（1）利用旋转的性质和一次函数y＝x的性质得到：∠EOx＝45°，∠AOx＝∠COF＝α，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CD⊥x轴于点D，CM⊥BH于点M，交y轴于点G，利用点的坐标的特征和全等三角形的判定与性质，正方形的性质解答即可得出点B的坐标；利用勾股定理和平行线的判定预下载，平行线分线段成比例定理解答即可得出结论；
（3）过点N作HP⊥BC于点H，交OA于点P，利用正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到用含m，n的代数式表示出线段NP，CH，OA的长度，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
解：（1）如图，由题意得：∠EOx＝45°．
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝OC＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°．
∵BE＝BF，
∴CF＝AE．
在△COF和△AOE中，
，
∴△COF≌△AOE（SAS），
∴∠COF＝∠AOE＝α，
∴∠AOE+∠AOx＝2α＝45°，
∴α＝22.5°．
故答案为：22.2；
（2）过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CD⊥x轴于点D，交y轴于点G，
∵C（﹣2，4），
∴CG＝OD＝3，CD＝OG＝4．
∵BH⊥x轴，CM⊥BH，
∴四边形CDHM为矩形，
∴HM＝CD＝4，CM＝DH．
∴∠DCO+∠MCO＝90°，
∵∠MCO+∠MCB＝90°，
∴∠DCO＝∠MCB．
在△COD和△CMB中，
，
∴△COD≌△CMB（AAS），
∴CD＝CM＝8，OD＝BM＝2，
∴GM＝CM﹣CG＝2，BH＝BM+HM＝8，
∴OH＝2，
∴B（2，3）．
∴BC＝＝2．
∵FG⊥CM，BM⊥CM，
∴FG∥BM，
∴，
∴BF＝BC＝．
（3）S、m与n的数量关系为：S＝，理由：
过点N作HP⊥BC于点H，交OA于点P，
∵BC∥OA，
∴HP⊥OA，
∴四边形HPAB为矩形，
∴AP＝HB．
∵AC为正方形OABC的对角线，
∴∠CAO＝45°，
∴△APN为等腰直角三角形，
∴AP＝PN，
∴HB＝PN．
∵对角线AC交直线y＝x于点N，
∴∠NOx＝∠NOF＝45°，
∵FN＝ON，
∴∠NFO＝∠NOF＝45°，
∴△NFO为等腰直角三角形，
∴∠FNO＝90°，
∴∠ONP+∠FNH＝90°．
∵∠FNH+∠NFH＝90°，
∠ONP＝∠NFH．
在△ONP和△NFH中，
，
∴△ONP≌△NFH（AAS），
∴NP＝FH，
∴AP＝HB＝FH，
∵BF＝BC﹣CF，BC＝CO＝m，
∴BF＝m﹣n，
∴AP＝HB＝HF＝．
∴PN＝AP＝．
∴CH＝CF+FH＝n+＝．
∵OC•CH＝＝，
OA•NP＝m＝，
∴S＝S8﹣S2＝mn．
∴S、m与n的数量关系为：S＝．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，平面直角坐标系，一次函数的图象与性质，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．5
1
2
2
1
（1，8）
（1，1）
（4，2）
（1，5）
2
（2，6）
（2，1）
（6，2）
（2，6）
3
（3，6）
（3，1）
（4，2）
（3，4）
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