2024永州一中高二上学期10月月考数学试卷含解析

2023年永州一中高二第二次月考

数学试卷

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2. 复数是纯虚数，则（    ）

A.  B.  C.  D. 3

3. 已知，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示，在中，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5 已知，，，若，，共面，则等于（    ）

A.  B. 9 C.  D. 3

6. 已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是奇函数且满足，当，时，恒成立，设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数一个零点为，则（    ）

A.

B. 的最大值为1

C. 在区间上单调递增

D. 的图象可由曲线向右平移个单位长度得到

10. 设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则O为线段MN的中点

C. 若，则

D. 若，则

11. 椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为．则下列说法正确的是（    ）

A. 椭圆的标准方程为

B. 若点在椭圆上，的最大值为

C. 若点在椭圆上，则的最大值为

D. 过直线上一点分别作椭圆切线，交椭圆于两点，则直线恒过定点

12. 菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（    ）

A. 平面

B. 球的表面积为

C. 球被三棱锥表面截得的截面周长为

D. 过点与直线所成角均为的直线可作4条

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.

14. 已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为_________.

15. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为_______.

16. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的解，记为，，，（），且恒成立，则的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为，且．

（1）求角；

（2）若，面积为，求b．

18. 已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）若是上一点，且，求的面积.

19. 如图，在长方体中，，和交于点为AB的中点.

（1）求证：平面；

（2）已知与平面所成角为，求

（ⅰ）平面与平面的夹角的余弦值；

（ⅱ）点到平面的距离.

20. 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题.该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是.已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项.

（1）求该同学11题得5分的概率；

（2）求该同学两个题总共得分不小于7分的概率.

21. 已知圆过点，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）若从点发出光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程．

22. 已知圆：上任一点，，，，且满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线：与轨迹相交于，两点，与轴交于点，过的中点且斜率为的直线与轴交于点，记，若，求的取值范围.