2024高邮高一上学期10月联考试题数学含解析

这是一份2024高邮高一上学期10月联考试题数学含解析，共60页。试卷主要包含了 已知集合且，则等于， 函数的定义域为， “”是“”成立的， 设，则， 已知集合，若，且同时满足， 下列各组函数是同一组函数是， 下列等式中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合且，则等于（ ）
A. 1B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设，则（ ）
A. B. C. 1D.
5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知集合，若，且同时满足：若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 20
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数是同一组函数是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A 有最小值8B. 有最小值
C. 的最小值是4D. 的最小值是
12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得为偶函数；
B. 存在实数，使得为奇函数；
C. 任意，存在实数，使得；
D. 若在区间上单调递减，的最大值为.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知“，使得”是假命题，则实数的取值范围为___________.
14. 若函数，且，则实数的值为___________.
15. 函数的值域为________.
16. 设集合，，则实数的取值范围是_______.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，，，实数集为全集.
（1）求，；
（2）若是的必要条件，求的取值范围.
18. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
19 已知二次函数满足：.
（1）求解析式；
（2）判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.
20. 某工厂生产某种元器件，受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（注：次品率=次品数/生产量），已知每生产1件合格的元件可以盈利2a元，但每生产1件次品将亏损a元.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额S（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
21. 已知函数.
（1）若，判定函数的奇偶性；
（2）若，是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；否则说明理由.
22. 定义：对于函数，当时，的取值集合为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒值映射区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.2023-2024学年第一学期高一年级10月学情调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合且，则等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，即可得出答案.
【详解】因为集合且，
所以，解得：.
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用根式和分式有意义即可求解.
【详解】要使有意义，只需要，解得且，
所以的定义域为.
故选：D.
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式解法及充分条件必要条件的定义即得.
【详解】因为，
故由“”推不出“”，但由“”可推出“”，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B．
4 设，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，
所以，则.
故选：A
5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可求解.
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，，由于，所以，故B正确，
对于C，若则，此时，故C错误，
对于D，取，则，不满足，故D错误，
故选：B
6. 已知函数，任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及二次函数的性质即可求解.
【详解】由任意，都有可知在上单调递减，
当时，，由于函数不为减函数，所以不满足题意，
当时，函数为开口向上的二次函数，显然在时不单调递减，故不满足题意，
故，解得，
故选：A
7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的性质求出的值，即可得到的解析式，从而得到的单调性与对称性，即可判断.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得，
所以，则，
所以的对称轴为，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即.
故选：A
8. 已知集合，若，且同时满足：若，则；②若，则.则集合个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】由补集与子集的概念求解即可.
【详解】由题意，，
当时，，，当时，；
当时，，当时，；
而元素5没有限制，
所以集合可以为：，，，，，，，.
故选：B.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为,由于定义域不相同，所以不是同一组函数，故A错误，
对于B，，两个函数的定义域均为，对应关系相同，故为同一函数，故B正确，
对于C，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一组函数，故C错误，
对于D，，两个函数的定义域均为，对应关系相同，故为同一函数，故D正确，
故选：BD
10. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数幂与根式的互化即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ,故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，由有意义可得，进而得，所以，故D正确，
故选：ABD
11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值8B. 有最小值
C. 的最小值是4D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式判断A，利用基本不等式判断B、C，利用换元法及二次函数的性质判断D.
【详解】因为正实数，满足，
对于A：，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B：，则，当且仅当，即、时等号成立，故B错误；
对于C：，当且仅当，即、时等号成立，故C正确；
对于D：因为，所以，则，解得，
所以，
所以当时取得最小值，故D正确；
故选：ACD
12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得为偶函数；
B. 存在实数，使得为奇函数；
C. 任意，存在实数，使得；
D. 若在区间上单调递减，的最大值为.
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算，可知当时，为奇函数，但不存在实数，使得为偶函数，故B正确；A错误；化简函数的解析式，根据单调性判断C，D两个选项.
【详解】，显然当时，，故为奇函数，但不存在实数，使得，故B正确；A错误；
，
当时，在，上单调递增；
当时，在，上单调递增；
当时，在上单调递增，由单调性可知C正确；
当时，在上单调递减，
此时；当时，在上单调递减，此时；故的最大值为，D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知“，使得”是假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先写出命题的否定，依题意，使得为真命题，则，即可得解.
【详解】命题“，使得”的否定为：，使得，
因为，使得是假命题，
则，使得为真命题，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
14. 若函数，且，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法求出的解析式，再代入计算可得.
【详解】因为，
当时，当且仅当时取等号，
当时，当且仅当时取等号，
令，则，
所以，，
即，，
因为，所以，解得.
故答案为：
15. 函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法将函数转化为（），利用二次函数的性质即可求解.
【详解】令，则，且，
故函数变为，
因为对称轴为，开口向上，，
故的值域为，即的值域为，
故答案为：
16. 设集合，，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用方程根的分布讨论即可.
【详解】由题意可知方程有负数根，
若，符合题意；
若，则，显然方程有两个不等实数根，且，
即该两实数根异号，符合题意；
若，则函数的对称轴为，
若要满足题意，则需；
综上所述：.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，，，实数集为全集.
（1）求，；
（2）若是的必要条件，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；
（2）依题意可得，分、两种情况讨论.
【小问1详解】
由，即，解得，
所以，
又，
所以，
又或，所以.
【小问2详解】
因为“”是“”的必要条件，所以，
又，
当，即时，满足题意；
当，即时，则，解得；
综上可得.
18. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可.
（2）平方计算得到，再计算，计算得到答案.
【详解】（1）原式；
（2），则，
，又，则.
.
19. 已知二次函数满足：.
（1）求的解析式；
（2）判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.
【答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由待定系数法，即可代入化简求解，
（2）由函数单调性的定义即可求证.
【小问1详解】
是二次函数，设，
,
所以，，则，
又，则,
故.
【小问2详解】
在上单调递减.
证明：，
因为，则，
所以，，则，即.
所以，在上单调递减.
20. 某工厂生产某种元器件，受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（注：次品率=次品数/生产量），已知每生产1件合格的元件可以盈利2a元，但每生产1件次品将亏损a元.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额S（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
【答案】（1）
（2）6万件
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及次品率的关系式即可求解；
（2）根据（1）的结论及基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
小问2详解】
当时，
，当且仅当时取“，
当时，
所以日产量为6万件时，可获得最大利润.
21. 已知函数.
（1）若，判定函数的奇偶性；
（2）若，是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；否则说明理由.
【答案】（1）奇函数 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，即可判断，
（2）将代入，进而代入不等式中化简，将问题转化为对任意恒成立，即可结合不等式的性质求解.
【小问1详解】
若，则,
函数的定义域为，关于原点对称，
，
则是奇函数.
【小问2详解】
若，则，
任意，
若，则；
若，则，即，
也即，
因为，所以
进而， 而，
所以，.
综上，当时，不等式对任意恒成立.
22. 定义：对于函数，当时，的取值集合为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒值映射区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）当时，利用奇函数的性质可知，代入求得的解析式；
（2）设，利用单调性和“倒值映射区间”的定义可得，解方程即可；
（3）分析知，只考虑或，结合单调性和“倒值映射区间”的定义即可求.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，则，
当时，则，
又是奇函数，则
所以，
【小问2详解】
设，函数，
因为在上递减，且在上的值域为，
所以，，解得，
所以，函数在内的“倒值映射区间”为.
【小问3详解】
在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，所以，，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，
则，由（2）知，此时的“倒值映射区间”为；
②当时，可知因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，
当，在上递减，
且在上的值域为，所以，，解得，
所以的“倒值映射区间”为；
综上，函数在定义域内的“倒值映射区间”为和