苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题02 平行四边形、矩形（含解析）

这是一份苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题02 平行四边形、矩形（含解析），共31页。


A．2B．2.2C．2.4D．2.5
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
【点评】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
2．（2022春•姑苏区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．12B．24C．28D．40
【分析】根据平行四边形的性质解得即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△OCD的周长为18，
∴OD+OC＝18﹣6＝12，
∵BD＝2OD，AC＝2OC，
∴▱ABCD的两条对角线的和BD+AC＝2（OD+OC）＝24．
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
3．（2022秋•深圳期中）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点F、G，再分别以点FG为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥DE，AE＝10，DE＝6，则▱ABCD的面积为（ ）
A．64B．132C．128D．60
【分析】利用基本作图得到∠ABE＝∠CBE，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BC＝AD＝16，AB＝CD，再证明AB＝AE＝10，则CD＝10，接着利用勾股定理求得CE＝8，然后根据平行四边形的性质求面积即可求解．
【解答】解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝AE+DE＝10+6＝16，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，
∴CD＝10，
∵CE⊥DE，AD∥BC，
∴CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
在Rt△△CDE中，DE＝6，CD＝10，
∴CE8，
∴▱ABCD的面积为BC×CE＝16×8＝128．
故选：C．
【点评】本题考查了作角平分线．平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2022春•天宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．100°B．120°C．150°D．105°
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根据补角性质可得答案．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
5．（2022春•相城区校级期末）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6，则▱ABCD的对角线AC的长为（ ）
A．6B．4C．10D．10
【分析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到AB、CF与BF的长，再根据勾股定理即可得出AC的长．
【解答】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
∵在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC＝BD＝AD＝6，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，ABAD＝6，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB3，
∴Rt△ACF中，AC6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．
6．（2022春•海安市期中）已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB∥CD，AB＝CDD．AB＝CD，∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2022春•新吴区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CED＝（ ）
A．1：4B．1：3C．1：6D．2：5
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，可得S△ADE＝S△BDES平行四边形ABCD，根据FB＝2DF，可得S△BDE＝3S△DEF，进而可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，
∴S△ADE＝S△BDES平行四边形ABCD，
∵FB＝2DF，
∴S△DEFS△BDES平行四边形ABCD，
∵S△CDES平行四边形ABCD，
∴S△DEF：S△CDES平行四边形ABCD：S平行四边形ABCD＝1：6．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（2022春•东海县期末）如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】先证AB∥CD，再由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：可得此四边形是平行四边形，则这条线段是④，理由如下：
如图，∵∠DAE＝∠D＝63°，
∴AB∥CD，
∵AB＝9，CD＝9，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9．（2022春•吴中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（ ）
A．AM＜6B．5≤AM＜12C．AM＜12D．AM＜6
【分析】首先证明四边形AEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长AM经过点P，推出EF＝AP，可得AMEFPA，求出PA的最小值可得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC13，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长AM经过点P，
∴EF＝AP，
AMEFPA，
当PA⊥CB时，PA，
∴AM的最小值为，
∵PA＜AC，
∴PA＜12，
∴AM＜6，
∴AM＜6，
故选：A．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当AP⊥BC时，AP最小，且AP＜AC．
二．填空题（共10小题）
10．（2022春•盐都区期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 11 ．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OD即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OCAC，BO＝ODBD，
∵AC+BD＝14，
∴CO+DO＝7，
∵AB＝CD＝4，
∴△OCD的周长为OD+OC+CD＝7+4＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的性质：对角线互相平分，属于中考基础题．
11．（2022春•滨湖区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，若CD＝3，AC＝4，，则CE的长为 ．
【分析】由勾股定理的逆定理得△AOB是直角三角形，∠OAB＝90°，再由勾股定理得AD＝BC＝5，然后由S平行四边形ABCD＝AD•CE＝AB•AC，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4，，
∴BC＝AD，AB＝CD＝3，OA＝OCAC＝2，OB＝ODBD，
∴AB2+OA2＝OB2，
∴△AOB是直角三角形，∠OAB＝90°，
∴AC⊥AB，AD＝BC，
∵CE⊥AD，
∴S平行四边形ABCD＝AD•CE＝AB•AC，
∴CE，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．
12．（2022春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 平行四边形 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【解答】解：如图，
∵AQ∥BC，CQ∥AP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH＝HC，QH＝PHPQ，
∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝2，∠ACB＝45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC＝45°，
∴PH＝PC，
∴PQ，
∴QC，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC＝2．
故答案为：平行四边形；．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
13．（2022春•连云港期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝ 6 ．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，如图所示，根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△CGF≌△DEF得出CG与DE的关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．
【解答】解：延长EF和BC，交于点G，如图所示，
在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
∴AD＝BC＝4+1＝5，
又∵∠BED的平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
∵∠G＝∠DEF，∠GFC＝∠DFE，CF＝DF，
∴△CGF≌△DEF（AAS），
∴CG＝DE＝1，
∴BE＝BG＝5+1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解决问题的关键是掌握平行四边形的性质．
14．（2022春•宿城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为 4.8 ．
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AOAC＝8，BDBD＝6，根据勾股定理得到AB＝10，证明四边形OEPF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝OP，则当OP⊥AB时，OP最小，EF的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时OP的长即可．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AOAC＝8，BOBD＝6，
∴AB，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∴当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABOOA•OBAB•OP，
∴OP，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（2022秋•惠山区期中）如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝50°，则∠1的度数是 65° ．
【分析】根据折叠的性质得∠1＝∠3，再利用平角的定义可得答案．
【解答】解：如图，由折叠知，∠1＝∠3，
∵∠2＝50°，
∴∠1＝∠3＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
16．（2022春•武进区期中）如图，在面积为21cm2的▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB＝6cm，BC＝4cm，则四边形ABCE的面积为 14 cm2．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝4cm，DC＝AB＝6cm，AB∥CD，证出∠DEA＝∠DAE，根据等腰三角形的判定得到DE＝AD＝4cm，根据EC＝DC﹣DE，代入计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4cm，DC＝AB＝6cm，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝4cm，
∴EC＝CD﹣DE＝6cm﹣4cm＝2cm，
∵面积为21cm2的▱ABCD，
∴△ADE的面积为47（cm2），
∴四边形ABCE的面积为：21﹣7＝14（cm2），
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明DE＝AD是解决问题的关键．
17．（2022春•宿豫区期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝62°，则∠B＝ 62° ．
【分析】根据四边形内角和可得∠C的度数，再根据平行四边形的性质即可得∠B的度数．
【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∵∠EAF＝62°，
∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣62°＝118°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及四边形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
18．（2022春•灌南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是 ．
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABCBC•ACAB•CD，
即12×513•CD，
解得：CD，
∴EF．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
19．（2021秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 26 ．
【分析】过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．求出PM，MQ．可得结论．
【解答】解：过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AM＝BQ，
∴四边形ABQM是平行四边形，
∴MQ＝AB＝6，
∵PD＝PA＝10，PH⊥AD，
∴DH＝AH＝6，
∴PH8，
∴HM＝AH＝AM＝6﹣4＝2，
∴PM2，
∴PQ≥PM﹣MQ＝26，
∴PQ的最小值为26．
故答案为：26．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
20．（2022春•无锡期末）已知：如图，BD 是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠A＝∠C，△AED的周长为3，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据题意得到四边形EFCD是平行四边形，利用平行四边形性质证明DE＝CF，再证明EB＝ED，即可解决问题；
（2）根据题意得到ED是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴EB＝CF；
（2）解：∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AE＝ED，
∵EB＝ED，
∴AE＝EB，
即AEAB，
∵ED∥BC，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ADAC，EDBC，
∵△AED的周长为3，
∴△ABC的周长为6．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
21．（2022春•灌南县期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC＝CE，连接AE、DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE＝5，BE＝4，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝CE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠ACE＝90°，则平行四边形ACED是矩形，再由勾股定理得AC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝AE，BC＝CEBE＝2，
∴AC⊥BE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC，
∴矩形ACED的面积＝AC×CE2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ACED为矩形是解题的关键．
22．（2022春•灌云县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且OE＝OF．求证：AE∥CF．
【分析】连接CE，AF，证明四边形AECF是平行四边形即可证得结论，
【解答】证明：连接CE，AF，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，∵OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，证得四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．
23．（2022春•沭阳县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】连接对角线AC交对角线BD于点O，由OA＝OC，OE＝OF，即可得出结论．
【解答】证明：连接对角线AC交对角线BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质等知识，本题的关键证明OE＝OF．
24．（2022春•兴化市期末）已知：如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 ①或② （填序号）．
求证：四边形AECF为平行四边形．
在①BE＝DF，②AE∥CF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．
【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题．
【解答】解：添加①BE＝DF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
添加②AE∥CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：①或②．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
25．（2022春•玄武区校级期中）如图，已知AC垂直平分BD，DF⊥BD，∠ABC＝∠DCF．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）若DF＝CF＝5，CD＝6，求BD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出AF∥CD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形和菱形的性质分析，再根据勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝DC，
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠DCF，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴AD∥CF，
∵AC⊥BD，DF⊥BD，
∴DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACDF是平行四边形，DF＝CF＝5，
∴▱ACDF是菱形，
∴AD＝5，
设CE＝x，则AE＝5﹣x，
∴CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2
解得：x＝3.6，即CE＝3.6，
∴DE，
∴BD＝2DE＝9.6．
【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析．
26．（2022春•金坛区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，EC，CF，AF．
（1）判断四边形AFCE的形状，证明你的结论；
（2）若AB＝BC，则四边形AFCE是什么特殊四边形？证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AO＝OC，BO＝OD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】（1）解：四边形AECF是平行四边形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵DE＝BF，
∴BO+BF＝OD+DE，
即FO＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：四边形AECF是菱形，
证明：∵AB＝BC，AO＝OC，
∴BO⊥AC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点评】此题考查平行四边形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出AO＝OC，BO＝OD解答．
27．（2022春•滨湖区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积．
【分析】（1）首先根据菱形的性质得，∠COD＝90°，再结合已知条件，得OC＝DE，结合DE∥AC，可知四边形OCED是平行四边形，进而得出结论；
（2）利用菱形的面积求得DO×AC＝2，则即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，∠COD＝90°．
∵DE∥AC，，
∴DE＝CO，
∴四边形OCED为平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：∵菱形ABCD的面积为2，
∴，
∴DO×AC＝2，
∵四边形OCED为矩形，
∴DO＝EC，∠ACE＝90°，
∴，
即△AEC的面积为1．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
28．（2022春•盐都区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）连接CE，若AB，AC＝4，求CE的长．
【分析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出OB的长，然后由矩形的性质和勾股定理求出CE的长即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OA＝2，
∴OD＝OB，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴∠AOE＝90°，AE＝OD＝3，
∴CE．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
29．（2022春•南京期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝5，BD＝8，计算DE的值．
【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC⊥BD，进而得到四边形OCED是矩形；
（2）首先根据菱形的性质可得ODBD＝4，OC＝OA，AD＝CD，然后再根据勾股定理可计算出DE＝OC＝3即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴ODBD＝4，OC＝OA，AD＝CD，
∵AD＝5，
∴OC3，
∵四边形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝3，
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及矩形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解决问题的关键．
30．（2022春•连云港期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AEAB＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5．
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF3．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．