苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题03 菱形、正方形、三角形的中位线（含解析）

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A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故错误，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
2．（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（ ）
A．12B．30C．27D．32
【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26，
∴DF＝CFAB26＝13，
∴△CDF是等腰三角形．
∵点E是CD的中点，CD＝24，
∴EF⊥CD，DECD＝12．
在Rt△DEF中，DE5，
∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
3．（2022春•泰州期末）如图，矩形ABCD中，P是CD的中点，点Q为AB上的动点（不与A、B重合），过Q作QM⊥PA，垂足为M，QN⊥PB，垂足为N，BC＝3，CD＝8，MQ＝x，QN＝y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝4.8﹣xB．C．y＝11﹣xD．
【分析】连接PQ，过点P作PH⊥AB于点H，容易求出△PAB的面积为12，而S△PAB＝S△PAQ+S△PBQ，利用面积即可得出x和y的关系式．
【解答】解：如图，连接PQ，过点P作PH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠D＝∠C＝90°，
∴AD＝BC＝PH＝3，
∴S12，
∵QM⊥PA，QN⊥PB，MQ＝x，QN＝y，
∴12，
∵点P是CD的中点，
∴DP＝CP＝4，
∴AP＝BP5，
∴，
∴y＝4.8﹣x．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及列函数关系式，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
4．（2022春•江都区期末）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．72°
【分析】由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△BAE，可得∠ADF＝∠BAE＝22.5°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝22.5°，
在Rt△ADF和Rt△BAE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△BAE（HL），
∴∠ADF＝∠BAE＝22.5°，
∴∠CDF＝67.5°，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．（2021秋•广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）
A．B．C．1D．
【分析】取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DHFC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．
【解答】解：取BF的中点H，连接DH，
∵BD＝DC，BH＝HF，
∴DHFC，DH∥AC，
∴∠HDE＝∠FAE，
在△AEF和△DEH中，
，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴AF＝DH，
∴AFFC，
∵AC＝4，
∴AF，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022春•盐都区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P为△ABC外一点，连接AP、BP，点M、N分别为AP、BP的中点，若MN＝2，则BC的长为（ ）
A．2B．C．D．5
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵点M、N分别为AP、BP的中点，
∴AB＝2MN，
∵MN＝2，
∴AB＝4，
在Rt△ABC中，BC，
故选：C．
【点评】本题的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
7．（2022春•吴中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DEAB＝3，BEBC＝2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF＝BE＝2，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AB6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DEAB＝3，BEBC＝2，
∴∠ABF＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝BE＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（2022春•灌南县期中）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD，③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD；求出∠ABE+∠BAG＝90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到②正确．根据AD∥BC，求出S△BDE＝S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即S△BHE＝S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故④正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故②正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
9．（2022春•泰兴市期中）如图，边长为10cm的正方形ABCD先向右平移6cm，再向下平移2cm得到正方形A′B′C′D′，则阴影部分的周长为（ ）
A．16cmB．24cmC．32cmD．48cm
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小得到阴影部分的长和宽，即可求得周长．
【解答】解：边长为10cm的正方形ABCD先向右平移6cm，再向下平移2cm得到正方形A'B'C'D'，
∴阴影长方形的长为10﹣2＝8cm，宽为10﹣6＝4cm，
∴周长为（4+8）×2＝24cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，平移不改变图形的性质和大小．
二．填空题（共10小题）
10．（2022春•宝应县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝4cm，则矩形ABCD的周长为 （8+8） cm．
【分析】根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，由勾股定理求出BC的长，则可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AO＝OC，AB＝CD，BC＝AD，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝4cm，
∴AC＝8cm，
∴BC4（cm），
∴矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2×（4+4）＝（8+8）（cm）．
故答案为：（8+8）．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．
11．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝ 45 °．
【分析】根据题意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝90°+60°＝150°．根据三角形内角和定理及等腰三角形性质可求出底角∠AED的度数，然后利用等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，
∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题考查了正方形、等边三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题．
12．（2022春•江阴市期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝24°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为 23° ．
【分析】根据三角形中位线定理得到MPAB，MP∥AB，NPCD，NP∥CD，求出∠MPN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴MP为△ADB的中位线，NP为△BDC的中位线，
∴MPAB，MP∥AB，NPCD，NP∥CD，
∴∠MPD＝∠ABD＝24°，∠NPD＝180°﹣∠BDC＝110°，
∴∠MPN＝134°，
∵AB＝CD，
∴MP＝NP，
∴∠NMP（180°﹣134°）＝23°，
故答案为：23°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．（2022春•沭阳县期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是 6.5 ．
【分析】连接DN、DB，根据三角形中位线定理得到EFDN，根据勾股定理求出DB，根据题意计算即可．
【解答】解：连接DN、DB，
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF是△MDN的中位线，
∴EFDN，
由题意得，当N与点B重合时，DN最大，此时EF的值最大，
由勾股定理得：DB13，
∴EF的最大值为6.5，
故答案为：6.5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14．（2022春•工业园区校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，若CE，则DF的长是 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，再根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：在ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
则AB＝2CE，
∵CE，
∴AB＝2，
∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DFAB，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2022春•高新区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 ．
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝3，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝3，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝6，BC＝AD，
∴CE．
∴PC+PB的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
16．（2022秋•兴化市期中）如图，在长方形ABCD中，点E是CD上的一点，过点E作EF⊥BE，交AD于点F，作点D关于EF的对称点G，依次连接BG、EG、FG．已知AB＝16，BC＝12，且当△BEG是以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为 或 ．
【分析】①当BE＝GE时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，设DE＝x，则DE＝GE＝BE＝x，CE＝16﹣x，在Rt△BCE中，根据勾股定理，可列出方程求出x的值，进而可得CE的值；
②当BE＝BG时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，过点B做BH⊥GE，证明△CEB≌△EHB，CE＝HE，再列方程求解即可．
【解答】解：①当BE＝GE时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，
在矩形ABCD中，
∵D关于EF的对称点G，
∴DE＝GE，
∵△BEG是以BE为腰的等腰三角形，
∴GE＝BE，
∴DE＝GE＝BC，
设DE＝x，则BC＝DE＝x，CE＝16﹣x，
在Rt△BCE中，
BC2+CE2＝BE2，
即：122+（16﹣x）2＝x2，解得：x，
CE＝16﹣x＝16，
∴CE的值为；
②当BE＝BG时，△BEG是以BE为腰的等腰三角形，
如图1，过点B做BH⊥GE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ECB＝90°，AB＝CD＝16，
∴∠CEB+∠CBE＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠DEF+∠CEB＝90°，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵点D关于EF的对称点G，
∴△EDF≌△EGF，
∴DE＝EG，∠DEF＝∠GEF，
∵EF⊥BE，HB⊥GE，
∴∠GEF+∠HEB＝90°，∠HBE+∠HEB＝90°，
∴∠GEF＝∠HBE，
∵∠DEF＝∠CEB，∠GEF＝∠HBE，∠DEF＝∠GEF，
∴∠CBE＝∠HBE，
∵∠ECB＝90°，HB⊥GE，
∴∠ECB＝∠EHB＝90°，
在△CEB和△EHB中，
，
∴△CEB≌△EHB（ASA），
∴HB＝BC＝12，HE＝EC，
设CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝16﹣x，
∵DE＝GE，BE＝BG，HB⊥GE，
∴HEGEDE（16﹣x），
∵HE＝CE，
∴（16﹣x）＝x，解得：x，
∴CE，
综上所述，当△BEG是以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了矩形、等腰三角形、轴对称的性质，根据勾股定理巧妙设方程求解是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
17．（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
由勾股定理得：AB13．
∵S△ABC•AB•CM•AC•BC，
∴CM．
∴DECM．
故答案是：．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
18．（2022秋•惠山区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10，点E在弧BD上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为 20 ．
【分析】如图，取BC的中点T，连接AT交BE于J，连接AE，ET，延长CE交AD于P，过点D作DH⊥CP于H，首先证明∠CEB＝90°，四边形ATCP是平行四边形，想办法求出DH，EC，可得结论．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT交BE于J，连接AE，ET，延长CE交AD于P，过点D作DH⊥CP于H，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∵AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，
∴∠BED＝∠AEB+∠AED（180°﹣∠BAE）（180°﹣∠EAD）＝135°，
∵∠CED＝135°，
∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∵BT＝CT，
∴TE＝TB＝TC，
∵AB＝AE，
∴AT垂直平分线段BE，
∵CE⊥BE，
∴AT∥CP，
∵AP∥CT，
∴四边形ATCP是平行四边形，
∴AP＝CT＝5，
∴PD＝AP＝5，
∴PC5，
∵DH⊥PC，
∴•CD•PDPC×DH，
∴DH＝2，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
在△BEC和△CHD中，
，
∴△BEC≌△CHD（AAS），
∴EC＝DH＝2，
∴S△DEC•EC•DH＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
19．（2022春•工业园区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 ．
【分析】连接AM，并延长AM交CD于点G，先通过证明△AEM≌△GDM得到DM＝EM，DG＝AE后，证明MN是△AGF的中位线，可得MNGF，在Rt△FCG中利用勾股定理求出GF的长，从而求出MN的长．
【解答】解：连接AM并延长AM交CD于点G，连接GF，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠GDM，
∵E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AEAB＝2，CFBC＝2．
∵M为DE的中点，
∴EM＝DM，
在△EAM和△DGM中，
．
∴△EAM≌△DGM（SAS）．
∴AM＝MG，DG＝AE＝2．
∴M为AG的中点，
∵N为AF的中点，
∴MN是△AGF的中位线．
∴MNGF．
在Rt△FCG中，
CG＝DC﹣DG＝422，
∴GF2．
∴MNGF．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的关键是添加辅助线把MN归纳到三角形中，然后证明MN是三角形的中位线．
三．解答题（共11小题）
20．（2022春•淮安区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE＝2，DE＝6，求AD的长．
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，证得AE是线段OB的垂直平分线，然后证得△OAB是等边三角形，求得AB＝OB＝4，再利用勾股定理即可求得AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝2，DE＝6，
∴BD＝8，
∴OB＝4，
∴BE＝EO＝2，
∵AE⊥BD于E，
∴AE是线段OB的垂直平分线，
∴AB＝OA，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴AB＝OB＝4，
∴AD4．
【点评】此题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．
21．（2022春•淮安区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，G为BC的中点，若AB＝8，AC＝6，求DG的值．
【分析】延长CD交AB于E点，可证△ACD≌△AED得CD＝DE，所以DG是中位线，根据中位线定理求解．
【解答】解：延长CD交AB于E点，
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE．
又AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（ASA）．
∴AE＝AC＝6，
∴CD＝DE，即D是CE中点．
∵G为BC的中点，
∴DG为△CEB的中位线，
∴DG．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理及全等三角形的判定和性质．作辅助线构造全等三角形是难点．
22．（2022春•淮安区期中）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝3，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质求得∠BAN＝∠AMD，再利用BN⊥AM得到∠BNA＝∠D＝90°，然后用判定三角形全等的“AAS”求解；
（2）由全等三角形的性质得到AB＝AM，再由勾股定理求出AB＝5，再利用矩形面积和三角形面积求解．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD．
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝∠D＝90°．
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD（AAS），
∴BN＝AD，AN＝DM．
∵AD＝3，AN＝4，
∴BN＝3，DM＝4．
∵BN⊥AM，
∴AB2＝AN2+BN2，
∴AB2＝32+42＝25＝52，
∴AB＝5，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△ADM＝AD•AB﹣2AD•DM＝3×53．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
23．（2022春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．
（1）求证：EN∥AB．
（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．
【分析】（1）延长CE交AB于F，证明△CAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得到CE＝EF，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于F，
∵AM是∠CAB的角平分线，
∴∠CAM＝∠BAM，
在△CAE和△FAE中，
，
∴△CAE≌△FAE（ASA），
∴CE＝EF，
∵CN＝NB，
∴EN是△CFB的中位线，
∴EN∥AB；
（2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE，
∴AF＝AC＝13，
∴BF＝AB﹣AF＝24，
∵EN是△CFB的中位线，
∴ENBF＝12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
24．（2022春•宿城区期中）如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与BC相交于点E，另一边与CD的延长线相交于点F时．
（1）证明：BE＝DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于点G，连接EG，证明：BE+DG＝EG．
【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，再根据等角的余角相等得∠BAE＝∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE＝DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE＝AF，再根据角平分线的定义得∠EAG＝∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE＝GF，由于GF＝DG+DF，所以BE+DG＝EG．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG＝∠FAG，
在△AEG和△FAG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DG+DF，BE＝DF，
∴BE＝GF﹣DG，
∵GE＝GF，
∴BE+DG＝EG．
【点评】本题考查了正方形，熟练掌握正方形的性质和三角形全等的判定与性质是解题的关键．
25．（2022春•昆山市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为3，∠BCD＝60°，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）先证△BCD是等边三角形，得BD＝BC＝2，再由勾股定理得OC，求得AC＝2OC，然后由矩形的性质得CE＝OD＝1.5，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OCAC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DEAC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OCAC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，
∴OD＝OB，
∴OC，
∴AC＝2OC＝3，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE，
故AE的长为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．
26．（2021秋•建邺区期末）已知：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点．
求证：MD＝MC，MN⊥CD．
【分析】连接MC，MD，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到MC＝MD，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论．
【解答】证明：如图所示，连接MC，MD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中点．
∴Rt△ABC中，CMAB，
Rt△ABD中，DMAB，
∴MC＝MD，
又∵N是CD的中点，
∴MN⊥CD．
综上所述，MD＝MC，MN⊥CD．
【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
27．（2022春•滨海县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF＝∠A．
（1）求证：DE＝CF；
（2）若BC＝2，AB＝6，求四边形DCFE的周长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理和根据平行四边形的判定和性质得出对边相等得出结论．
（2）由三角形的中位线定理得到DE的长度，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠CEF＝∠DCE，
∴CD∥EF，
∵点E是AC中点，
∴DE∥CF，
∴四边形DCEF是平行四边形，
∴DE＝CF；
（2）∵BC＝2，AB＝6，
∵AD＝BD，AE＝CE，
∴DEBC＝1＝CF，
∵AB＝6，
∴CD＝EFAB＝3，
∴四边形DCFE的周长为（1+3）×2＝8．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟记各性质并确定出由三角形的中位线定理得到DE的长度是解题的关键．
28．（2022春•靖江市校级期中）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE、AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝10，求线段DG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质可知DC＝BC，再根据∠BEC＝∠DFC＝90°，∠C＝∠C，可证得△BEC≌△DFC，则有EC＝FC，问题得解；
（2）根据菱形的性质以及∠A＝45°可证得△ABG是等腰直角三角形，再由勾股定理可求出AG，从而可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD．
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°．
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BC−CF＝CD−EC，即BF＝DE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝AB＝10，
∴∠ABG＝∠BEC＝90°．
∵∠A＝45°，
∴∠G＝∠A＝45°，
∴AB＝BG＝10，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AG，
∴DG＝AG−AD．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质．证明△BEC≌△DFC是解答本题的关键．
29．（2022春•淮安区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CDBC，连结DM、DN、MN，求DN的长．
（1）求DN的长；
（2）直接写出△BDM的面积为 18 ．
【分析】（1）连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MNBC，证明四边形NDCM为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可；
（2）利用三角形面积公式解答．
【解答】解：（1）连接CM，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CMAB＝5，
∵M，N分别是AB、AC的中点，BC＝6，
∴MN∥BC，MNBC＝3，
∵CDBC，
∴CDBC＝3，
∴CD＝MN，
∵MN∥BC，
∴四边形NDCM为平行四边形，
∴DN＝CM＝5；
（2）由（1）知，CD＝3，则BD＝CD+BC＝3+6＝9．
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC8．
∵N是AC的中点，
∴NCAC＝4．
∴S△BDMBD•CN9×4＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理以及直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
30．（2022春•仪征市期末）在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12．
（1）如图（1），若BE＝BF，则AE与CF相等吗？请说明理由；
（2）如图（2），若∠EBF＝45°，CF＝4，求EF的长；
（3）如图（3），若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，试求此过程中满足PE+PF为整数的点P个数．
【分析】（1）连接BD，利用正方形的性质和等腰三角形的性质和等式的性质解答即可；
（2）将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
（3）先求得点P在边AB上运动时，PE+PF为整数时的P的个数，再利用对称性即可得出结论．
【解答】解：（1）AE＝CF，理由：
连接BD，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC．
∵BE＝BF，
∴OE＝OF，
∴OA﹣OE＝OC﹣OF．
即：AE＝BF．
（2）将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图，
则△BCF≌△BGA，
∴∠ABG＝∠FBC，∠GAB＝∠FCB＝45°，BG＝BF，
∴∠GAE＝∠GAB+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∵∠ABC＝90°，∠EBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠GBA+∠ABE＝45°，
即：∠GBE＝45°，
∴∠GBE＝∠FBE＝45°．
在△GBE和△FBE中，
，
∴△GBE和△FBE（SAS），
∴GE＝EF，AG＝CF＝4．
设EF＝BG＝x，则AE＝AC﹣CF﹣EF＝8﹣x，
在Rt△AGE中，
∵AG2+AE2＝GE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴EF＝5；
（3）当P，A两点重合时，PE+PF＝4+8＝12，符合题意；
当点P在A，B两点之间时，
作点E关于AB的对称点E′，连接E′F交AB于点P，如图，
则此时PE+PF的值最小，
∵点E关于AB的对称点E′，
∴AE′＝AE＝4，PE′＝PE，AB⊥E′E，
∴∠E′AB＝∠EAB＝45°，
∴∠E′AE＝90°，
∴PE+PF＝PE′+PF＝E′F49；
当P，B两点重合时，连接BD交AC于点O，如图，
则OE＝OA﹣AE＝2，OB＝OA＝6，
∴PE＝BE2，
同理，PF＝2，
∴PE+PF＝413，不符合题意，
∴点P在AB边上运动时，4PE+PF≤4，则符合题意的点有8个（包括点A），
由对称性可知，在正方形的四边上符合题意的点有：7×4+2＝30．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的对称与旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．