苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题07 反比例函数综合（含解析）

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A．B．C．D．
【分析】直接把点A（3，4）代入反比例函数，求出k的值即可．
【解答】解：∵将点A（3，4）代入反比例函数，得4，
解得k＝12．
∴反比例函数表达式为：y，
故选：C．
【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．（2022春•常州期末）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）之间成反比例函数关系，且当S＝0.1时，p＝1000．下列说法中，错误的是（ ）
A．p与S之间的函数表达式为
B．当S＝0.4时，p＝250
C．当受力面积小于0.2m2时，压强大于500Pa
D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当S＝0.1时，p＝1000写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
【解答】解：压力一定时，压强和受力面积成反比；
∵当S＝0.1时，p＝1000，
∴p（S＞0），
当S＝0.4时，p250，
故选项A，B不符合题意；
当S＝0.2时，p500，
∴当受力面积小于0.2m2时，压强大于500Pa，
故选项C不符合题意；
该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而减小，
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键．
3．（2022春•涟水县期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（ ）
A．B．y＝20xC．y＝20+xD．y＝20﹣x
【分析】根据矩形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：由矩形的面积公式可得，xy＝20，
即y，
故选：A．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的关系式，掌握矩形面积的计算方法是得出正确答案的关键．
4．（2021春•江阴市期末）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ）
A．yB．yC．yD．y
【分析】根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出﹣3＜k＜﹣2，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：3×（﹣1）＜k＜﹣2×1，
即﹣3＜k＜﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键．
5．（2020春•新沂市期末）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．无法计算
【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
6．（2021春•锡山区期末）如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（ ）
A．12B．6C．﹣12D．8
【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a﹣b），F（a+b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以a﹣b，则a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝12．
【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a），
所以E（a+b，），
所以a﹣b，
∴（a+b）（a﹣b）＝k，
∴a2﹣b2＝k，
∵两正方形的面积差为12，
∴k＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质．
7．（2021春•秦淮区期末）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（ ）
A．2B．3C．4D．﹣4
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为，
∴2，
∴k1﹣k2＝4，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型，
8．（2020春•吴中区期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
9．（2022春•江阴市期末）当作用于一个物体的压力F（N）一定时，这个物体所受的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，物体所受压强为5Pa
B．图象位于第一、三象限
C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小
D．图象不可能与坐标轴相交
【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
【解答】解：A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，p5pa，故本选项不符合题意；
B．结合实际意义可知S＞0，即函数图象位于第一象限，故本选项符合题意；
C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小，故本选项不符合题意；
D．根据题意可知，S≠0，又F≠0，由此可得p≠0，故图象不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，关键是掌握相关性质．
10．如图，已知直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于点E，F两点，若AB＝2EF，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB＝2，所以EFAB，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DEEF＝1，设F点坐标为（t，t+2），则E点坐标为（t﹣1，t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t+2）＝（t﹣1）•（t+1），解得t，这样可确定点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m．
【解答】解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
由直线y＝x+2可知A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，
∴EFAB，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD＝DEEF＝1，
设F点横坐标为t，代入y＝x+2，则纵坐标是t+2，则F的坐标是：（t，t+2），E点坐标为（t﹣1，t+1），
∴t（t+2）＝（t﹣1）•（t+1），解得t，
∴E点坐标为（，），
∵双曲线过点E，F两点，
∴m．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•淮阴区期末）如图，过反比例函数y的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝3，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式．
【解答】解：设A点坐标为A（x，y），
由图可知A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵AB⊥x轴，
∴|AB|＝y，|OB|＝|x|，
∴S△AOB|AB|×|OB|y×|x|＝3，
∴﹣xy＝6，
∴k＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
12．（2022春•惠山区期末）如图，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，反比例函数y（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，则k的值为 8 ．
【分析】过F作FM⊥x轴于M，过C作CH⊥x轴于H，得到OD＝BH，AD＝CH，根据三角形的中位线的性质得到MFHCAD，设MF＝a，则AD＝2a，得到OD，BMOD，根据OM•MF＝k，得到k＝8．
【解答】解：过F作FM⊥x轴于M，过C作CH⊥x轴于H，
则△ADO≌△CBH，
∴OD＝BH，AD＝CH，
∵点F为BC的中点，
∴MFHCAD，
设MF＝a，则AD＝2a，
∴OD，
∴BMOD，
∵F在反比例函数的图象上，
∴OM•MF＝k，
∴OM，
∴DB，
∴S△AOF＝S梯形ADMF，
∴（a+2a）••6，
∴k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
13．（2022春•锡山区期末）点P，Q，R在反比例函数y（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S2+S3＝20，则S1的值为 10 ．
【分析】根据CD＝DE＝OE以及反比例函数系数k的几何意义得到S1k，S四边形OGQD＝k，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴S1k，S四边形OGQD＝k，
∴S2（kk×2），
S3＝kkkk，
∴kk＝20，
∴k＝30，
∴S1k＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14．（2021春•江都区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为 y ．
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△BCE，可得CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，可求点C坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，
∴OB6，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
又∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，
∴OE＝2，
∴点C（6，2），
∵反比例函数y（k≠0）的图象过点C，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式为y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，利用待定系数法求解析式，求出点C坐标是本题的关键．
15．（2022春•灌云县期末）如图，直线y＝3x与双曲线的图象交于A点，点P是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP＝∠1+∠2，则点P的坐标为 （2，） ．
【分析】将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，通过证得△AOE≌△BOF（SAS），求得B的坐标，利用待定系数法求得直线AB的斜率k＝﹣5，即可得出直线OP为yx，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得P点的坐标．
【解答】解：将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，
∵∠AOP＝∠1+∠2，
∴∠AOP＝∠+∠2＝45°，
∴∠BOP＝45°，
∴∠2+∠BOF＝45°，
∴∠1＝∠BOF，
∵∠AEO＝∠BFO＝90°，OA＝OB，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴OE＝OF，AE＝BF，
解得或，
∴点A的坐标为（2，6）．
∴BF＝AE＝2，OF＝OE＝3，
∴B（6，﹣2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，
∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP＝45°，
∴OP⊥AB，
∴直线OP为yx，
由，解得：，，
∴P（2，），
故答案为：（2，）．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键．
16．（2022秋•海安市期末）如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是4：2：1，如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa．
【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P•S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的A面向下放在地下上，地面所受压强是2a．
【解答】解：设该砖的质量为m，则P•S＝mg
∵B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，A，B，C三个面的面积之比是4：2：1
∴把砖的A面向下放在地下上，P．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
17．（2022春•海陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FGDQ＝2，EGEQ，
∴四边形HFGO的面积为2（a），
∴k＝4a＝2（a），
解得：a，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
18．（2022春•锡山区期末）若反比例函数的图象过点（3，﹣1），则这个反比例函数的解析式为 y
【分析】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．
【解答】解：由题意知：k＝3×（﹣1）＝﹣3．
∴y．
故答案为：y．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
19．已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E，若OD＝2，则△OCE的面积为 4 ．
【分析】连接AC，则S△OCE＝S△OCA，由点C在反比例函数图象上结合OD的长度可求出CD的长度，利用勾股定理可得出OC的长度，再利用S△OCAS菱形OABC即可求出△OCE的面积．
【解答】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC为菱形，
∴OC∥AB，
∴S△OCE＝S△OCA．
∵函数的图象经过点C，OC＝2，
∴CD＝4，OA＝OC2，
∴S△OCAS菱形OABCOA•CD24＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、勾股定理以及菱形的面积，利用平行线及菱形的性质找出S△OCE＝S△OCAS菱形OABC是解题的关键．
20．（2022春•海州区校级期末）滑草是同学们喜欢的一项运动，滑道两边形如两条双曲线．如图，点A1、A2、A3……在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1、B2、B3，一反比例函数y（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1，∥A2B2……∥y轴，已知点A1、A2……的横坐标分别为1、2……，令四边形A1A2B2B1、A2A3B3B2…的面积分别为S1、S2……，若S10＝21，则k的值为 221 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和平行于y轴的直线的性质计算A1B1、A2B2、…，最后根据梯形面积公式可得S1的面积；分别计算S2、S3、…Sn的值并找规律，根据已知S10＝21列方程可得k的值．
【解答】解：∵A1B1∥A2B2…∥y轴，
∴A1和B1的横坐标相等，A2和B2的横坐标相等，…，An和Bn的横坐标相等，
∵点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，
∴点B1，B2…的横坐标分别为1，2，…，
∵点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…在反比例函数y（k＞1，x＞0）的图象上，
∴A1B1＝k﹣1，A2B2，
∴S11×（k﹣1）（k）（k﹣1），
同理得：A3B3（k﹣1），A4B4（k﹣1），…，
∴S21×[（k﹣1）（k﹣1）]（k﹣1），S31×[（k﹣1）（k﹣1）]（k﹣1）…，
∴Sn（k﹣1），
∵S10＝21，
∴（k﹣1）＝21，
解得：k＝221，
故答案为：221．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，这里体现了数形结合的思想，确定A1B1，A2B2的长是关键，也是图形和数字类的规律问题，值得重视．
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•海州区校级期末）某车队要把4000吨货物运到灾区，已知每天的运输量不变．
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（吨）与运输时间t（天）之间有怎样的函数表达式？
（2）因灾区道路受阻，实际每天比原计划少运20%，推迟2天完成任务，求原计划完成任务的天数．
【分析】（1）根据每天运量×天数＝总运量即可列出函数关系式；
（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟2天完成任务”列出方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：nt＝4000，
∴n（t＞0），
∴每天运输的货物吨数n（吨）与运输时间t（天）之间的函数表达式为n；
（2）设原计划x天完成，根据题意得：
（1﹣20%），
解得：x＝8，
经检验：x＝8是原方程的根，
答：原计划8天完成．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．
22．（2022春•相城区校级期末）已知反比例函数y（m为常数，且m≠3）
（1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上；
①求m的值；
②当x＜﹣1时，请写出y的取值范围．
【分析】（1）解不等式m﹣3＞0即可；
（2）①把A（2，）代入y中，可得m值；
②根据反比例函数式，结合x＜﹣1，列出含y的不等式即可．
【解答】解：（1）由题意可得m﹣3＞0，解得m＞3；
（2）①把A（2，）代入y中，得到m﹣3＝3，解得m＝6；
②由①可得y，当x＜﹣1时，1，解得﹣3＜y＜0．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解决此类问题一般依据函数现在构造不等式求解未知数的取值范围．
23．（2022春•海州区期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为10℃，加热5分钟使材料温度达到20℃时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于16℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
【分析】（1）直接利用待定系数法分别得出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用y＝16，分别代入解析式进而得出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）设线段AB解析式为：y＝kx+b，代入（0，10）（5，20），
，
解得：，
可得：y＝2x+10（0≤x≤5），
双曲线CD解析式为：，
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：；
（2）把y＝16代入中，
解得：，
y＝16代入y＝2x+10，
解得：x＝3，
∴（分钟），
答：该材料进行特殊处理所用的时间分钟．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
24．（2022春•洪泽区期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
（1）直接写出y与x之间的函数表达式 y ；
（2）若图象的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间y（min）与速度x（m/min）之间的关系，则：
①老李家距离单位 3000 m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少m/min才能不迟到？
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|＝1500，结合图象所在的象限确定k的值，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）①根据路程＝速度×时间即可求解；
②将y＝40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y．
∵点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500，
∴|k|＝1500，
∴k＝±3000，
∵k＞0，
∴k＝3000，
∴y与x之间的函数表达式为y．
故答案为：y；
（2）①由题意可知，y，
∴老李家距离单位3000m．
故答案为：3000；
②∵y，
∴当y＝60﹣15﹣5＝40时，40，
解得x＝75．
∵在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴老李步行速度至少为75m/min才能不迟到．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．
25．（2022春•淮安区期末）如图，A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y（k≠0）的图象经过点C．
（1）若点C坐标为（2，3），则k的值为 6 ；
（2）若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
①则k的值为 8 ；
②此时点D 在 （填“在”、“不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
（3）若C、D两点都在函数y的图象上，直接写出点C的坐标为 （1，2） ．
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质解决此题．
【解答】解：（1）由题意得，当x＝2，y，则k＝6．
故答案为：6．
（2）∵A（2，0），B（0，2），四边形ABCD是正方形，
∴C（2，4），D（4，2）．
∴当x＝2，y．
∴k＝8．
∴y．
∴当x＝4，则y．
∴D在反比例函数的图象上．
故答案为：8，在．
（3）设A（a，0），则C（a，2a），D（2a，a）．
∴2a，a．
∴a＝1或a＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴C（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质是解决本题的关键．
26．（2022春•盐城期末）如图，点M（0，m）为y轴上一点，m＜0，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．
（1）当m＝﹣1时，求“G图象”与x轴交点横坐标；
（2）过y轴上另一点N（0，n）作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．
①若n＝2，且AN＝2BN，求m的值；
②若AN＝2BN，求m与n的数量关系．
【分析】（1）根据轴对称的性质可知，“G 图象”与轴的交点的关于 y＝﹣1的对称点的纵坐标为﹣2上，且与对称点的横坐标相同，再根据对称点在反比例函数的图象上，求得横坐标，即为所求．
（2）①分两种情况讨论，当点A在y轴右侧时，根据点A在反比例函数图象上，求出点A的坐标，根据AN＝2BN，求得点B坐标，然后求得B'的坐标，再根据B'在反比例函数图象上求得m的值；同理分析点A在y轴左侧的情况．
②分情况讨论，当n＞0时，和当 m＜n＜0时，方法同①．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，M（0，﹣1），
∵“G图象”与x轴交点坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为﹣2，
∴把y＝﹣2代入y得出，x，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为．
（2）①由题知，N（0，2），点A和点B的纵坐标都是2，
当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为，则A（，2），
∴AN，
∵AN＝2BN，
∴点B的横坐标为，则B（，2）
根据题知，点B关于y＝m的对称点B'的坐标为（，m﹣（2﹣m）），且点B'在反比例函数图象上，
∴（2m﹣2）＝1，
解得，m＝﹣1．
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为，则B（，2），
∴BN，
∵AN＝2BN，
设点A的横坐标为﹣1，则A（﹣1，2），
根据题知，点A关于y＝m的对称点A'（﹣1，m﹣（2﹣m））），且点A'在反比例函数图象上，
∴﹣1（2m﹣2）＝1，
解得，m0，与题中的m＜0的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去．
综上所得，m的值为﹣1．
②由题知，N（0，n），点A和点B的纵坐标都是n，
当n＞0时，
点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为，则A（，n），
∴AN，
∵AN＝2BN，
∴点B的横坐标为，则B（，n），
根据题知，点B关于y＝m的对称点B'（，m﹣（n﹣m）），且点B'在反比例函数图象上，
∴（2m﹣n）＝1，
解得，mn．
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为，则B（，n），
∴BN，
∵AN＝2BN，
∴点A的横坐标为，则A（，n），
根据题知，点A关于y＝m的对称点A'（，m﹣（n﹣m）），且点A'在反比例函数图象上，
∴（2m﹣n）＝1，
解得，mn，
∵n＞0，
∴m＞0，这与题中的m＜0的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去．
当m＜n＜0时，
点A和点B在第三象限，如图，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为，则A（，n），
∵n＜0，
∴AN，
∵AN＝2BN，
∴点B的横坐标为，则B（，n），
根据题知，点B关于y＝m的对称点B'（，m﹣（n﹣m）），且点B'在反比例函数图象上，
∴（2m﹣n）＝1，
解得，mn．
综上所得，m与n的数量关系为mn或mn．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
27．（2022秋•如皋市期末）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E，连接OD，OD＝5，AD＝3．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是12，求点E的坐标；
（3）直接写出当x＞4时，y的取值范围 0＜y＜3 ．
【分析】（1）利用勾股定理求得点D的坐标，由反比例函数经过点D，求得k的值即可得出答案；
（2）由矩形的面积求得AB＝4，即可求得E的横坐标为8，代入反比例函数的解析式即可求得点E的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵OD＝5，AD＝3，
∴OA4，
∴点D坐标为（4，3），
∵反比例函数y经过点D，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的关系式为y；
（2）∵AD＝3，矩形ABCD的面积是12，
∴AB＝4，
∵OA＝4，
∴OB＝8，
∴点E的横坐标为8，
把x＝8代入y得，y，
∴点E的坐标为（8，）；
（3）当x＞4时，y的取值范围是0＜y＜3，
故答案为：0＜y＜3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得点D的坐标．
28．（2022春•亭湖区校级期末）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
（1）制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
（2）小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，分别求解y＝50，y＝23时x的值，从而可得答案．
【解答】解：（1）设生产1支单针疫苗需要amin，生产1支双针疫苗需要bmin．
根据题意得：，
解得：，
答：生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
（2）当x＞0.7时，设函数解析式为，
将（0.7，910）代入，
解得m＝637，故，
当y＝50时，则，
当y＝23时，则，
所以小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到27天内．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
29．（2020春•宝应县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0），正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α＝45°，当AE取得最小值时，求过正方形OEFG的顶点G的反比例函数解析式．
【分析】（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；
（2）判断出当AE⊥x轴时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图2，
过点E作EH⊥OA于点H，设EF与y轴的交点为M．
∵OE＝OA，α＝60°，
∴△AEO为正三角形，
∴OH＝3，EH3，
∴E（﹣3，3），
∵∠AOM＝90°，
∴∠EOM＝30°，
在Rt△EOM中，
∵cs∠EOM，
即，
∴OM＝4．
∴M（0，4）．
设直线EF的函数表达式为y＝kx+4，
∵该直线过点E（﹣3，3），
∴﹣3k+43，
解得k，
∴直线EF的函数表达式为yx+4；
（2）如图3，
由题意可知，∠AOE＝α＝45°，
∴当AE⊥OE时，线段AE的长最小．
在Rt△AOE中，∠AOE＝∠EAO＝45°，则AE＝OE．
故设AE＝a，则OE＝a，
∴a2+a2＝62，解得a1＝3，a2＝﹣3（舍去），
∴OE＝a＝3 ，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝OE＝3，∠EOG＝90°，
∴∠HOG＝45°，过点G作GH⊥x轴于点H，
∴OH＝GH，
在Rt△GHO中，设GH＝b，则OH＝b，
∴b2+b2＝（3）2，
∴b＝3，
∴G（3，3），
设过正方形OEFG的顶点G的反比例函数的解析式为y，
∴3，
∴k＝9，
∴过正方形OEFG的顶点G的反比例函数解析式为y．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．（2022春•江宁区期末）“卓越数学兴趣小组”准备对函数y＝|3|图象和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
（1）该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y的图象（如图1），然后画出了y3的图象，请在图1中画出此图象（草图）．
（2）他们发现函数y3图象可以由y的图象平移得到，请写出平移过程．
（3）他们发现可以根据函数y3图象画出函数y＝|3|的图象，请在图2中画出此图象（草图），并写出其中的两条函数性质．
（4）他们研究后发现，方程|3|＝a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图象，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【分析】（1）画出函数y3的图象即可；
（2）观察图象即可得到结论；
（3）画出函数y＝|3|的图象，由图象可知，①当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）分5种情况得到结论．
【解答】解：（1）画出函数y3的图象如图1，
（2）函数y3图象可以由y的图象先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到；
（3）画出函数y＝|3|的图象如图2，
由图象可知，①当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）方程|3|＝a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，
当a＜0时，方程|3|＝a无解；
当a＝0，方程|3|＝a有1个解；
当0＜a＜3时，方程|3|＝a有2个解；
当a＝3时，方程|3|＝a有1个解；
当a＞3时，方程|3|＝a有2个解．
【点评】本题考查了反比例函数的图形和性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10