苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题08 二次根式（含解析）

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A．x＜4B．x＞4C．x≤4D．x≥4
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣4≥0，
解得x≥4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．（2023•宝应县一模）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≥0D．x＞0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（2023春•海安市月考）二次根式中，字母x的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．5
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：x﹣4≥0，求出x的取值范围，进而判断出二次根式中x﹣4字母x的取值可以是哪个即可．
【解答】解：根据题意，得x﹣4≥0，
∴x≥4，
∵0＜﹣4，1＜4，2＜4，5＞4，
∴字母x的取值可以是5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
4．（2023春•天宁区校级期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥﹣5C．x＜5D．x≥5
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
【解答】解：由题意x﹣5≥0，
解得x≥5，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
5．（2022秋•江都区期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别根据二次根式的性质以及立方根的定义解答即可．
【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．4，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及立方根，掌握相关定义是解答本题的关键．
6．（2023•滨湖区一模）在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．9B．33C．（）2＝﹣2D．1
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．9，故此选项不合题意；
B．32，故此选项不合题意；
C．（）2＝2，故此选项不合题意；
D．1，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各数是解题关键．
7．（2023•钟楼区校级模拟）已知ab＜0，则化简后为（ ）
A．﹣aB．﹣aC．aD．a
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵ab＜0，﹣a2b≥0，
∴a＞0，
∴b＜0
∴原式＝|a|，
＝a，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
8．（2023春•如东县期中）下列各数中，化简结果为﹣2023的是（ ）
A．﹣（﹣2023）B．C．|﹣2023|D．
【分析】利用去括号法则、二次根式的性质及绝对值的意义，先计算每个选项，再根据计算结果得结论．
【解答】解：A．﹣（﹣2023）＝2023，故选项A的化简结果不为﹣2023；
B．2023，故选项B的化简结果为﹣2023；
C．|﹣2003|＝2023，故选项C的化简结果不为﹣2023；
D．2023，故选项D的化简结果不为﹣2023．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的化简，掌握去括号法则、绝对值的意义及二次根式的性质是解决本题的关键．
二．填空题（共12小题）
9．（2023•鼓楼区二模）式子有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（2023•邗江区一模）已知，则x的取值范围是 x≤2023 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2023﹣x，
∴2023﹣x≥0，
∴x≤2023，
故答案为：x≤2023．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
11．（2023•工业园区二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出1﹣3x≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使在实数范围内有意义，必须1﹣3x≥0，
解得：x．
故答案为：x．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．
12．（2023春•沭阳县月考）当有意义时，x的取值范围是 x＞﹣3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+3＞0，
解得：x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
13．（2023春•江都区期中）在式子中，字母x的取值范围是 x≤3且x≠2 ．
【分析】根据分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【解答】解：由题意得：x−2≠0且3−x≥0，
解得x≤3且x≠2，
故答案为：x≤3且x≠2．
【点评】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
14．（2023春•邗江区月考）已知，则a﹣20222＝ 2023 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a≥2023，则，由此求出a﹣2023＝20222，据此即可得到答案．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2023≥0，即a≥2023，
∴，
∴，
∴a﹣2023＝20222，
∴a﹣20222＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到a≥2023是解题的关键．
15．（2023•邗江区校级二模）若1﹣x，则x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】直接利用二次根式的性质得出1﹣x≥0，进而得出答案．
【解答】解：∵1﹣x，
∴1﹣x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出1﹣x的取值范围是解题关键．
16．（2023春•秦淮区校级月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
17．（2022秋•句容市期末）已知yx+4，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应y值的总和是 2028 ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后再求和即可求出答案．
【解答】解：当x≤3时，y＝﹣（x﹣3）﹣x+4＝﹣x+3﹣x+4＝﹣2x+7，
当x＞3时，y＝x﹣3﹣x+4＝1，
∴当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应y值的总和是
（5+3+1）+2019×1
＝9+2019
＝2028，
故答案为：2028．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是分类讨论y的表达式，然后再分别求和，本题属于基础题型．
18．（2023•南京二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据“负数没有平方根”即可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：由于式子在实数范围内有意义，
所以x﹣1≥0，
即x≥1，
所以x的取值范围是x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握“负数没有平方根”是正确解答的关键．
19．（2023春•崇川区校级月考）已知，则x+y的平方根是 ±2 ．
【分析】根据二次根式的非负性可求出x，y的值，进而可求出答案．
【解答】解：∵，且根号下不能为负，
∴x﹣3＝0，3﹣x＝0，
∴x＝3，
∴y＝1，
∴x+y＝4，
∴x+y的平方根是±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查二次根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据二次根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．
20．（2022春•兴化市月考）若实数m满足，则m＝ 22 ．
【分析】先根据二次根式有意义得m﹣6≥0，即m≥6，再根据绝对值的性质得到足，即4，再求m的值即可．
【解答】解：根据题意，得：
m﹣6≥0，
即m≥6，
∴由|4﹣m|m，
得，即4，
两边平方，得m﹣6＝42，
∴m＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质以及绝对值的性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
三．解答题（共11小题）
21．（2022春•丹阳市校级月考）化简：
（1）；
（2）（3≤x≤4）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2•
＝3a2．
（2）原式＝|x﹣3|﹣|x﹣4|，
∵3≤x≤4，
∴x﹣3≥0，x﹣4≤0，
∴原式＝x﹣3+（x﹣4）
＝x﹣3+x﹣4
＝2x﹣7．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算，本题属于基础题型．
22．（2023春•海安市期中）若y＝2，求的值．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的值，进而求得y的值，然后代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴x＝2，
∴y，
∴．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
23．（2022春•亭湖区校级月考）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示：
（1）比较大小：a﹣b ＞ 0；b﹣c ＜ 0；a+b ＜ 0．
（2）化简：|a﹣b||a+b|．
【分析】（1）根据数轴可得a，b，c的符号、大小及绝对值的大小可得此题结果；
（2）利用（1）题结果进行化简即可．
【解答】解：（1）由数轴可得，a＞c＞b，且|b|＞|a|＞|c|，
∴a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+b＜0，
故答案为：＞，＜，＜；
（2）由第（1）题结果可得，
|a﹣b||a+b|
＝a﹣b+b﹣c+a+b
＝2a+b﹣c．
【点评】此题考查了利用数轴进行实数的比较和化简能力，关键是能运用数形结合思想得到实数的相关信息．
24．（2022春•兴化市月考）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 ④ 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简①；②．
【分析】（1）根据材料思考二次根式的化简对于的形式，先化为|a|再求结果；
（2）根据（1）中的材料化简①②．
【解答】解：（1）①
②
③
＝||
．
故答案为：④；；
（2）①原式

；
②


．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
25．（2022春•灌云县期末）|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简： 3 ， π﹣3 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|．
【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；
（2）由数轴可得a＜b＜0＜c，从而可得c﹣a＞0，b﹣c＜0，再进行化简即可．
【解答】解：（1）
＝|﹣3|
＝3，

＝|3﹣π|
＝π﹣3，
故答案为：3，π﹣3；
（2）由数轴得：a＜b＜0＜c，
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴﹣|c﹣a|
＝﹣（c﹣a）+c﹣b
＝﹣c+a+c﹣b
＝a﹣b．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
26．（2022春•仪征市期末）对实数a，b，定义：a■b＝a2b﹣ab+b，如：3■2＝32×2﹣3×2+2＝14．
（1）求（﹣3）■的值；
（2）若2■m＜﹣6，试化简：．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出，
（2）利用题中的新定义求出m的范围，再化简即可．
【解答】（1）（﹣3）■（﹣3）2（﹣3）9313．
（2）∵2■m＜﹣6，
∴4m﹣2m+m＜﹣6，
∴m＜﹣2．
∴m﹣2﹣m＝﹣2m﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．
27．（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足y5，求：
（1）x与y的值；
（2）x2﹣y2的平方根．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而可以得到y的值；
（2）求出代数式的值，再求平方根即可．
【解答】解：（1）根据题意得：x﹣13≥0，13﹣x≥0，
∴x＝13，
∴y＝5；
（2）x2﹣y2
＝132﹣52
＝169﹣25
＝144，
144的平方根为±12，
∴x2﹣y2的平方根为±12．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
28．（2023春•海门市月考）已知2x﹣4与3x﹣1是a的平方根，与|c+2|互为相反数，d3．求a+b+c+d+e的平方根．
【分析】根据二次根式的性质以及有意义的条件、平方根的性质、相反数的性质、绝对值的非负性解决此题．
【解答】解：由题意得，2x﹣4+3x﹣1＝0或2x﹣4＝3x﹣1，|c+2|＝0．
∴x＝1或﹣3，b＝3，c＝﹣2．
∴3x﹣1＝2或﹣10．
∴a＝4或100．
∵d3，
∴e﹣2≥0，e﹣2≥0．
∴e＝2．
∴d3＝﹣3．
∴a+b+c+d+e＝4+3+（﹣2）+（﹣3）+2＝4或a+b+c+d+e＝100+3+（﹣2）+（﹣3）+2＝100．
∴a+b+c+d+e的平方根是±2或±10．
【点评】本题主要考查二次根式、平方根的性质、相反数、绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及有意义的条件、平方根的性质、相反数的性质、绝对值的非负性是解决本题的关键．
29．（2022春•海州区校级期末）材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±20）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使，即m•n＝b，那么（）2+（）2±2（±）2∴，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2（）2+（）2±2|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空： ± ， ± ；
（2）化简：；
（3）计算：．
【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把6变形成2，仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将变形成2，变形成2，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
【解答】解：（1）±，±，
故答案为：±，±；
（2）±；
（3）



，
同理可得．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．
30．（2021春•工业园区校级期末）观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1 ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）11；故答案为：1；
（2）11；故答案为：1；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
31．（2023春•邗江区月考）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝ c2+3d2 ，b＝ 2cd ；
（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将变为即可求解；
（3）将化为进行求解即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a＝c2+3d2，b＝2cd．
故答案为：c2+3d2，2cd．
（2）∵，
∴．
（3）






．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．