苏科版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题10 证明（2份打包，原卷版+含解析）

专题10证明一、定义与命题命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.二、证明证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意，画出图形；2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3.写出证明过程.推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理. 三、三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．(2)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（4）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．四、互逆命题每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.类型一、判断真假命题【解惑】（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（    ）A．直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 垂直吗？ B．过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值【融会贯通】1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）下列命题是真命题的是（    ）A．对顶角相等 B．三角形三条高的交点在三角形的内部C．同旁内角互补 D．三角形的一个外角等于两个内角的和2．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）下列命题中，真命题的是（    ）A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行B．互补的角是邻补角C．内错角相等D．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变3．（2023春·福建福州·七年级校联考期中）对于命题“如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，下面四组关于 SKIPIF 1 < 0 的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 4．（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列命题中是假命题的是（    ）A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等C．垂线段最短 D．两个锐角之和一定为钝角5．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期末）说明“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”是假命题的反例可以是（    ）A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 6．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津中学校校考阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（    ）①直线外一点到这条直线的垂线，叫点到直线的距离；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等．A．1 B．2 C．3 D．4类型二、反证法【解惑】（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明，“在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 对边是a、b．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．”第一步应假设（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【融会贯通】1．（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）用反证法证明“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”时，应假设（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 2．（2019春·四川成都·八年级校联考期中）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于 SKIPIF 1 < 0 ”时，第一步应是 SKIPIF 1 < 0 　　 SKIPIF 1 < 0 A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于 SKIPIF 1 < 0 B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于 SKIPIF 1 < 0 C．假设三角形三内角中至少有一个角大于 SKIPIF 1 < 0 D．假设三角形三内角中没有一个角不大于 SKIPIF 1 < 0 （即假设三角形三内角都大于 SKIPIF 1 < 0 3．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）用反证法证明“已知， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ”．第一步应先假设_________．4．（2023春·全国·八年级期中）用反证法证明某一命题的结论“ SKIPIF 1 < 0 ”时，应假设___________．5．（2018春·四川达州·八年级统考期末）用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中_____．类型三、写出逆命题【解惑】（2023·江苏无锡·统考一模）有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题：______．【融会贯通】1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题__________.2．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）“等边三角形的三个内角都得于 SKIPIF 1 < 0 ”的逆命题是______．3．（2022秋·山西·八年级期末）命题“如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ”的逆命题是___________．4．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）命题“如果三角形中有一个角是钝角，那么另两个角是锐角”的逆命题是：__________，这个逆命题是_______命题（填写“真”或者“假”）．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）“如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ”的逆命题为_____．类型四、平行证明之“t”值【解惑】（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转至 SKIPIF 1 < 0 便立即回转，灯B射线自 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转至 SKIPIF 1 < 0 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是 SKIPIF 1 < 0 /秒，灯B转动的速度是 SKIPIF 1 < 0 /秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，转动时间是t秒．(1)当 SKIPIF 1 < 0  秒时，灯A射线第一次平分 SKIPIF 1 < 0 ，此时灯A射线记为射线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0  秒时，灯A射线第一次与射线 SKIPIF 1 < 0 垂直；(2)若两灯同时转动， SKIPIF 1 < 0 秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”）(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达 SKIPIF 1 < 0 之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级专题练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了 SKIPIF 1 < 0 两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上两点， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______；(2)作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，试说明： SKIPIF 1 < 0 ；(3)在（1）问的条件下，探照灯 SKIPIF 1 < 0 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 度的速度逆时针转动，探照灯 SKIPIF 1 < 0 射出的光线 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 度的速度逆时针转动， SKIPIF 1 < 0 转至射线 SKIPIF 1 < 0 后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，当 SKIPIF 1 < 0 回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行或垂直时，请直接写出此时 SKIPIF 1 < 0 的值．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图1，把一块含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角板 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边放置于长方形直尺 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上．(1)填空： SKIPIF 1 < 0 _________ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _________ SKIPIF 1 < 0 ．(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，且点C恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上时，①请直接写出 SKIPIF 1 < 0 __________ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 （结果用含n的代数式表示）；②若 SKIPIF 1 < 0 恰好是 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍，求n的值．(3)如图1三角板 SKIPIF 1 < 0 的放置，现将射线 SKIPIF 1 < 0 绕点B以每秒 SKIPIF 1 < 0 的转速逆时针旋转得到射线 SKIPIF 1 < 0 ，同时射线 SKIPIF 1 < 0 绕点Q以每秒 SKIPIF 1 < 0 的转速顺时针旋转得到射线 SKIPIF 1 < 0 ，当射线 SKIPIF 1 < 0 旋转至与 SKIPIF 1 < 0 重合时，则射线 SKIPIF 1 < 0 均停止转动，设旋转时间为 SKIPIF 1 < 0 ．①在旋转过程中，若射线 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 相交，设交点为P．当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 _______ SKIPIF 1 < 0 ②在旋转过程中，是否存在 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．3．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级统考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一定点．(1)如图1，现有一块含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角板（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），将其点 SKIPIF 1 < 0 固定在直线 SKIPIF 1 < 0 上，并按图1位置摆放，使 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在射线 SKIPIF 1 < 0 上，此时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)现将射线 SKIPIF 1 < 0 从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转，转到与 SKIPIF 1 < 0 重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，在旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 与三角板的一边平行时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(3)若将射线 SKIPIF 1 < 0 从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转，同时，将三角板 SKIPIF 1 < 0 也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．①如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ________度；②如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ________度．4．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 的顶点E、顶点F分别在直线 SKIPIF 1 < 0 、直线 SKIPIF 1 < 0 上，点M在直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，(1)如图1，已知 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，已知点N为 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，请用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示 SKIPIF 1 < 0 的度数，并说明理由；(3)如图3，在（2）问的条件下， SKIPIF 1 < 0 ，将三角形 SKIPIF 1 < 0 绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得三角形 SKIPIF 1 < 0 ，将三角形 SKIPIF 1 < 0 绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得三角形 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 首次旋转到直线 SKIPIF 1 < 0 上时三角形 SKIPIF 1 < 0 立刻绕点E逆时针以原速旋转，当 SKIPIF 1 < 0 旋转到直线 SKIPIF 1 < 0 上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出边 SKIPIF 1 < 0 与三角形 SKIPIF 1 < 0 的边平行时的旋转时间t的值．类型五、平行证明之值不变【解惑】（2023春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 直线c，直线 SKIPIF 1 < 0 直线c且垂足为A，点B、点C是直线a上的两点，连接AB、AC．(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于D，交直线c于点E；①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为______；②求证： SKIPIF 1 < 0 ．(2)如图2，点F为直线b的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，点B在直线a上向右运动， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点G，在点B运动过程中 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．【融会贯通】1．（2023春·七年级单元测试）已知如图，两条射线 SKIPIF 1 < 0 ，连结端点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 是射线 SKIPIF 1 < 0 上不与点 SKIPIF 1 < 0 重合的一个动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数.(2) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的比值是否发生变化?若不变，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若变化，请说明理由.(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数.2．（2023春·江苏·七年级校联考期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 交射线 SKIPIF 1 < 0 于点E．(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)当点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动时（点P与点A、点D不重合），设 SKIPIF 1 < 0 ．猜想： SKIPIF 1 < 0 的值是否变化？若不变，求出这个值；如变化，请说明理由．3．（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）如图1，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交于点E、F， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补．(1)试判断直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由；(2)如图2， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线交于点P， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点G，点H是 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(3)如图3，在（2）的条件下，连接 SKIPIF 1 < 0 ，K是 SKIPIF 1 < 0 上一点使 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，问 SKIPIF 1 < 0 的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．4．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图1，点A是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，C是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，B是直线 SKIPIF 1 < 0 之间的一点． SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线交于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(3)如图3， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，试探究 SKIPIF 1 < 0 的值，若不变求其值，若变化说明理由．类型六、平行证明值数量关系【解惑】（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图①，直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线EF和直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交于C、D两点，点A、B分别在直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，点P在直线EF上，连接PA、PB．(1)如图①，若点P在线段CD上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小；(2)猜想：如图①，若点P在线段CD上移动，直接写出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系；(3)探究：如图②，若点P不在线段CD上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．【融会贯通】1．（2023春·全国·七年级期中）如图1，  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 度数．小明的思路是：过P作 SKIPIF 1 < 0 ，如图2，通过平行线性质来求 SKIPIF 1 < 0 ．(1)按小明的思路，易求得 SKIPIF 1 < 0 的度数为　 　；请说明理由；(2)如图3， SKIPIF 1 < 0 ，点P在射线 SKIPIF 1 < 0 上运动，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点之间运动时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点外侧运动时（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点不重合），请你直接写出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 间的数量关系．2．（2023春·上海·七年级期中）如图1，已知两条直线 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截，分别交于点E，点F， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)判断直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点M，F重合）， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H，过点H作 SKIPIF 1 < 0 于点N，设 SKIPIF 1 < 0 ．①当点G在点F的右侧时，若 SKIPIF 1 < 0 ，求β的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．3．（2023春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 ，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 　 　；如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 　 　；(2)如图2，试说明， SKIPIF 1 < 0 ；(3)如图3，若 SKIPIF 1 < 0 的平分线与 SKIPIF 1 < 0 的平分线相交于点F，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由．4．（2023春·福建·七年级期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上．(1)如图①，当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间时，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②．在①的条件下， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交点为 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的下方时，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的反向延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．类型七、平行证明之用字母表示度数【解惑】（2023·全国·九年级专题练习）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．(1)如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系： ．(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．(3)如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．(4)如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC= SKIPIF 1 < 0 ，则∠BDC1= ．（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）【融会贯通】1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）已知， SKIPIF 1 < 0 ，点C是直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 下方一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)如图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线相交于点H，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）(3)如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两部分，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点H，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．（用含n和 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）2．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．(1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）3．（2021春·辽宁大连·七年级统考期中）如图， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．（1）求 SKIPIF 1 < 0 的度数（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）；（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，请在备用图中补全图形，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ”改为“作射线 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 分为 SKIPIF 1 < 0 两个部分，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ”，其余条件不变，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恰好平分 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 __________（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）．4．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）类型八、平行证明之角度比值【解惑】（2022·湖北宜昌·校考一模）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线， SKIPIF 1 < 0 (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ：(2)如图②， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的平分线所在直线，试探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交于点P， SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 　 　．【融会贯通】1．（2023春·七年级单元测试）已知： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 上一点．(1)如图1，写出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系并说明理由；(2)如图2，写出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系并说明理由；(3)如图3， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．2．（2022秋·八年级课时练习）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，试探索： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的数量关系；(3)在（2）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．3．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ．若在直线 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．4．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图已知直线AB SKIPIF 1 < 0 射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQ SKIPIF 1 < 0 EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数：②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，直接写出∠CPQ的度数．5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点G， SKIPIF 1 < 0 ．(1)试说明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，点F在 SKIPIF 1 < 0 的反向延长线上，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；(3)如图3，线段 SKIPIF 1 < 0 上有点P，满足 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 .若在直线 SKIPIF 1 < 0 上取一点M，使 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．