山东省济南市莱芜凤城高级中学2023-2024学年高二上学期10月份月考数学试题

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一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.（5分）直线x4+y2=1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.x2+y2-4x-2y=0B.x2+y2-4x-2y-1=0
C.x2+y2-4x-2y+1=0D.x2+y2-2x-4y=0
2.（5分）已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，对角线AC'与BD'相交于点O，则有( )
A.AB→⋅A'C'→=a2B.AB→⋅AC→'=2a2C.AB→⋅AO→=12aD.BC→⋅DA'→=a2
3.（5分）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则AO→=( )
A.-12a→+12b→+c→B.12a→+12b→+c→C.-12a→-12b→+c→D.12a→-12b→+c→
4.（5分）已知a→=(1，0，1)，b→=(x，-1，2)，且a→⋅b→=3，则向量a→与b→的夹角为( )
A.5π6B.π6C.π3D.2π3
5.（5分）已知直线l的方程为xsinα+3y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是( )
A.(0,π3]∪[23π,π)B.[0,π6]∪[5π6,π)C.[π6,5π6]D.[π3,2π3]
6.（5分）直线x+y-b=0与曲线x=4-y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A.|b|=22B.-2≤b≤2C.-2≤b≤2或b=22D.-2≤b0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值.
20.（12分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心的坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程.
21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M，N分别为AD，PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB//CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1.
(1)求证：AN//平面PBC；
(2)求异面直线PB与NC所成角的余弦值；
(3)求点B到平面MNC的距离.
22.（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，已知∠BCC1=π3，BC=1，AB=C1C=2，点E是棱CC1的中点.
(1)求证：C1B⊥平面ABC；
(2)求平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值；
(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111?若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.（5分）【答案】A
2.（5分）【答案】A
3.（5分）【答案】B
4.（5分）【答案】B
5.（5分）【答案】B
6.（5分）【答案】D
7.（5分）【答案】C
8.（5分）【答案】B
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.（5分）【答案】AB
10.（5分）【答案】BD
11.（5分）【答案】ABD
12.（5分）【答案】BC
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）【答案】x>-4且x≠2
14.（5分）【答案】355
15.（5分）【答案】5
16.（5分）【答案】66
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)MN→=MD1→+D1N→=12(AA1→+AD→)+13AB→
=13AB→+12AD→+12AA1→，
所以x=13，y=12，z=12；
(2)∵AC1→=AD→+AB→+AA1→，
∴|AC1→|2=(AD→+AB→+AA1→)2
=AD→2+AB→2+AA1→2+2AD→⋅AB→+2AD→⋅AA1→+2AB→⋅AA1→
=1+1+1+0+1+1
=5，∴AC1=5.
18.（12分）(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
依题意可得，{a+b-3=0，(1-a)2+(4-b)2=(3-a)2+(2-b)2，
解得{a=1，b=2，
∴r=|CP|
=(1-1)2+(4-2)2=2，
∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
(2)∵|MN|=23，
∴圆心到直线m的距离d=r2-(3)2=4-3=1.
①直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，满足题意；
②直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-3=k(x-2)，
即kx-y-2k+3=0，
∴d=|k-2-2k+3|k2+1=1，解得k=0，
∴直线m的方程为y=3.
综上，直线m的方程为x=2或y=3.
19.（12分）(1)设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+2+k=0.
则它在两坐标轴上截距分别为-1-2k和k+2，
由题意，-1-2k+k+2=0，解得：k=-2或k=1，
直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0.
(2)设直线l的斜率k>0，
则直线l：kx-y+2+k=0与两坐标轴交点分别为A(-2k-1，0)、B(0，k+2)，
S△AOB=12|-2k-1|·|k+2|=(k+2)22k=k2+2+2k≥2k2·2k+2=4，
当且仅当k=2时，等号成立，
故△AOB面积最小值为4.
20.（12分）(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4，所以圆C1的圆心的坐标为(3，0).
(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M⋅kAB=-1，当x≠3时，可得yx-3⋅yx=-1，整理得(x-32)2+y2=94，又当直线l与x轴重合时，点M的坐标为(3，0)，代入上式成立.
设直线l的方程为y=kx，与x2+y2-6x+5=0联立，消去y得(1+k2)x2-6x+5=0，
令Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0，得k2=45，
此时方程为95x2-3x=0，
解得x=53或x=0(舍去)，
因此53