广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

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一．选择题（每题3分，共30分）
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
3．如图所示这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（ ）
A．75B．80C．85D．90
5．用配方法解一元二次方程x2－6x＋5＝0，此方程可化为（ ）
A．（x－3）2＝4B．（x－3）2＝14C．（x＋3）2＝4D．（x＋3）2＝14
6．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
7．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为－1，则点P的坐标为（ ）
A．（－2，0）B．（0，－2）C．D．
8．如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，DE∥BC，交AC边于点E，EF∥AB，交BC边于点F，若BF：CF＝3：2，AB＝15，则线段BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．9
9．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，若AD＝5，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c．已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为 ．
12．如图，点D、E分别在AB与AC上，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，DE＝3，则BC＝ ．​
13．若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2023－6a＋2b的值为 ．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的周长为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 ．
三．解答题（共55分）
16．（5分）解方程：
（1）x2－6x－4＝0；（2）3x（x－2）＝2x－4．
17．（7分）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时是女性；当染色体为XY时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱．
（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是 ；
（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率．
18．（8分）如图，□ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°，求BF的长．
19．（8分）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6m，DN＝0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
（2）求标杆EF的影长．
20．（8分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
21．（9分）已知（m－1）x3＋mx2－（5－m）x＋3＝0为一元二次方程，x1，x2为此方程的解且x1＜x2，若A（x1，－1），B（x2，1）为坐标平面内的点．
（1）求m的值；
（2）求直线AB的表达式；
（3）若M，N分别是直线AB上的两个动点，MN＝AB，点M在点N的左边，点C（－1，2），D（3，3），当四边形MNDC周长最小时，写出点M的坐标．
22．（10分）下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．
如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为边AB上一点（不与点A、点B重合），先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H．
（1）观察发现
写出图1中一个与△AEG相似的三角形： ．
（2）迁移探究
当CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，如图2．
①设∠CHD＝α，∠BCE＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②求阴影部分的面积．
（3）拓展应用
当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，直接写出BE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴＝＋1＝＋1＝．
故选：D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
3．如图所示这个几何体的主视图是（ ）
​
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：D．
4．某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（ ）
A．75B．80C．85D．90
【解答】解：∵该组数据的平均数为82，
设被污损的数据为x，
∴（75＋80＋85＋90＋x）÷5＝82，
解得x＝80，
∴这组数据为：75，80，85，90，80，
∵80出现的次数最多，
∴这组数据的众数为80．
故选：B．
5．用配方法解一元二次方程x2－6x＋5＝0，此方程可化为（ ）
A．（x－3）2＝4B．（x－3）2＝14C．（x＋3）2＝4D．（x＋3）2＝14
【解答】解：x2－6x＋5＝0，
x2－6x＝－5，
配方得：x2－6x＋9＝－5＋9，
（x－3）2＝4，
故选：A．
6．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22－4×k×（－1）＞0且k≠0，
解得k＞－1且k≠0，
故选：B．
7．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为－1，则点P的坐标为（ ）
A．（－2，0）B．（0，－2）C．D．
【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（2，3），
∴AB＝OC＝3，OA＝2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF∥OC，DE∥OP，
∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得：OP＝2，OD＝，
∴点P的坐标为（－2，0），
故选：A．
8．如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，DE∥BC，交AC边于点E，EF∥AB，交BC边于点F，若BF：CF＝3：2，AB＝15，则线段BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．9
【解答】解：∵EF∥AB，BF：FC＝3：2，
∴，＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝
∵AB＝15，
∴
∴BD＝6．
故选：C．
9．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是（ ）​
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ACB∽△PCO，
∴＝，
∴＝，
∴OP＝5（m），
故选：C．
10．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，若AD＝5，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝8，
在等腰△ADC中，AD＝DC＝5，
∴BD垂直平分AC，
∴AO＝4，∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
根据勾股定理，得OD＝＝＝3，BO＝＝＝，
∴BD＝3＋，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABD＝30°，
∴∠FDB＝∠FBD＝30°，
∴DF＝BF，
过点F作FH⊥BD于点H，
则H是BD的中点，
∴DH＝BD＝，
设DF＝x，则FH＝x，
根据勾股定理，得，
解得x＝或x＝－4－（舍去），
∴DF＝，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c．已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为 4 ．
【解答】解：众数的定义可知a，b，c中有2个4，或3个都为4，
设a＝b＝4，c≠5，
则c≤4或c＞5，
∴这组数据为3，c，a，b，4，5，5，或3，a，b，4，5，5，c，
则中位数为4．
故答案为：4．
12．如图，点D、E分别在AB与AC上，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，DE＝3，则BC＝ 9 ．​
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵△ADE∽△ABC，DE＝3，
∴，
∴＝，
∴BC＝9，
故答案为：9．
13．若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2023－6a＋2b的值为 2019 ．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9a－3b＝6，即3a－b＝2，
则原式＝2023－2（3a－b）＝2023－4＝2019．
故答案为：2019．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的周长为 16 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴OB＝4，
∴AB＝＝＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝16．
故答案为：16．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 ．
【解答】解：如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，CD∥AB，
∵点E是AB中点，点G是CD中点，
∴CG＝AE＝DG＝BE＝3，
∴AG＝5，
∴四边形AEGD是矩形，
∴点O是ED的中点，
OG即为点P的运动轨迹，
∴当BP⊥OG时，BP有最小值，
∵2S△ABG＝AG•BH＝AB•EG，
∴BH＝＝，
∴BP的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2－6x－4＝0；
（2）3x（x－2）＝2x－4．
【解答】解：（1）x2－6x－4＝0，
x2－6x＝4，
x2－6x＋9＝4＋9，即（x－3）2＝13，
∴x－3＝±，
∴x1＝3＋，x2＝3－；
（2）3x（x－2）＝2x－4，
3x（x－2）＝2（x－2），
3x（x－2）－2（x－2）＝0，
∴（3x－2）（x－2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
17．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时是女性；当染色体为XY时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱．
（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是 随机 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是 ；
（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率．
【解答】解：（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是随机事件，“第一胎为女孩”的概率是，
故答案为：随机，；
（2）方法一：依题意可列表如下：
共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
∴P（两个小孩恰好是一男一女）＝；
方法二：依题意可画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
∴P（两个小孩恰好是一男一女）．
18．如图，▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠C＋∠EDA＝180°，∠BAF＝∠AED，
∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠EDA，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，AB＝3，
得，
解得或－2（不合题意，舍去），
∵△ABF∽△EAD，
∴，
得，
解得，
故BF的长为．
19．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6m，DN＝0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
（2）求标杆EF的影长．
【解答】解：（1）如图．
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，
由AB∥CD∥OH得，
即，
解得x＝1.2．
设FG＝ym，同理得，
即，
解得y＝0.4．
所以EF的影长为0.4m．
20．2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150（1＋x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y－30）元，月销售量为300－10（y－40）＝（700－10y）个，
根据题意得：（y－30）（700－10y）＝3960，
整理得：y2－100y＋2496＝0，
解得：y1＝48，y2＝52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝48．
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
22．下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．
如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为边AB上一点（不与点A、点B重合），先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H．
（1）观察发现
写出图1中一个与△AEG相似的三角形： △FHG或△DHC（写出一个即可） ．
（2）迁移探究
当CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，如图2．
①设∠CHD＝α，∠BCE＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②求阴影部分的面积．
（3）拓展应用
当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，直接写出BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，
∴∠A＝∠B＝∠F＝∠D＝90°，
∵∠AGE＝∠FGH，
∴△AEG∽△FHG，
∴∠AEG＝∠FHG＝∠DHC，
∴△AEG∽△DHC，
故答案为：△FHG或△DHC（写出一个即可）；
（2）①a＝2β，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠CHD＝∠BCH＝α，
∵△CEF由△CEB沿CE翻折得到，
∴∠BCE＝∠FCE＝β，
∵∠BCH＝∠BCE＋∠FCE，
∴a＝2β；
②∵点H是AD的中点，
∴AH＝HD＝3，
∴，
∴FH＝CF－CH＝1，
∵∠CDH＝∠GFH，∠CHD＝∠GHF，
∴△BDC∽△HFG，
∴，即＝，
∴FG＝，
∴S△HFG＝××1＝，
∴阴影部分的面积是；
（3）①设AB的中点为K，CD的中点为T，直线KT为矩形ABCD的对称轴，当F在KT上时，如图：
∵CF＝BC＝6，CT＝CD＝2，∠FTC＝90°，
∴FT＝＝＝4，
∴KF＝KT－FT＝6－4，
设BE＝x，则KE＝BK－BE＝2－x，
∵∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠KFE＝90°－∠TFC＝∠TCF，
∵∠EKF＝∠FTC＝90°，
∴△EKF∽△FTC，
∴＝，即＝，
解得x＝18－12；
∴BE＝18－12；
②设AD的中点为N，BC的中点为M，直线MN为矩形ABCD的对称轴，当F在直线MN上时，如图：
∵∠FMC＝90°，CM＝BC＝3，CF＝BC＝6，
∴CM＝CF，
∴∠MFC＝30°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠FCM＝30°，
∵tan∠BCE＝，
∴＝，
解得BE＝2；
综上所述，当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，BE的长为18－12或2． ②①
男
女
男
男，男
女，男
女
男，女
女，女