绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为( )
A.B.C.D.
2、已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3、袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是( )
A.至少有一个白球；全部都是红球
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；恰有一个红球
D.恰有一个白球；全部都是红球
4、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A.45B.50C.55D.60
5、袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
A.B.C.D.
6、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，M为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7、已知四面体，，，，点M在棱上，，N为中点，则( )
A.B.
C.D.
8、在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点A到直线的距离为( )
A.B.1C.D.
二、多项选择题
9、如图是2018年第一季度五省情况图，则下列描述正确的是( )
A.与去年同期相比2018年第一季度五个省的总量均实现了增长
B.2018年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省
C.2018年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D.去年同期河南省的总量不超过4000亿元
10、对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：40，53，57，62，63，57，60；乙：47，63，52，59，45，56，63.则下列判断正确的是( )
A.甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63
B.甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56
C.甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数
D.甲消费额的方差小于乙消费额的方差
11、甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，若前两局中乙队以领先，则( )
A.甲队获胜的概率为B.乙队以获胜的概率为
C.乙队以获胜的概率为D.乙队以获胜的概率为
12、如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.平面
C.三棱锥的体积为定值
D.直线与所成的角可能是
三、填空题
13、袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________.
14、自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征，如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为________.
15、已知点D在平面内，O为平面外一点，且，，则的最小值是________.
16、如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，则点Q到平面的距离________.
四、解答题
17、已知，，，，，求：
（1）的值；
（2）与夹角的余弦值.
18、2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.
19、随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
20、如图，在三棱柱中，侧面和都是正方形，平面平面，D，E分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21、为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”，2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格），甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响.
（1）求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；
（2）求不进行加赛甲就获得数独王的概率.
22、条件①：图（1）中.条件②：图（1）中，条件③：图（2）中三棱锥的体积为.从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线上，并加以解答，如图（1）所示，在中，，，过点A作，垂足D在线段上，沿将折起，使（如图（2）），点E，M分别为棱，的中点.
（1）求证：；
（2）已知________，试在棱上确定一点N，使得，并求二面角的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案
1、答案：C
解析：由A与B关于平面对称，且，
所以.
故选：C.
2、答案：B
解析：对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D错误.
故选：B.
3、答案：D
解析：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，
对于A选项，事件“至少有一个白球”包含：“2个白球”、“1红1白”，
所以，A选项中的两个事件为对立事件；
对于B选项，事件“至少有一个红球”包含：“2个红球”、“1红1白”，
所以，B选项中的两个事件有交事件，这两个事件不是互斥事件；
对于C选项，事件“恰有一个白球”和“恰有一个红球”为同一事件；
对于D选项，事件“恰有一个白球”与“全部都是红球”是互斥事件，
但不是对立事件.
故选：D.
4、答案：B
解析：根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率，
又因为低于60分的人数是15人，
所以该班的学生人数是.
故选：B.
5、答案：B
解析：有放回地抽取三次，每次有3种可能，故所有抽取可能有种；
又满足题意的只有红红红、黄黄黄、绿绿绿3种，
故满足题意的概率.
故选：B.
6、答案：C
解析：画出四面体，建立坐标系，
利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可，
四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示，
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
，，，，
，，
，
因为异面直线夹角的范围为，
所以异面直线与夹角的余弦值为.
故选：C.
7、答案：C
解析：在四面体中，连接，如图所示，
，，，因，N为中点，
则，，
于是得.
故选：C.
8、答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点A到直线的距离为.
故选：B.
9、答案：ABD
解析：由2018年第一季度五省情况图，知：
与去年同期相比，2018年第一季度五个省的总量均实现了增长，A正确；
2018年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正确；
2018年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，
共2个故C不正确；
由2017年同期河南省的总量增长6.6%后达到2018年的4067.4亿元，
可得去年同期河南省的总量约为3815.6亿元，不超过4000亿元，故D正确.
故选：ABD.
10、答案：ABC
解析：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，正确；
对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，正确；
对于C，，，
可得，正确；对于D，，
，
可得，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误.
故选：ABC.
11、答案：AB
解析：对于A，在乙队以领先的前提下，
若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，
所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于B，乙队以获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，
概率为，故C错误；
对于D，若乙队以获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，
所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误.
故选：AB.
12、答案：AC
解析：对于A中，在正方体中，可得，，
又由，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，在正方体中，可得，
所以B，C，，四点共面，所以B不正确；
对于C中，因为，点P到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为定值，所以C正确；
对于D中，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系，可得，，，
设，，，
则，，
则，
当时，；
当，时，，
所以直线与所成的角的范围是，所以D不正确.
故选：AC.
13、答案：
解析：由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有：
，，，，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为.
故答案为：.
14、答案：
解析：如图所示，
所以，
依题可知：，，
，，，
所以，
所以，
则，故.
故答案为：.
15、答案：9
解析：因为A，B，C，D共面，所以，又，，
则
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是9.
故答案为：9.
16、答案：
解析：因为正方体的三条棱，，两两垂直，所以D为原点，
，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
取点G为的中点，P为的中点，
所以，又因为，
所以，所以P，G，C，D构成平面，
因为E，F为上两个动点，，且E，F，P三点不共线，
所以平面即平面，
所以点Q到平面的距离即为点Q到平面的距离，
又，，，，
所以，，，
不妨设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
所以点Q到平面的距离为，
即点Q到平面的距离为.
故答案为：.
17、答案：（1）0
（2）
解析：（1）因为，所以，解得，，
则，，又，所以，即，
解得，于是，.
（2）由（1）得，，设与的夹角为，
因为.所以与夹角的余弦值为.
18、答案：（1）32.25，
（2）
解析：（1）设这m人的平均年龄为，则：（岁），
设第80百分位数为a，
由，解得
（2）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，
第五组抽取2人，记为D，乙，
对应的样本空间为：，，，甲)，，乙)，
，，，甲)，，乙)，，，甲)，，乙)，
，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，，共15个样本点.
设事件甲、乙两人至少一人被选上，
则，甲)，，乙)，，甲)，，乙)，，甲)，，乙)，
(甲，乙)，(甲，D)，(乙，，共有9个样本点.
所以，.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.
都付2元的概率为；
都付4元的概率为；
都付6元的概率为；
故所付费用相同的概率为.
（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A、B、C，
；
；，
设两人费用之和大于或等于8的事件为W，则，
所以，两人费用之和大于或等于8的概率，
.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取中点F，连接，，
E，F分别为，的中点，，
且，又四边形是正方形，且，
即且，又D为中点，且，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，
平面，所以平面.
（2）由题意，，，两两垂直，
所以以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，得，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，
设c两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”，
.
所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为.
（2）设“不进行加赛甲就获得数独王”，
，
，
，
，
所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为.
22、答案：（1）证明见解析
（2）N是的靠近点D的一个四等分点，
解析：（1），，，，平面，
平面，平面，，
又M，E分别为，的中点，，.
（2）方案一：选①，由，
解得或（舍去），
设，在中，，
解得，，以点D为原点，
，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，设，，则，
，，即，
，，当（即N是的靠近点D的一个四等分点）时，
，设平面的法向量为，，，
由得，令，得，，则，
取平面的一个法向量，，
又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.
方案二：选②，在题图（1）所示的中，设，
则，
又，由平面向量基本定理知，即，以点D为原点，
，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则.设，，则，
，，即，
，，
当（即N是的靠近点D的一个四等分点）时，
，设平面的法向量为，，，
由得，令，得，，则，
取平面的一个法向量，
，
又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.
方案三：选③，设，，则，
，，为等腰直角三角形，
，在三棱锥中，，，
且，，平面，平面，
又，，
，
化简得，解得或（舍去），以点D为原点，
，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，设，，则.
，，即，
，，
当（即N是的靠近点D的一个四等分点）时，，
设平面BNM的法向量为，，，
由得，令，得，，则，
取平面的一个法向量，
，
又二面角的平面角为锐角.