第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共4页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略， 抛物线的中点弦斜率公式， 中点弦斜率拓展， 椭圆其他斜率形式拓展等内容，欢迎下载使用。
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算
2.会用点差法求解相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
椭圆中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−a2b2=1e2−1
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
3. 抛物线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 kAB= py0
(2) 若 Mx0,y0 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 kAB=x0p
4. 中点弦斜率拓展
在椭圆 x2a2+y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=−b2x0a2y0;
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
在抛物线 y2=2pxp>0 中，以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=py0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 Ax1,y1、Bx2,y2,
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（1） 设点: 若 Ax1,y1,Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上不重合的两点,则
x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1
（2） 作差: 两式相减得 x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0,
（3）表斜率: y1−y2x1−x2 是直线 AB 的斜率 k,x1+x22,y1+y22 是线段 AB 的中点 x0,y0,
化简可得 y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−b2a2⇒y0x0⋅k=−b2a2, 此种方法为点差法。
考点一、椭圆中的中点弦问题
1．（全国·高考真题）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【详解】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
4．（全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【答案】（1）；（2）证明见解析，公差为或．
【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．
（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法
设，则.
两式相减，并由得，
由题设知，于是.①
由题设得，故.
［方法二］：【通性通法】常规设线
设，，当时，显然不满足题意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直线与椭圆系的应用
对原椭圆作关于对称的椭圆为．
两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．
又点在椭圆C内部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直线参数方程的应用
设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想
由题意得，设，则
.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是.
同理，所以.
故，即，，成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.
所以该数列的公差为或.
［方法二］：硬算
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．
由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．
由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
即该数列的公差为或.
［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用
因为线段的中点为，得．
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，
由椭圆方程可知，
由椭圆的焦半径公式得，．所以．
由方法二硬算可得，或，从而公差为，即该数列的公差为或.
【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；
方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．
方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；
方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；
（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；
方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．
5．（浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.
【详解】设，
则，两式作差得
所以
若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线，
即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以
解得，所以C的方程为
故选：C
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】解：设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：A.
3．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可得，再利用重心的性质可得点，从而利用可得，即可求离心率.
【详解】设，的中点为，
因为都在椭圆上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因为，所以，
又因为为△BMN的重心，所以，
所以，则，
所以，整理得，即，
所以，则，
所以离心率.
故选: A.
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）（多选）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．椭圆的标准方程为D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据直线过点和点可得直线的方程，与椭圆方程联立，可得的中点的横坐标得到可得椭圆标准方程和离心率，从而达到答案.
【详解】因为直线过点和点，所以直线的方程为，
代入椭圆方程，消去，得，
所以的中点的横坐标为，即，
又，所以，离心率为，
所以圆的方程为．
故选：ABD．

5．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组，解出即可.
（2）设，利用点差法得，再根据中点坐标求出，，代入即可得到直线斜率，最后写出直线方程即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．
又椭圆的长轴比短轴长2，所以，
联立方程组，解得
所以椭圆的方程为．
（2）显然点在椭圆内，
设，因为在椭圆上，所以，
两个方程相减得，即，
因为线段的中点为，所以，，
所以．
所以的方程为，即．
6．（2023·重庆·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点， M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为 ；若，则直线的方程为 ．
【答案】 /0.5
【分析】应用点差法转化斜率积可求离心率,设直线与椭圆联立,应用已知距离可求直线方程.
【详解】设点，，在椭圆上
．．．．．．．．．．．．．．①
．．．．．．．．．．．．．．．②
因为
．．．．．．．．．．．．．．③
由①-②得，即，所以，
由③得，
，则，
过平行于的直线与椭圆交于B，C两点,
，
，
设直线BC为
联立,可得
，则,
.由题意
即直线的方程为
故答案为: ;
考点二、双曲线中的中点弦问题
1．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
3．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
4．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由 求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线,,把代入得
故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.
1．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
2．（2022·山东烟台·统考三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
3．（2022·上海青浦·统考一模）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是 .
【答案】
【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.
4．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【答案】
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.
故答案为：
5．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则 ．
【答案】
【分析】解法一，利用点差法，结合，以及，变形得到，再转化为关于的齐次方程，求解；解法二，设直线，，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于的齐次方程，求解.
【详解】解法一 由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．
解法二 由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．
故答案为：
【点睛】思路点睛： 常见的求双曲线离心率的方法：①根据已知条件列方程组，解出，的值，直接利用离心率公式求解即可；②根据已知条件得到一个关于，（或，）的齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解．
考点三、抛物线中的中点弦问题
1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）求线段中点的坐标；
（3）求所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线方程，由此求得，进而求得抛物线方程和焦点坐标.
（2）根据重心坐标公式列方程，求得，再由中点坐标公式求得的坐标
（3）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）将代入抛物线方程得，所以抛物线方程为；
（2）设，由于，由重心坐标公式得，
化简得，
所以中点的坐标为；
（3）设所在直线斜率为，将代入抛物线方程得，两式相减并化简得，即，解得，所以直线的方程为，即.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的中点弦问题，属于基础题.
1．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
2．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
【答案】3
【分析】由题设知直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得的中点横坐标，进而得纵坐标，即得.
【详解】由题意，抛物线为，则，即直线为，
∴将直线方程代入抛物线整理得：，
设，，则，
故线段的中点的横坐标为代入直线，得，
∴线段的中点到轴的距离是.
故答案为：3.
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【答案】2
【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.
【详解】设，代入抛物线，得，
则①，
因为两点A，B关于点对称，则，
所以由①得，
直线AB的斜率为2.
则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
4．（2023·云南红河·校考模拟预测）已知抛物线，过点的直线l交C于M，N两点．
(1)当点A平分线段时，求直线l的方程；
(2)已知点，过点的直线交C于P，Q两点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求直线的方程；
(2)利用设而不求法证明，再结合角平分线的性质证明.
【详解】（1）设，则，所以；又因为点是的中点，所以，所以，所以，所以直线的方程为：，即，
联立消得，，方程的判别式，即直线与抛物线相交，满足条件，
故直线的方程为；
（2）设直线的方程为：，则，所以；方程的判别式，设，
所以，所以
所以，所以是的平分线，所以，
即．
【点睛】(1)点差法是解决弦的中点问题的常用方法，使用点差法要对所得结果进行验证；
(2)有关直线与抛物线的交点问题，常用设而不求法解决．
【能力提升】
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解.
【详解】设，则，
由已知有，，
作差得，
则，
所以，解得，
则的方程为.
故选：D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答.
【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，
由两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的离心率.
故选：A
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，由重心公式可得的横纵坐标的和，再由“点差法”结合斜率公式可得，进一步可求得椭圆的离心率.
【详解】设，又
由原点是的重心，得，
即，
又是椭圆上的点，
，
作差可得：，
即，即，
，
故选：D
5．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x－4y＋6=0B．4x－y－6=0
C．4x＋y－10=0D．
【答案】A
【分析】由已知求出取得最小值时满足的条件，再结合求出，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．
【详解】∵，
当且仅当，即取等号，
∴，又，又为正数，
∴可解得．
设弦两端点分别为，则，
两式相减得，
∵，
∴．
∴直线方程为，即．
故选：A．
6．（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，
再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；
设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，
两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.
故选：D.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为，进而在椭圆中，根据点差法可得，根据中点弦的斜率即可代入求解.
【详解】取中点，连接,由于,所以,进而 ,
设，设直线上任意一点，
由于是圆的切线，所以,所以，
令 则，所以，由中点坐标公式可得 ，
设,则，两式相减可得，
所以 ,又，,
所以，解得，进而
故直线l的方程为，即，
故答案为：
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【详解】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则．
设，，则，，
两式相减可得，
所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．
故答案为：.
9．（2023·安徽合肥·校考一模）已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是 .
【答案】
【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，
【详解】设，由题意得，
两式相减化简得，而是中点，得，
代入得，故直线方程为，即，
点在椭圆内，故直线与椭圆相交，
故答案为：
10．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】由，且A，B，P，Q四点共线，可得A，B两点之间的关系，结合点差法，可构建斜率与离心率之间的关系，代入离心率可求直线斜率.
【详解】设
因为直线斜率为正，设为，所以可设点在第一象限，
，且A，B，P，Q四点共线，

，
，
，
又，，
，，
在椭圆上，
，，
两式相减可得，
，
，
又，
，
，即，
，
，
又直线斜率为正，
故答案为：.
11．（2023·安徽滁州·校考二模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即，代入即可求出离心率.
【详解】设，其中，显然点在椭圆内，
记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，
又，两式相减整理可得，
即，又，所以两式相比可得，
即，代入，整理可得，
所以离心率.
故答案为：.
12．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
13．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】方法一，设，，根据点差法得，再结合得，故，进而得，故；
方法二：设直线的方程为,与双曲线联立方程得，进而得，即，再结合即可得，进而得，故.
【详解】解法一：由题意知，，则.
设，，
则两式相减，得.
因为线段的中点为，
所以，，
又，所以，整理得，
所以，即，得.
故选：A.
解法二：由题意知，，则.
设直线的方程为，即，
代入双曲线方程，得
.
设，，则，
所以，
又，所以，
整理得，所以，
即，得，
则
故选：A.
【点睛】结论拓展：求双曲线高心率常见的方法：
①根据已知条件列方程组，解出，的值，直接利用离心率公式求解；
②根据已知条件得到一个关于，(或，)的齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解.
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线，联立，结合韦达定理可求得的中点的坐标，由向量的数量积知，即，代入即可求解.
【详解】由已知得到.
设，直线，显然.
联立，得.
因为l与双曲线交于两点，所以，且.
由韦达定理知，
设的中点为，根据，得到，
从而得到，故.
而，，，
所以，解得，故l的斜率为，
故选：B.
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.
【详解】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
16．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线，所以，
由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．
设，，则，且，，
两式作差可得，
即，所以，
则双曲线的离心率为．
故选：D
17．（2022·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】设点，结合线段AB的中点为，求出，即可得到结论.
【详解】设，
则，可得，
设分别为双曲线的渐近线方程分是的点，
所以有，从而有，
又，，
所以，
则，所以渐近线方程为.
故答案为：.
18．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
【答案】2
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，
所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故.
故答案为：2
19．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】取的中点，连接，先求得直线的斜率，然后利用点差法求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】如图，取的中点，连接，则，
所以，设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为.设，则.
由，得到.，
所以，所以，则.
故答案为：
20．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
21．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，利用基本不等式可求得直线斜率的最大值.
【详解】易知抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，则，
故点，，
若直线的斜率取最大值，则，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故直线斜率的最大值为.
故选：A.
22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标.设直线：，用点差法表示出的中点为，利用半径相等得到：,解出k，即可求出.
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，
所以抛物线的方程为，其焦点为.
因为直线过抛物线的焦点，
所以直线的方程为.
因为，
所以在以为直径的圆上.
设点，，联立方程组，
两式相减可得，
设的中点为，则.
因为点在直线l上，
所以，所以点是以为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知，圆的半径，
因为，
所以，解得，
所以弦长.
故选：C.
【点睛】处理直线与二次曲线相交的问题：
（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决大部分直线与二次曲线相交的问题；
（2）“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
23．（2023·重庆·校联考模拟预测）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案；
对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；
对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；
对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案.
【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：

则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.
故选：ACD.
24．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）（多选）抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为中点.过作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（ ）
A．
B．的纵坐标是定值
C．为定值
D．存在唯一的使得
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，判别式法可判断A；韦达定理得，，进而求解中点M的纵坐标可判断B；结合弦长公式可判断C；结合点到直线距离公式及弦长公式，利用几何法可判断D.
【详解】设，，，则，
联立，整理得，
则，解得，故A错误；
因为，，
所以，为定值，故B正确；
，
又，，所以，
所以为定值，故C正确；
因为，且过，所以直线MN方程为：，
令得，点P到直线AB的距离，
要使，则，所以，
又，所以，解得，
所以存在唯一的使得，故D正确.

故选：BCD
25．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.
【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
26．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解.
【详解】解：设，，AB中点，
设斜率为k，则，
相减得：，
∵，即，
设抛物线的焦点为F，，
∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
此时满足在抛物线内部，
∴的最大值为6，
故答案为：6．
27．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 .
【答案】6
【分析】要求，需要求出，设直线的斜率为，根据条件表示出线段的垂直平分线方程，令，可得，又由点差法可得，从而可求出，即也可知道，从而可求出
【详解】由题意得，设线段的中点为，
则，
设直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
又，作差得
整理得，
所以，
∴．
故答案为6．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查学生的计算能力，是基础题
28．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.
【详解】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
29．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．
【详解】设又，
因为，所以，
又，则，得
则直线的斜率为，故直线的方程为，
化简为．
联立，可得
，直线与抛物线有两个交点，成立
故答案为：．
30．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知抛物线，点在E上.
(1)求E的方程；
(2)设动直线l交E于A，B两点，点P，Q在E上，且，若直线l始终平分弦PQ，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知抛物线过点可求得抛物线方程；
（2）利用点差法可求得，表示出l的方程，再根据，以及直线l始终平分弦PQ，可得到关于P点横纵坐标的方程组，即可求得点P的坐标.
(1)
因为在抛物线上，
所以，解得，
所以E的方程为.
(2)
设，，，
则，
则直线l的方程为，
化简为，又∵
∴.①
由，得
整理得，②
由①+②得，，
故直线l恒过点，
由题意知H为弦PQ的中点，
所以点.
又因为P､Q在E上，所以
解得，，
即点P的坐标为.
【点睛】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型。
方法一：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解；
方法二：若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，采用“点差法”，即将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.
【真题感知】
1．（上海·高考真题）已知椭圆C的焦点，且长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标
【答案】
【分析】先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．
【详解】由题意，可得椭圆焦点在轴上，其中，则，
所以椭圆的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得，
则中点，可得，所以，
即的中点坐标为.
故答案为：.
2．（陕西·高考真题）设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），
将（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程代入C的方程，得，
即x2﹣3x﹣8=0，解得，，
∴AB的中点坐标，
，
即中点为．
点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国乙卷（文科），
第12题,5分
由弦中点求弦方程或斜率
已知方程求双曲线的渐近线
讨论双曲线与直线的位置关系
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分
由中点弦求弦方程
根据弦长求参数
2022年新Ⅱ卷，第21题,12分
求双曲线中的弦长
由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
根据韦达定理求参数
根据双曲线的渐近线求标准方程