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第16讲 圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
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这是一份第16讲 圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共2页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
1 过圆 x2+y2=r2 上一点 Mx0,y0 的切线方程:
xx0+yy0=r2
2. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2+yy0b2=1
3. 设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2−yy0b2=1
4. 设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为
yy0=px+x0
设 Px0,y0 为圆 x2+y2=r2 外一点, 则切点弦的方程为:
xx0+yy0=r2
6. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1
7. 过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为
xx0a2−yy0b2=1
8. 设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:
yy0=px+x0
考点一、椭圆中的切线方程和切点弦方程
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
3．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为
C．过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为
D．的最小值为
4．（海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
5．（天津·统考高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）
A．当点的坐标为时，
B．当点的坐标为时，直线的斜率为
C．存在点，使得为钝角
D．存在点，使得
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆.
(1)定义：若某直线与椭圆有且仅有一个公共点，则称该直线与椭圆相切，该公共点为切点.若点在椭圆C上，证明，直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于A，B两点，且以A，B为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程
1．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．
1．（2022·全国·高三专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程．
2．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
3．（2023·全国·高三专题练习）动点到定点的距离和到直线的距离之比为，
(1)求动点的轨迹；
(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.
考点三、抛物线中的切线方程和切点弦方程
1．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，准线为，点在抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则
故答案为：1.
【点睛】关键点睛：因为，且，，所以直线的方程为，求出的直线方程是解决本题的关键.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点，
(1)当的纵坐标为4时，求抛物线在点处的切线方程；
(2)四边形面积的最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标．
【能力提升】
1．（2023·上海青浦·统考二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；
(2)若，求点的坐标；
(3)证明：直线与抛物线相切．
2．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切线、，与抛物线相切于点、，与轴分别交与点、，求四边形面积的最大值.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．
(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
(1)若，求直线l的方程；
(2)求三角形PAB面积S的最小值．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．
(1)求双曲线C和抛物线E的方程；
(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．
9．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，.
（1）求的值；
（2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴.
10．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围．
11．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．
12．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知抛物线C：的焦点在圆E：上.
(1)设点P是双曲线左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB与圆E相切；
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求的最大值.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
14．（2023·甘肃定西·统考一模）已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
16．（2023·全国·校联考模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为.
(1)求；
(2)求的方程.
17．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.
(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.
【真题感知】
1．（福建·高考真题）如图，直线与抛物线相切于点.
（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．
（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．
3．（陕西·高考真题）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
4．（广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
5．（广东·高考真题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
8．（浙江·高考真题）如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分
求椭圆的切线方程
根据椭圆过的点求标准方程
椭圆中三角形 (四边形)的面积
求椭圆中的最值问题
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
1 过圆 x2+y2=r2 上一点 Mx0,y0 的切线方程:
xx0+yy0=r2
2. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2+yy0b2=1
3. 设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:
xx0a2−yy0b2=1
4. 设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为
yy0=px+x0
设 Px0,y0 为圆 x2+y2=r2 外一点, 则切点弦的方程为:
xx0+yy0=r2
6. 设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1
7. 过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为
xx0a2−yy0b2=1
8. 设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:
yy0=px+x0
考点一、椭圆中的切线方程和切点弦方程
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
3．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为
C．过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为
D．的最小值为
4．（海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
5．（天津·统考高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆上一点的切线方程．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）
A．当点的坐标为时，
B．当点的坐标为时，直线的斜率为
C．存在点，使得为钝角
D．存在点，使得
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆.
(1)定义：若某直线与椭圆有且仅有一个公共点，则称该直线与椭圆相切，该公共点为切点.若点在椭圆C上，证明，直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于A，B两点，且以A，B为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程
1．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点．
1．（2022·全国·高三专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程．
2．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
3．（2023·全国·高三专题练习）动点到定点的距离和到直线的距离之比为，
(1)求动点的轨迹；
(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.
考点三、抛物线中的切线方程和切点弦方程
1．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，准线为，点在抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则
故答案为：1.
【点睛】关键点睛：因为，且，，所以直线的方程为，求出的直线方程是解决本题的关键.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于，两点，
(1)当的纵坐标为4时，求抛物线在点处的切线方程；
(2)四边形面积的最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标．
【能力提升】
1．（2023·上海青浦·统考二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；
(2)若，求点的坐标；
(3)证明：直线与抛物线相切．
2．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切线、，与抛物线相切于点、，与轴分别交与点、，求四边形面积的最大值.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．
(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
(1)若，求直线l的方程；
(2)求三角形PAB面积S的最小值．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．
(1)求双曲线C和抛物线E的方程；
(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．
9．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，.
（1）求的值；
（2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴.
10．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．
（1）求的最小值；
（2）求的取值范围．
11．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．
12．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知抛物线C：的焦点在圆E：上.
(1)设点P是双曲线左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB与圆E相切；
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求的最大值.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
14．（2023·甘肃定西·统考一模）已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
16．（2023·全国·校联考模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为.
(1)求；
(2)求的方程.
17．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.
(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.
【真题感知】
1．（福建·高考真题）如图，直线与抛物线相切于点.
（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
2．（安徽·高考真题）设是抛物线的焦点．
（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．
3．（陕西·高考真题）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
4．（广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
5．（广东·高考真题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
8．（浙江·高考真题）如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分
求椭圆的切线方程
根据椭圆过的点求标准方程
椭圆中三角形 (四边形)的面积
求椭圆中的最值问题
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