人教A版（2019）第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷(含答案)

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人教A版（2019）第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为(   )A. B. C. D.2、已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则的最小值为(   )A.16 B.14 C.12 D.103、若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为(   )A. B. C. D.4、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是(   )A. B. C. D.5、直线与椭圆的交点个数为(   )A.0 B.1 C.2 D.36、已知椭圆，则长轴的端点为(   )A.，  B.，C.， D.，7、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为(   )A. B. C. D.8、当椭圆的离心率最小时，它的焦距为(   )A.2 B. C.4 D.二、多项选择题9、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则(   )A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，C.离心率为  D.的最小值为310、已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(   )A. B. C. D.三、填空题11、已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为_________.12、给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是___________（填序号）.13、已知椭圆的对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为8，且离心率为，则此椭圆的标准方程为__________.14、设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则__________.四、解答题15、已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.16、生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.（1）求椭圆C的标准方程.（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
参考答案1、答案：C解析：设弦两端点为，，则，①-②得即直线为，化简得.故选：C.2、答案：A解析：设，，，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或-1）时，取等号.3、答案：A解析：由题意，得点到点与点的距离之和为8.又，所以动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，所以，所以椭圆的方程为.故选A.4、答案：D解析：如图.若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则只需P为椭圆长轴端点时，即，则，即.因为，所以，所以，即.又，所以，即.故选D.5、答案：C解析：由椭圆，可得，，则椭圆的右顶点为，上顶点为.又直线恰好过点A，B，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选C.6、答案：A解析：因为椭圆C的方程为，所以，且焦点在x轴上，所以长轴的端点为，.故选A.7、答案：B解析：设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C的离心率.故选B.8、答案：C解析：因为曲线表示椭圆，所以.因为，所以，因此椭圆标准方程中的，.因为离心率，所以离心率最小时，的值最大.因为，当且仅当时取等号，所以此时椭圆的焦距.故选C.9、答案：ABD解析：由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD.10、答案：AC解析：由椭圆的定义可得，.因为椭圆G的离心率为，则，所以.若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为；若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为.故选AC.11、答案：解析：设椭圆上关于直线对称的两点分别为，，线段CD的中点为，直线CD的方程为.联立，所以，，所以，所以，所以.因为点G在直线上，所以，所以，所以，解得，所以实数m的取值范围为.12、答案：①③④解析：对于①，圆心到直线的距离为，等于半径，故①满足题意.对于②，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以②不满足题意.对于③，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以③满足题意.对于④，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以④满足题意.故满足题意的曲线是①③④.13、答案：解析：由题意，设椭圆的方程为.因为椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为8，所以.又，所以，，所以，所以椭圆的标准方程为.14、答案：2解析：由椭圆方程，知.因为P为椭圆上的点，所以.又因为，所以，，所以.
15、（1）答案：解析：（1）因为椭圆C过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为.（2）答案：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线l的距离，所以平行四边形的面积：，即平行四边形的面积为定值.16、答案：（1）（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为解析：（1）由题意设椭圆方程为，则，，.又，所以，，.故椭圆C的标准方程为.（2）设直线AB的方程为.联立得方程组消去y并整理，得，则.设，，则，.由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.由得，则直线BM的方程为.令，则.又，则，所以直线BM过定点，同理直线AN也过定点.故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.