人教B版（2019）第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)

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人教B版（2019）第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、如图，已知正方体，M，N分别是，的中点，则(   )A.直线与直线垂直，直线平面ABCDB.直线与直线平行，直线平面C.直线与直线相交，直线平面ABCDD.直线与直线异面，直线平面2、在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为(   )A. B. C. D.3、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为(   )A.10 B.3 C. D.4、如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为上的一个动点，则下列选项中错误的是(   )A.三棱锥的体积为定值B.存在点G，使平面EFGC.存在点G，使平面平面D.设直线FG与平面所成角为，则的最大值为5、在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为(   )A.2 B.3 C.4 D.56、在边长为a的正三角形ABC中，于点D，将沿AD翻折后，，此时二面角的大小为(   )A. B. C. D.7、如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为(   )A. B. C. D.8、如图，在三棱锥中，，且，则PA与底面ABC所成角的大小为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则(   )A.当时，的周长为定值.B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点P，使得D.当时，有且仅有一个点P，使得平面10、如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是(   )A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为三、填空题11、在平面直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________.12、在空间四边形ABCD中，，.设直线AB与直线CD所成的角为，当二面角的大小在上变化时，的最大值是___________.13、已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.14、如图，二面角的大小是，线段，，与l所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是___________.四、解答题15、某商品的包装纸如图1所示，四边形是边长为3的菱形，且，，.将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒.（1）证明：平面；（2）设T为边上的一点，且二面角的正弦值为，求与平面所成角的正弦值.16、已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
参考答案1、答案：A解析：方法一：连接，则知点M在上，且.因为平面，所以，因为，所以平面，所以与异面且垂直.在中，由中位线定理可得，所以平面ABCD.易知直线AB与平面所成角为，所以MN与平面不垂直.故选A.方法二：以点D为原点，以向量，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，所以，，所以，，，所以，所以.又由题图知直线与是异面直线，所以与异面且垂直.平面ABCD的一个法向量为，所以，所以平面ABCD.设直线MN与平面所成的角为，因为平面的一个法向量为，所以，所以直线MN与平面不垂直.故选A.2、答案：D解析：方法一：以点为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，所以，.设直线PB与所成的角为，则.因为，所以.方法二：如图，连接.因为P为的中点，，所以，又，，所以平面.又平面，所以.连接，则，所以为直线PB与所成的角.设正方体的棱长为2，则在中，，，所以，所以.方法三：连接，，，，则，所以直线PB与所成的角等于直线PB与所成的角.由P为的中点，知，P，三点共线，且P为的中点.显然，所以为等边三角形，所以，又P为的中点，所以.3、答案：D解析：由，得点P到平面的距离.4、答案：C解析：对于A，平面平面，所以G到平面的距离为定值，又为定值，所以为定值，故A正确.对于B，以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设，则，所以，设平面EFG的一个法向量为，则取，得，若平面EFG，则，即，解得，所以当G为线段上靠近D的四等分点时，平面EFG，故B正确.对于C，，，则，，设平面的一个法向量为，则取，得，若平面平面，则，即，解得，又，不合题意，故C错误.对于D，，平面的一个法向量为，，则，所以的最大值为，故D正确.5、答案：D解析：设平面ABCD的一个法向量为，则得取，则，所以这个四棱锥的高.6、答案：C解析：，，就是二面角的平面角.在中，，为正三角形，.7、答案：B解析：依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，(，，且m，n不同时为0)，则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则即令，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为，所以，得，所以，所以当时，m取得最大值，为.8、答案：C解析：因为，所以P在底面ABC的射影O是的外心.又，所以O为BC的中点，连接PO，AO，则AO为PA在底面ABC的射影，即为所求的角，如图所示.在等边三角形PBC中，，所以.又为锐角，所以.9、答案：BD解析：（，）.对于A，当时，点P在棱上运动，如图1所示，此时的周长为，不是定值，故A错误；对于B，当时，点P在棱上运动，如图2所示，则，为定值，故B正确；对于C，取BC的中点D，的中点，连接，，则当时，点P在线段上运动，假设，则，即，解得或，所以点P与点D或重合时，，故C错误；方法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD.方法二：对于选项D，四边形为正方形，所以，设与交于点K，连接PK，要使平面，需，所以点P只能是棱的中点，故D正确.综上，选BD.方法三：对于D，分别取，的中点E，F，连接EF，则当时，点P在线段EF上运动，以点为原点，以，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.若平面，则，所以，解得，所以只存在一个点P，使得平面，此时点P与F重合，故D正确.综上，选BD.10、答案：ABC解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则取，得.点F到点E的距离为，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确；点F到平面的距离为，故C正确；由正方体的性质可知平面平面，所以平面到平面的距离即点F到平面的距离，为，故D错误.11、答案：解析：作轴，交x轴于点C，作轴，交x轴于点D，则，，，，，，的夹角为，，，，即折叠后A，B两点间的距离为.12、答案：解析：设E是BD的中点，连接AE，EC，如图所示.由题意，得，，所以就是二面角的平面角.在中，，，.在中，，，.设，则，，，故当时，有最大值，为.13、答案：解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.14、答案：解析：如图，过点A作平面的垂线，垂足为C，在平面内过点C作直线l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，所以，连接CB，则为AB与平面所成的角.设，则，，所以.
15、（1）答案：证明见解析解析：由题意得，所以，同理可得.在翻折的过程中，垂直关系保持不变，所以，，又，所以平面.（2）答案：PB与平面PAT所成角的正弦值为解析：因为平面，平面，所以.又，所以为二面角的平面角.因为，所以.在中，，所以，由正弦定理，得.如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则有，即，取，则，设与平面所成角为，则，所以PB与平面PAT所成角的正弦值为.16、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为E，F分别是AC和的中点，且，所以，.连接AF，由，，得，于是，所以.由，得，故以B为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.设，则，于是.所以，所以.（2）平面的一个法向量为.设面DFE的一个法向量为，，，则所以，令，得，，所以，所以.设面与面DFE所成的二面角为，则，故当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，即当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小.