云南省宣威市第三中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

这是一份云南省宣威市第三中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题，共55页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1、复数的虚部是实部的2倍，则实数（ ）
A、3B、5C、7D、9
2、已知平面向量，，若，则实数（ ）
A、B、C、1D、
3、与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（ ）
A、B、
C、D、
4、已知直线倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（ ）
A、B、C、1D、
5、椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A、B、C、D、
6、若，则（ ）
A、B、C、D、
7、已知正三棱柱的各棱长都等于2，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A、B、C、D、
8、已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l。当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A、B、
C、D、
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9、已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（ ）
A、当时，点的轨迹为一直线B、当时，点的轨迹为一射线
C、当时，点的轨迹不存在D、当时，点的轨迹是双曲线
10、若直线与直线垂直，则a=（ ）
A、0B、C、2D、1
11、已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A、椭圆离心率为B、的最大值为3
C、D、
12、高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学生的原始分数按（a，b为常数，）进行转换，是转换后的分数，转换后，全班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是（ ）
A、转换后分数的众数的个数不变
B、转换后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍
C、转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数
D、转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13、已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______。
14、从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在至之间，分组后画出频率分布直方图如下，则根据直方图估计该地居民月用电量的第80百分位数为______。
15、若向量，满足，，则与的夹角为______。
16、四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为___________。
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（10分）已知函数。
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值。
18、（12分）新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科。某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科。
(1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率。
19、（12分）已知圆C经过点且圆心C在直线上。
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程。
20、（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点。
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值。

21、（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径R满足。
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周长的取值范围。
22、（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围。
高二年级上学期第2次月考试卷
数 学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1、复数的虚部是实部的2倍，则实数（ ）
A、3B、5C、7D、9
【答案】C
【解析】
【分析】由复数得乘法运算法则可得，又虚部是实部的2倍，可得，解之可得.
【详解】
的虚部是实部的2倍，
,
解得.
故选：.
2、已知平面向量，，若，则实数（ ）
A、B、C、1D、
【答案】B
【解析】
【分析】先计算得到，利用垂直关系列出方程，求出答案.
【详解】，，
因为，所以，
解得.
故选：B
3、与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（ ）
A、B、
C、D、
【答案】B
【解析】
【分析】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解.
【详解】解：双曲线的焦点坐标为：，
即椭圆的焦点为，
又长轴长为6，即，
所以椭圆的方程为，
故选：B
4、已知直线倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（ ）
A、B、C、1D、
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合直线截距的定义，求得直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由直线方程，令，解得，则直线过，
由直线的倾斜角为，则该直线的斜率，
故直线方程为：，化简可得：，
则点到直线的距离.
故选：C.
5、椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A、B、C、D、
【答案】D
【解析】
【分析】利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
【详解】设以点为中点弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．
则，，
两式相减得，
又，，，
代入解得．
故选：D．
6、若，则（ ）
A、B、C、D、
【答案】D
【解析】
【分析】分母为，利用平方关系式把代换，分子分母同时除以，并进行计算即可.
【详解】由，
又故正确.
故选：.
7、已知正三棱柱的各棱长都等于2，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A、B、C、D、
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，根据正三棱柱的性质，求得对应线段的长，结合异面直线夹角的定义以及余弦定理，可得答案.
【详解】如图，设的中点为的中点为，的中点为，连接，则可得，
在中，由，则，
在中，由，
由三棱柱中，易知在等边中，，
在中，，
所以异面直线与所成的角是或它的补角，由余弦定理得，
则异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A.
8、已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A、B、
C、D、
【答案】A
【解析】
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解
【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；
点在圆上，故，即
故直线l的方程为：
令令
当l横纵截距相等时，
又
解得：
即，即
故选：A
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9、已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（ ）
A、当时，点的轨迹为一直线
B、当时，点的轨迹为一射线
C、当时，点的轨迹不存在
D、当时，点的轨迹是双曲线
【答案】AB
【解析】
【分析】利用垂直平分线的定义可判断A选项；根据、直接判断出点的轨迹为射线，可判断BC选项；利用双曲线的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；
对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对；
对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错；
对于D选项，当时，，且，
所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.
故选：AB.
10、若直线与直线垂直，则a=（ ）
A、0B、C、2D、1
【答案】AB
【解析】
【分析】根据直线垂直列出方程，化简求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以，
解得或.
故选：AB.
11、已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A、椭圆离心率为B、的最大值为3
C、D、
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义、有关概念和几何性质依次判断选项即可.
【详解】A：由知，则，所以，故A正确；
B：当点为椭圆的右顶点时，最大，且最大值为，故B正确；
C：当点为椭圆的左、右顶点时，最小，且最小值为0，
当点为椭圆的上、下顶点时，最大，此时，
为等边三角形，，所以，故C正确；
D：由椭圆的定义知，，故D正确.
故选：ABCD.
12、高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学生的原始分数按（a，b为常数，）进行转换，是转换后的分数，转换后，全班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是（ ）
A、转换后分数的众数的个数不变
B、转换后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍
C、转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数
D、转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，列出方程，求出得值，由此分析选项是否正确即可.
【详解】根据题意，由于，由，
解得
即转换规则为，由此分析选项：
对于,转化后分数的众数的个数不变，正确；
对于，由于转化规则为，转换后分数的方差是原始分数方差的倍，故转化后分数的标准差是原始分数标准差的倍，正确；
对于,设原始分数的平均数为，必有，则转化后的平均数为，
所以，正确；
对于,反例：当中位数成绩为时，其转化后的成绩的中位数也为错误.
故选：
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13、已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______。
【答案】
【解析】
【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.
【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．
故答案：
14、从某地随机抽取100户居民进行月用电量调查，每户居民的月用电量都在至之间，分组后画出频率分布直方图如下，则根据直方图估计该地居民月用电量的第80百分位数为______。

【答案】220
【解析】
【分析】先利用频率和为1求出前三组频率和，再利用频率分布直方图的百分位数的求法求解.
【详解】依题意，由频率分布直方图可知该地居民月用电量在和
的频率和为：，
则前三组频率和为：，
所以样本第80百分位数在区间中，
则.
故答案为：220
15、若向量，满足，，则与的夹角为______。
【答案】
【解析】
【分析】先将两边平方，求出，再根据向量夹角的求法即可得解.
【详解】由，得，
即，所以，
所以，
又，所以，
即与的夹角为.
故答案为：.
16、四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为___________。
【答案】##
【解析】
【分析】根据线面垂直得到两两垂直，故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，求出外接球半径，进而求出外接球的体积.
【详解】因为PA⊥面ABCD，平面ABCD，
所以，，
又因为底面ABCD为矩形，
所以两两垂直，
故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，如图所示，
故外接球O的直径为，半径为，
球O的体积为
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（10分）已知函数。
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值。
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的最小正周期公式可得结果；
（2）根据正弦函数的图象可得结果.
【小问1详解】
，
故最小正周期为.
【小问2详解】
因为，则，
所以当时，；
当时，.
18、（12分）新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科。
(1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率。
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果.
【小问1详解】
依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以.
【小问2详解】
记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，事件“乙符合该大学某专业报考条件”，事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
.
19、（12分）已知圆C经过点且圆心C在直线上。
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程。
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．

20、（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点。
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值。
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）作出辅助线，找到异面直线与所成角，利用余弦定理求出余弦值.
【小问1详解】
证明：连接，交的于，连接，
则为的中点，
因为分别是，的中点，
，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
由（1）得：，
（或其补角）就是异面直线与所成的角，
∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，
∴，，，
∴
由余弦定理得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.
21、（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径R满足。
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周长的取值范围。
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再结合三角恒等变换化简整理求解；（2）利用正弦定理进行边化角，再结合三角恒等变换化简整理可得，再以为整体结合三角函数求范围.
【小问1详解】
由正弦定理，可得，
∴，
所以，则，
因为，所以.
【小问2详解】
∵，，由正弦定理得，
∴，，
∴△ABC的周长：，
由，得，∴，
∴a＋b＋c的取值范围，即△ABC周长的取值范围是.
22、（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围。
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据离心率及短轴长及求出，，求出椭圆方程；
（2）先考虑直线AB的斜率不存在时的值，再考虑直线AB的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，从而求出，从而求出的取值范围.
【小问1详解】
，，
∴，
又，即，
解得：，，
椭圆的标准方程为；
小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，，
不妨设，则
当直线AB的斜率存在时，设，
由，
恒成立，
故，
∴
，
综上：，
故的取值范围为．