重庆市杨家坪中学2024届高三数学上学期第三次月考试题（Word版附解析）

这是一份重庆市杨家坪中学2024届高三数学上学期第三次月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集、补集的定义直接求解作答.
【详解】由集合，集合，得，而全集，
所以.
故选：D
2. 命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据恒成立问题分析可得命题“”是真命题等价于“”，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若命题“”是真命题，则，
可知当时，取到最大值，解得，
所以命题“”是真命题等价于“”.
因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；
因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入，即可求解.
【详解】有题意知：
又由.
故选：C.
4. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ）
A. 4.1小时B. 4.2小时C. 4.3小时D. 4.4小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.
【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.
由，得，则.因为，则
，所以开车前至少要休息4.2小时.
故选：B.
5. 对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（ ）
A. 101B. 99C. 95D. 91
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义，结合所给前7项，得到如图所示规律，即可得解.
【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，规律如图所示，
故选：C
6. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A. 48B. 54C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
7. 已知向量的夹角为60°，，若对任意的、，且，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义求得，于是由数量积的应用可得，对任意的、，且，则将转化为，即，则构造函数得函数在上单调递减，求导判断单调性，即可得的取值范围.
【详解】解：已知向量的夹角为60°，，则
所以
所以对任意的、，且，，则
所以，即，设，即在上单调递减
又时，，解得，
所以，，在上单调递增；，，在上单调递减，所以.
故选：A.
8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数的零点即可求得的值，再结合函数的图象及要求的零点个数求出m范围得解.
【详解】令，，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，
时，，且时，恒成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
时，，在R上的图象如图，
当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0，
函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点，
当，即时，和各一个零点，共两个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，和各有一个零点，共两个零点，
当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有，
所以实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 函数)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 是该函数图像的一个对称中心
C. 该函数的减区间是
D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移，可得到该函数图像
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图像可得，再带点可得，则可确定A；计算时，是否为零来确定B；令，求出单调减区间来确定C；通过周期变换和平移变换得函数来确定D.
【详解】对于A：由图观察可得，得，
又，，
即，代入点得，
得，即，
又，得，
，A正确；
对于B，当时，，是该函数图像的一个对称中心，B正确；
对于C，令，
解得，
即的减区间是，C错误；
对于D，函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得，再纵坐标不变，再向左平移，可得，D正确.
故选:ABD.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则的面积是
D. 若，则外接圆半径是
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D.
【详解】令，则，，可得，
所以，由正弦边角关系易知：，A对；
若，则，故，，则，
所以，C错；
由，结合C可得，B错；
由，则，而，故外接圆半径是，D对.
故选：AD.
11. 已知某次数学测试班级最高分为150分．最低分为50分，现将所有同学本次测试的原始成绩经过公式进行折算，其中为原始成绩，为折算成绩，折算后班级最高分仍为150分，最低分为80分，则下列说法正确的是（ ）
A. 若某同学本次测试的原始成绩为100分，则其折算成绩为115分
B. 班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值
C. 班级折算成绩的方差可能等于原始成绩的方差
D. 班级每位同学的折算成绩均不低于原始成绩
【答案】ABD
【解析】
【分析】由求得得解析式，对选项A直接计算即可；由可得，折算成绩均不低于原始成绩，可判断选项B、D正确；对选项C：由判断.
详解】由题知，解得，
∴，
当时，，故A正确；
，由知，即，
故当原始成绩低于150分时，折算成绩均高于原始成绩，
即除150分不变外，其余成绩折算后均提高，故B，D均正确；
，故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差，故C错误．
故选：ABD
12. 已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A. B. 函数为偶函数
C. 函数在区间上单调递减D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件可得函数的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断的对称性，结合的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.
【详解】因为，所以，的图象关于对称，
因为函数为奇函数，所以图象关于点对称，且
又，
所以
，即，
所以的周期为4，所以，故A错误；
由上可知，，
，故B正确；
因为，当时，都有，
即，所以在区间单调递增，
因为的图象关于点对称，所以在区间单调递增，
又的图象关于对称，所以在区间单调递减，C正确；
因为，所以的图象关于点对称，
所以与的交点关于点对称，不妨设
则，
所以，
所以，D正确.
故选：BCD
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的除法运算以及虚部的概念求解.
【详解】由题可得，，
所以虚部为,
故答案为: .
14. 已知向量，，若，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示得，再由基本不等式计算即可.
【详解】∵，∴，即．
又，，
则，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为8．
故答案为：8．
15. 在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.
【详解】至少射击4次合格通过的概率为，
所以，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时得最大值，故．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可.
16. 已知函数,__________，若且，则的最大值是__________．
【答案】 ①. 0 ②. ##
【解析】
【分析】根据函数解析式可得，进而可得，作出函数的图象，令，则，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最大值，即得.
【详解】因为，
所以，；
作出函数的图象，
设，则，
由，可得，由，可得，
令，其中，，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因此，的最大值为.
故答案为：0；.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 已知
（1）时，求函数的值域；
（2）求解不等式.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）先后通过降幂公式，辅助角公式，将函数化为的结构再求值域即可;
（2）先将当成整体先求解，再求的范围即可.
【小问1详解】
，
因为，所以，
所以，
所以,
即函数的值域.
【小问2详解】
因为，所以，
即，
所以
解得
即不等式解集为.
18. 第9届女足世界杯正在澳大利亚和新西兰如火如荼的进行，中国女足再次征战世界杯赛场.为了解我国女子足球水平发展状况，现统计10个省市注册女足职业运动员的数量情况（如下表）;
（1）为支持女足的发展，中国足球协会积极推广校园足球基地建设.现注册女足职业运动员有200人以上的地区称为开展女足运动发达地区，不足200人的称为开展女足运动不发达地区，如果中国足球协会准备在上述10个省市随机选择4个地区推进女足校园足球基地建设，记X为选中的女足校园基地为不发达地区的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）某校为组建女足运动队，对学校女足爱好者进行初步集训并测试，在集训中进行了多轮测试，每轮的测试项目有：1分钟颠球、30米往返跑、12分钟跑.规定：在每一轮测试中，这3项中至少有2项达到“合格”，则概论测试记为“优秀”.已知在一轮测试的3项中，甲队员每个项目达到“合格”的概率均为，每项测试互不影响且每轮测试互不影响.如果甲队员在集训测试中获得“优秀”轮次的平均值不低于3轮，那么至少要进行多少轮测试？
【答案】（1）分布列解析，期望为；
（2）5.
【解析】
【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率后可得分布列，再由期望公式计算出期望；
（2）求出甲在一轮测试中“优秀”的概率，则其集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，然后求出不等式的最小正整数解即得．
【小问1详解】
的可能值为,
，，，，，
所以的分布列为：
；
【小问2详解】
记甲一轮测试“优秀”事件，则，
由题意甲队员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
所以，，
因为，所以的最小值为5，
所以至少进行5轮测试．
19. 彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，.
（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】19. m
20. 修建观赏步道时应使得，
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理运算求解；
（2）先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.
【小问1详解】
因为，解得：，
又因为C是钝角，所以，
由余弦定理得：
，
故需要修建m的隔离防护栏.
【小问2详解】
因为，
当且仅当时取到等号，此时m，
设，，
在中，，
解得：，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
可得，
当且仅当时取到等号，此时m，
所以修建观赏步道时应使得，.
20. 已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；
（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
则．
当时，在上恒成立，
故此时在上单调递减；
当时，由，得,由，得，
故此时在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，所以；
当时，
(i)若，即时，在上单调递增，
此时，；
(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，；
(iii)若，即时，在上单调递减，
此时，．
综上所述，．
21. 已知正项数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，且，若恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式可得，然后由和的关系可得递推公式，即可判断数列为等差数列，进而可得通项公式；
（2）使用错位相减法求得，然后参变分离，将恒成立问题转化为求数列最值问题，借助对勾函数性质即可求解.
【小问1详解】
由题意知，
当时，，所以，
当时，，，
因为，
所以，即．
因为数列为正项数列，所以，即，
所以数列为公差为2的等差数列，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以．．．①
．．．②
①－②得，
，
所以，
所以可化简为．
因为恒成立，所以．
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以当，即时，；
当，即时，，
又,所以，
故，
所以实数λ的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）求过的切线的条数；
（2）已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入整理得，构建，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断方程的根的个数；
（2）令，将原不等式恒成立转化为，根据可得，解得，进而对检验即可.
【小问1详解】
因为，设切点为，
所以切线斜率为，切线方程为，
将点代入切线方程得，整理得，
令，则，
令，解得或；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
可得，
且当趋近于，趋近于0，当趋近于，趋近于，
因为，结合图象可知与有3个不同的交点，
即方程有3个不同的实数根，
所以过的切线有3条.
【小问2详解】
令，
则原不等式即为对任意恒成立，
则，且，
因为，则，解得，
若时，则，且，
可得，
所以在上为增函数，所以，
此时不等式恒成立，即恒成立，
综合上述：实数取值范围为.
【点睛】关键点睛：1.运用导数的几何意义可得，构建，结合导数判断方程根的个数；省市
辽宁
山东
湖北
广东
吉林
河南
江苏
上海
河北
四川
人数
320
175
314
212
140
327
344
159
350
189
0
1
2
3
4