广东省六校2024届高三上学期9月联合摸底考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省六校2024届高三上学期9月联合摸底考试数学试卷(含答案)，共3页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若集合,则( )
A.B.
C.D.
2、已知是复数z的共轭复数,则,则( )
A.1B.C.5D.
3、已知向量,.若,则( )
A.B.2C.-2D.0
4、从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数,事件A：“取出的5个不同的数的中位数是4”,事件B：“取出的5个不同的数的平均数是4”,则( )
A.B.C.D.
5、已知函数在区间内有最大值,但无最小值,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
6、已知数列的前n项和为,且满足,若,p,则( )
A.2027B.1012C.1013D.1014
7、设椭圆的左、右焦点分别为,,P是椭圆上一点,,,则椭圆离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
8、设,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、如图所示,棱长为2的正方体中,面对角线AC与BD相交于点O,则下列说法正确的有( )
A.平面
B.点O到平面的距离为
C.过点A作与平面垂直的直线l,则l与直线BC夹角的余弦值为
D.沿正方体的表面从点A到点的最短距离是
10、已知圆和圆,P,Q分别是圆O,圆C上的动点,则下列说法错误的是( )
A.圆O与圆C相交
B.的取值范围是
C.是圆O与圆C的一条公切线
D.过点Q作圆O的两条切线,切点分别为M,N,则存在点Q,使得
11、已知三次函数有三个不同的零点,,若函数也有三个不同的零点,,则下列等式或不等式一定成立的有( )
A.B.
C.D.
12、已知直线l过抛物线的焦点F,与抛物线相交于,两点,分别过A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,以线段为直径作圆M,O为坐标原点,下列正确的判断有（ ）
A.B.为钝角三角形
C.点F在圆M外部D.直线平分
三、填空题
13、现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动,每个路线至少1人,至多2人,其中甲同学不选深圳路线,则不同的路线选择方法共有__________种.（用数字作答）
14、如图所示,在上、下底面均为正方形的四棱台中,已知,,则该四棱台外接球的体积为__________.
15、已知函数,且满足,则实数m的取值范围是__________.
16、直线分别与直线,曲线交于点A,B,则的最小值为__________.
四、解答题
17、在等比数列中,,且,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）记,数列的前n项和为,求不等式的解集.
18、如图,四棱锥中,底面四边形PCBM是直角梯形,,,,,,,直线AM与PC所成的角为.
（1）求证：平面平面ABC;
（2）点Q为线段MB上一点,若二面角的大小为,求QB的长.
19、已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求;
（2）若,求的面积.
20、某同学进行投篮训练,已知该同学每次投中的概率均为0.5.
（1）若该同学进行三次投篮,第一次投中得1分,第二次投中得1分,第三次投中得2分,记X为三次总得分,求X的分布列及数学期望;
（2）已知当随机变量服从二项分布时,若n充分大,则随机变量服从标准正态分布.若要保证投中的频率在0.4与0.6之间的概率不低于,求该同学至少要投多少次.
附：若n表示投篮的次数,表示投中的次数,则投中的频率为;若,则,.
21、已知双曲线经过点,,,,中的3个点.
（1）求双曲线C的方程;
（2）已知点M,N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点,过点M,N的直线,都经过双曲线C的右顶点,若直线,的斜率分别为,且,判断直线MN是否过定点.若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
22、已知函数,
（1）试讨论的极值点的个数;
（2）若,且对任意的都有,求的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意得,故,故选C.
2、答案：B
解析：设,由题意可得,即,即,故选B.
3、答案：D
解析：因为,所以,因为,所以,解得,故选D.
4、答案：C
解析：根据题意,从7个数中任取5个数,则基本事件总数为,这5个数的中位数是4的基本事件有个,所以,其中5个数的平均数都是4的基本事件有1,2,4,6,7;1,3,4,5,7;2,3,4,,5,6,共3种情况,所以,所以,故选C.
5、答案：A
解析：因为,所以当时,则有,因为在区间内有最大值,但无最小值,
结合函数图象,得,解得,故选A.
6、答案：C
解析：,当时,;当时,,故数列从第2项开始都是偶数,而是奇数,故正整数p和q其中必有一个等于1,,另一个就是,故,故选C.
7、答案：B
解析：设,由椭圆的定义可得,,
设,得,即有,①
由,可得,即为,②
由①②,可得,
令,可得,即有,
由,可得,即,则当时,取得最小值;当或3时,取得最大值,即有,解得,所以椭圆离心率的取值范围为,故选B.
8、答案：D
解析：令,
令,
,
当时,,单调递增,
又,又,
在上恒成立,,即,
令,则在时,,
在上单调递增,
,时,,.
令,则,
所以当时,;当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,所以,
即,当且仅当时取等号,所以当,得,所以a最小.
综上可得.故选D.
9、答案：AC
对于A,如图1,平面平面,平面,故平面,A正确;
对于B,平面平面,两个平面之间的距离为,B错误;
对于C,因为平面,所以过点A且垂直于平面的直线,与BC的夹角是,,C正确;
对于D,如图2,由正方体侧面展开图可知,D错误.
故选AC.
10、答案：AC
解析：由题意可得,圆O的圆心为,半径,圆C的圆心,半径,因为两圆圆心距,所以两圆外离,故A错误;的最大值等于,最小值为,故B正确;显然直线与直线OC平行,因为两圆的半径相等,则外公切线与圆心连线平行,由直线,设外公切线为,则两平行线间的距离为2,即,故,故C错误;对于D选项,易知当时,四边形OMQN为正方形,故当时,,故D正确,故选AC.
11、答案：BC
解析：,因为原函数有三个不同的零点,则有两个不同的实根,即,则,即,所以A错误;
又由方程
,
所以,
同理,
所以,故C正确,D错误;由的图象与直线的交点可知,B正确.故选BC.
12、答案：ABD
解析：由抛物线的焦半径公式可知,所以,A正确;
对于B,,令直线l的方程为,代入得,所以,所以,所以是钝角三角形,B正确;对于C,由可知,又,所以,所以直线平分角,同理可得平分角,所以,即,所以圆M经过点F,故C错误,D正确.故选ABD.
13、答案：60
解析：每个路线至少1人,至多2人,则一个路线1人,另外两个路线各2人,若甲同学单独1人时,有种不同的选法;若甲同学与另外一个同学一起,则有种不同的选法,则不同的选择方法有60种.
14、答案：
解析：由已知可知正四棱台的外接球的球心O在轴线上,
如图所示,,,,
设,则,解得,则,
所以正四棱台的外接球的体积为.
15、答案：
解析：令,则,
因为,
所以为奇函数.又,所以根据单调性的性质可得为增函数.
因为,所以,
等价于,即,
所以,即,解得或,
所以实数m的取值范围为.
16、答案：
解析：如图所示,令,,
则有,
所以,
令,则,
所以当时,,单调递减,当时.,单调递增,
故.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）设数列的公比为q,
因为,,成等差数列,所以,
即,又,则,
即,解得,
所以.
（2）由（1）知,
所以.
所以,即为,其解集为.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：,
平面.
又平面,
平面平面.
（2）在平面ABC内,过C作x轴,
建立空间直角坐标系（如图）.
由题意有,设,则,
,
由直线AM与直线PC所成的角为,得,
即,得,所以.
由直角梯形PCBM可知,则可设.
由题意可得,设平面ACQ的一个法向量为,
则,取,得.
平面ABC的法向量取,
则,解得（负值舍去）,则.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由正弦定理,
得.
化简得,
由两角和的正弦公式得.
由诱导公式化简得.
因为,
所以,所以.
由于,所以.
（2）,即.
由（1）知,
所以,
因为,
所以.
即为边长是4的等边三角形.
.
20、答案：(1)2.
(2)至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于
解析：（1）设事件,,分别表示第一次投中,第二次投中,第三次投中,
根据题意可知0,1,2,3,4,
故,
,
,
,
,
X的分布列为：
X的数学期望.
（2）设至少投n次,其中投中的次数,
若,即,
由已知条件可知,
又因为,所以,所以,
所以至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）由于,关于x轴对称,所以,要么都在双曲线C上,要么都不在双曲线C上.
点,不可能都在双曲线上,因为双曲线经过3个点,所以,都在双曲线C上.
将,的坐标代入得,
由,都在双曲线C上可知,都不在双曲线C上,
所以点在双曲线C上,故,
结合可得,
所以双曲线C的方程为.
（2）设,由题可知直线MN的斜率存在,故可设直线MN的方程为,
由消去y并化简得,
,,
因为双曲线C的右顶点为,且,
所以,
所以,代入,得,
当时,,
所以直线MN过定点.
22、答案：(1)当时,无极值点;
当时,有两个极值点;
当时,有1个极值点.
(2)
解析：（1）的定义域为,
令,即,令,则,
当时,,当时,,
当时,单调递增,当时,单调递减,.
又当时,,且当时,,
当时,无极值点;
当时,有两个极值点;
当时,有1个极值点.
（2）解法一：.
,且是连续函数,
若,即,则,使得时,,
在上单调递增,,此时与题意不符,
故,.
下证当时,对恒成立.
证明：令,则.
,
对恒成立,在上单调递减,
对恒成立,
在上单调递减,对恒成立.
综上所述,a的取值范围为.
解法二：.
①当时,,不符合题意;
②当时,.
令,即,且两根之积为.
有两个异号实根,设两根为,且.
若,当时,单调递增;
当时,单调递减.,此时不符合题意.
若,则,即,此时在上单调递减,
,符合题意.
综上所述,a的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P