高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合课堂教学课件ppt

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通过实例理解组合的概念
会分析出排列、组合的异同点
能用组合的知识求解相关问题
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1）
问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙
追问 这两个问题有什么异同点？
相同点：从3个不同的元素中取出2个
（1）问题1选出来的两个人要考虑顺序（2）问题2只要选出来两个人即可，不要考虑顺序
追问2 如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样概括?
从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？
这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考：比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么？
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”， 而组合“与顺序无关”.
例如: ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合.
例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.
由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示.
1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
(4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 共有多少种分法?
组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价?
(5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次?
(6)从4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法?
(7)从4个风景点中选出2个, 并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法?
例1 平面内有A、B、C、D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?
(2) 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数, 共有如下6条：AB, AC, AD, BC, BD, CD.
这12条有向线段分别为
结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半
追问 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.(1) 列出所有各场比赛的双方；(2) 列出所有冠、亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁.
解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个.
2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?
解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个.
(2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个.
2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(cmbinatin).