2022-2023学年广东省深圳市罗湖区翠园中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市罗湖区翠园中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|x＞﹣1}
2．（5分）已知复数z满足z＝（i为虚数单位），则复数z在复平面上的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知向量，，且，则实数x等于（ ）
A．1B．C．D．
4．（5分）过点P（1，1）且方向向量为（﹣1，3）的直线方程为（ ）
A．3x+y+4＝0B．3x+y﹣4＝0C．3x﹣y+2＝0D．3x﹣y﹣2＝0
5．（5分）若a＜b＜0，c＞0，则（ ）
A．＜B．＜C．|ac|＜|bc|D．＜
6．（5分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）的部分图象如图，则f（）＝（ ）
A．B．1C．D．﹣1
7．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝+，则λ+μ的值为（ ）
A．B．C．D．﹣1
8．（5分）已知函数若f（a2﹣2）≥f（﹣a），则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，1]B．C．（﹣∞，1]D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（ ）
A．众数为8B．极差为6C．中位数为8D．方差为
（多选）10．（5分）若，，与的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．17B．﹣17C．﹣1D．1
（多选）11．（5分）设圆O：x2+y2＝r2（r＞0），点A（3，4），若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的可能取值（ ）
A．3B．4C．5D．6
（多选）12．（5分）如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E、F分别在A1D、AC上，且，．则下列结论正确的是（ ）
A．EF⊥A1D
B．EF∥BD1
C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为
D．二面角E﹣AC﹣D的正切值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）经过点（3，﹣2）和（2，1）的直线的斜率为 ．
14．（5分）若向量，的夹角为120°，||＝||＝1，则|﹣2|＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bsinx+2，且f（﹣2）＝﹣7，则f（2）＝ ．
16．（5分）设平面点集D包含于R，若按照某对应法则f，使得D中每一点 P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作z＝f（x，y），若二元函数f（x，y）＝+++，其中﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤0，则二元函数f（x，y）的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsinA+acsB＝0．
（1）求B；
（2）若b＝2，c＝2a，求a．
18．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cs2x﹣2．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）讨论f（x）在x∈[﹣，]上的单调性．
19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．
20．（12分）对同时从A、B、C、D、E五个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取11件样品进行检测．
（1）求抽出的11件商品中，来自A，B，C各地区的数量；
（2）在A、B、C三个地区被抽检的几件样品中，再随机取2件，做进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
21．（12分）已知两圆，，直线l：x+2y＝0，
（1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
22．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，现将△ABC沿CD折成直二面角A﹣CD﹣B，如图②．
（1）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）线段AB上是否有一点P，使得直线AC与平面DPE所成角的正弦值为，若存在，请找出点P的位置；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳市罗湖区翠园中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|x＞﹣1}
【分析】由交集的定义直接写出A∩B即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知复数z满足z＝（i为虚数单位），则复数z在复平面上的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：∵z＝＝，
∴复数z在复平面上的对应点的坐标为（，﹣），位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）已知向量，，且，则实数x等于（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，且，
则，解得x＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4．（5分）过点P（1，1）且方向向量为（﹣1，3）的直线方程为（ ）
A．3x+y+4＝0B．3x+y﹣4＝0C．3x﹣y+2＝0D．3x﹣y﹣2＝0
【分析】根据已知条件，结合方向向量的定义，即可求解．
【解答】解：因为直线的方向向量为（﹣1，3），
所以直线的斜率为：＝﹣3，
∴所求的直线方程为y﹣1＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
5．（5分）若a＜b＜0，c＞0，则（ ）
A．＜B．＜C．|ac|＜|bc|D．＜
【分析】利用不等式的性质，对选项进行逐个验证，即可解出．
【解答】解：∵a＜b＜0，c＞0，
∴ab＞0，ac＜bc＜0，b﹣a＞0，
选项A，＞0，故A错误；
选项B，＝＞0，故B错误；
选项C，|ac|＞|bc|，故C错误；
选项D，＜0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）的部分图象如图，则f（）＝（ ）
A．B．1C．D．﹣1
【分析】由函数的图象的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求出三角函数的值．
【解答】解：根据函数f（x）＝Acs（ωx+φ）的部分图象，
可得A＝2，+＝，∴ω＝2，f（x）＝2cs（2x+φ）．
再根据五点法作图，可得2×+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cs（2x﹣），
则f（）＝2cs（﹣）＝2sin＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求三角函数的值，属于基础题．
7．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝+，则λ+μ的值为（ ）
A．B．C．D．﹣1
【分析】利用平面向量基本定理将转化为表示，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，＝，＝，
所以＝，
又，
所以λ+μ＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的线性运算，平面向量相等的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数若f（a2﹣2）≥f（﹣a），则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，1]B．C．（﹣∞，1]D．
【分析】由分段函数解析式判断函数的单调性，问题转化为关于a的一元一次不等式求解．
【解答】解：f（x）＝，
当x≤0时，f（x）＝3﹣x单调递减，且f（x）≥1；
当x＞0时，f（x）＝﹣x3单调递减，且f（x）＜0，
∴函数f（x）＝在定义域上单调递减，
则f（a2﹣2）≥f（﹣a）⇔a2﹣2≤﹣a，解得：﹣2≤a≤1．
∴实数a的取值范围是[﹣2，1]．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（ ）
A．众数为8B．极差为6C．中位数为8D．方差为
【分析】一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，求出a＝7，进而求出众数，极差，中位数，方差，由此能求出结果．
【解答】解：一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，
∴a＝8×5﹣7﹣6﹣8﹣12＝7，
∴此组数据的众数为7，故A错误；
极差为12﹣6＝6，故B正确；
中位数是7，故C错误；
方差为：[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（12﹣8）2]＝，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查众数，极差，中位数，方差的求法，考查众数，极差，中位数，方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）若，，与的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A．17B．﹣17C．﹣1D．1
【分析】利用向量夹角公式直接求解．
【解答】解：∵，，与的夹角为120°，
∴cs120°＝＝，
解得λ＝﹣1或λ＝17．
故选：AC．
【点评】本题考查实数值的求法，考向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）设圆O：x2+y2＝r2（r＞0），点A（3，4），若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的可能取值（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题意，设以A为圆心，半径为2的圆为圆A，分析圆O的圆心、半径，求出圆心距，分析得圆O与圆A相交，据此可得r﹣2＜5＜r+2，解得r的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设以A为圆心，半径为2的圆为圆A，
圆O：x2+y2＝r2（r＞0），其圆心为（0，0），半径为r，
则|OA|＝＝5，
若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在两点到A的距离为2，则圆O与圆A相交，
则有r﹣2＜5＜r+2，解可得3＜r＜7，即r的取值范围为（3，7）；
故选：BCD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆相交的问题，属于基础题．
（多选）12．（5分）如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E、F分别在A1D、AC上，且，．则下列结论正确的是（ ）
A．EF⊥A1D
B．EF∥BD1
C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为
D．二面角E﹣AC﹣D的正切值为
【分析】建立空间直角坐标系，结合点的坐标和空间向量的相关结论考查所给的选项是否正确即可．
【解答】解：如图所示，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
由于A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
，，A1（1，0，2），D1（0，0，2），
对于A：由上可得，，
所以，
所以EF⊥A1D不成立，故A错误；
对于B：，，
所以，且与不在同一条直线上，
所以EF∥BD1，故B正确；
对于C：，＝（0，﹣1，0），
所以cs＜，＞＝＝＝，故C正确；
对于D：，，
令平面EAC的一个法向量为，
则，
令x＝1，则y＝1，z＝1，
所以，
所以平面ACD的一个法向量，
根据题意可得二面角E﹣AC﹣D的平面角为锐角，设为θ，
则，
所以，则，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定，直线平行的判定，异面直线所成的角的计算，二面角的计算，解题关键是空间向量法的应用，属于中等题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）经过点（3，﹣2）和（2，1）的直线的斜率为 ﹣3 ．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：直线经过点（3，﹣2）和（2，1），
则直线的斜率为．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
14．（5分）若向量，的夹角为120°，||＝||＝1，则|﹣2|＝ ．
【分析】直接利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．
【解答】解：向量，的夹角为120°，||＝||＝1，
则|﹣2|＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bsinx+2，且f（﹣2）＝﹣7，则f（2）＝ 11 ．
【分析】直接利用函数的性质，奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：设g（x）＝ax3+bsinx，故函数g（﹣x）＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数；
所以g（﹣2）＝﹣9，
所以g（2）＝9，
故f（2）＝9+2＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16．（5分）设平面点集D包含于R，若按照某对应法则f，使得D中每一点 P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作z＝f（x，y），若二元函数f（x，y）＝+++，其中﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤0，则二元函数f（x，y）的最小值为 3 ．
【分析】依题意，作出图形，二元函数f（x，y）＝+++，表示图中矩形内的动点P到定点O（0，0），A（﹣1，0），B（0，﹣2），C（﹣2，﹣4）距离的和，利用不等式可求得答案．
【解答】解：∵﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤0，∴P（x，y）在由直线x＝﹣2与x＝1及y＝﹣4和y＝0围成的矩形区域内（含边界），如图，
则二元函数f（x，y）＝+++，
表示动点P到定点O（0，0），A（﹣1，0），B（0，﹣2），C（﹣2，﹣4）距离的和，
在矩形ABCD边界及内部任取点P，连接PO，PA，PB，PC，AC，
则PO+PC≥OC（当且仅当P在OC之间时取等号），
PA+PB≥AB（当且仅当点P在线段AB之间时取等号），
故点P为CO与AB的交点时，f（x，y）最小，
因为|AB|＝，|CO|＝＝2，
所以f（x，y）的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义的应用，明确二元函数f（x，y）的几何意义是关键，考查转化化归思想和数形结合思想，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsinA+acsB＝0．
（1）求B；
（2）若b＝2，c＝2a，求a．
【分析】（1）结合正弦定理即可求得结论，
（2）利用余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsinA+acsB＝0，
由正弦定理可得：sinBsinA+sinAcsB＝0，
又sinA≠0，
∴sinB+csB＝0，
可得tanB＝﹣，
又B为三角形内角，
故B＝；
（2）由余弦定理结合（1）得：b2＝a2+c2﹣2ac•csB，
即（2）2＝a2+（2a）2﹣2a•2a×（﹣），
可得28＝7a2，故a＝2，（负值舍）．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cs2x﹣2．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）讨论f（x）在x∈[﹣，]上的单调性．
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数数的周期性、最大值，得出结论．
（2）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin2x+cs2x﹣2＝2sin（2x+）﹣2，
故f（x）的最小正周期为＝π，它的最大值为2﹣2．
（2）在x∈[﹣，]上，2x+∈[0，]，
在在x∈[﹣，]上，2x+∈[0，]，函数f（x）单调递增；
在x∈[，]上，2x+∈[，]，函数f（x）单调递减．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数数的周期性、最大值，单调性，属于基础题．
19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．
【分析】解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．
（I）利用线的方向向量与面的法向量垂直证线面平行．
（II）求出两个平面的法向量利用公式求出两个平面的夹角的函数值即可．
解法二：利用空间几何的点线面的定理与定义证明．
（I）设AC的中点为D，连接DN，A1D，证明四边形A1DNM是平行四边形，得出线线平行，用判定定理证线面平行．
（II）依定义作出二面角的平面角，在直角三角形中求它的三角函数值，再求角．
【解答】解：
解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（﹣1，0，2），M（0，1，2），
（I）证明：∵
是平面ACCA1的一个法向量，
且，
所以
又∵MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1
（II）设＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为，
由
得
解得平面AMN的一个法向量＝（4，2，﹣1）
由已知，平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1）
∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是
解法二：
（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴
又∵，
∴，∴四边形A1DNM是平行四边形
∴A1D∥MN
∵A1D⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1
∴MN∥平面ACC1A1
（II）如图，设AB的中点为H，连接MH，
∴MH∥BB1
∵BB1⊥底面ABC，
∵BB1⊥AC，BB1⊥AB，
∴MH⊥AC，MH⊥AB
∴AB∩AC＝A
∴MH⊥底面ABC
在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G
连接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH＝H
∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG
∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角
∵MH＝BB1＝2，
由△AGH∽△BAC，得
所以
所以
∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是
【点评】考查线面平行与线面垂直的证明，本题方法一用的是空间向量法，此法的特点是运算量大，而方法二的特点是作辅助线较难，请读者在做本题时仔细体会两种方法的难易及优缺点．
20．（12分）对同时从A、B、C、D、E五个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取11件样品进行检测．
（1）求抽出的11件商品中，来自A，B，C各地区的数量；
（2）在A、B、C三个地区被抽检的几件样品中，再随机取2件，做进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【分析】（1）先求出5个地区的商品的总数，然后得出抽样比，再根据分层抽样的计算公式即可求解；（2）求出从A，B，C随机抽取2个的总数，再求出2件样品来自一个地区的个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：（1）五个不同地区进口的某种商品的总数为80+40+120+40+160＝440，
则抽样比为，所以A地区抽取的个数为80×＝2个，
B地区抽取的个数为40×＝1个，C地区抽取的个数为120×＝3个；
（2）A、B、C三个地区被抽检的样品共有2+1+3＝6个，
随机抽取2个的抽法共有C种，
这2件商品来自相同地区的情况共有C＝1+3＝4，
故所求事件的概率为P＝．
【点评】本题考查了分层抽样的性质以及古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
21．（12分）已知两圆，，直线l：x+2y＝0，
（1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
【分析】（1）利用圆系方程求得两圆公共弦的方程，再由垂径定理列式求解；
（2）设过圆C1与圆C2的圆系方程，化为圆的标准方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解．
【解答】解：（1）由两圆，，
得两圆的公共弦所在直线方程为2x+4y+r2﹣9＝0．
∵圆C1与圆C2公共弦长为4，
∴，
解得：r＝3，此时满足圆C1与圆C2相交；
（2）设过圆C1与圆C2的圆系方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣1+λ（x2+y2﹣4）＝0（λ≠﹣1），
即（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣2x﹣4y+4（1﹣λ）＝0，
∴．
由，得λ＝1．
故所求圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y＝0．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判定及其应用，考查圆系方程的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
22．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，现将△ABC沿CD折成直二面角A﹣CD﹣B，如图②．
（1）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）线段AB上是否有一点P，使得直线AC与平面DPE所成角的正弦值为，若存在，请找出点P的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用向量数量积计算异面直线成角余弦值；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，进而求解．
【解答】解：（1）因为AD⊥DC，BD⊥DC，又因为二面角A﹣CD﹣B是直二面角，所以AD⊥DB，
所以DB、DC、DA两两垂直，建系如图，
因为∠BAC＝30°，AB＝4，所以AC＝ABcs30°＝2，BC＝2，CD＝，
因为CD⊥AB，所以AD＝ACcs30°＝3，BD＝1，
D（0，0，0），E（0，，），A（0，0，3），B（1，0，0），
＝（1，0，﹣3），＝（0，，），
所以异面直线AB与DE所成角的余弦值为＝＝．
（2）解：设P（t，0，3﹣3t），t∈[0，1]，C（0，，0），
＝（0，，），＝（t，0，3﹣3t），＝（0，，﹣3），
令＝（3t﹣3，﹣t，t），
因为•＝0，•＝0，所以是平面DEP的法向量，
直线AC与平面DPE所成角的正弦值为＝＝，解得t＝，
于是，所以满足条件的点P存在，点P的位于靠近B的AB三等分点处．
【点评】本题考查了异面直线的成角问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
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