2022-2023学年湖北省重点中学4g联合体高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省重点中学4g联合体高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知点，点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．45°D．30°
2．（5分）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中．假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过2s听到第一声，又过4s听到第二声，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知空间内三点A（1，0，2），B（﹣1，2，0），C（0，3，1），则点A到直线BC的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，则实数k+m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．0
6．（5分）由2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）如图，某圆锥SO的轴截面SAC，其中SA＝AO，点B是底面圆周上的一点，且cs∠BOC＝，点M是线段SA的中点，则异面直线SB与CM所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（﹣1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．﹣7B．1或﹣7C．2或﹣7D．1
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件A与B互斥D．事件A与B相互独立
（多选）10．（5分）在曲线C：Ax2+By2＝1（A＞0，B＞0）中，（ ）
A．当A＞B时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当A≠B时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线y＝x对称
D．当A≠B时，则曲线C的焦距为2
（多选）11．（5分）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线
C．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6＝0
D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线x+y+2＝0上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为
（多选）12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）
A．当B1P∥平面A1BD时，B1P可能垂直CD1
B．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当λ＝μ时，的最小值为
D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[，]
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知椭圆（a＞0）的一个焦点坐标为（0，1），则a＝ ．
14．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝4，则CD的长 ．
15．（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜的概率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3：1取得胜利的概率为 ．
16．（5分）在矩形ABCD中，是平面ABCD内的一点，且，则＝ ；P是平面ABCD内的动点，且，若0＜t＜1，则的最小值为 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）直线l经过两直线l1：x+y＝0和l2：2x+3y﹣2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；
（2）若点A（3，1）到直线l的距离为5，求直线l的方程．
18．（12分）已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面．
19．（12分）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
（3）如果袋中装的是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？
20．（12分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心C在直线l：x+y﹣1＝0上．
（1）求此圆的标准方程；
（2）设点P（x，y）是圆C上的动点，求x2+y2﹣8y+16的最小值，以及取最小值时对应的点P的坐标．
21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，PA＝PB＝AD＝BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为60°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
22．（12分）已知A，B是椭圆的左、右顶点，且短轴长为2，M是椭圆C上位于x轴上方的动点，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AM，BM与直线l：x＝4分别交于C，D两点，记△MAB和△MCD的面积分别为S1和S2.求的取值范围．
2022-2023学年湖北省重点中学4G联合体高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知点，点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．45°D．30°
【分析】根据斜率公式求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得．
【解答】解：因为，点，
所以kAB＝＝﹣，
设直线AB的倾斜角为α，所以tanα＝﹣，
又0°≤α＜180°，所以α＝120°，
所以直线AB的倾斜角为120°．
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及倾斜角的求法，属于基础题．
2．（5分）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
【解答】解：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中．假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过2s听到第一声，又过4s听到第二声，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为F1→F2、F1→A→F2、F1→B→F2，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即求出e的大小．
【解答】解：如图：
甲在F1，乙在F2，直接传播路径有F1→F2，即F1F2＝2c，
由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为F1→A→F2，即F1A+AF2＝2a，
因为c＜a，所以2c＜2a，故第一声为2s，第二声为2+4＝6s，
因为声音速度恒定，故＝3，故．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
4．（5分）已知空间内三点A（1，0，2），B（﹣1，2，0），C（0，3，1），则点A到直线BC的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空间向量法求解即可．
【解答】解：因为，，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离．
故选：A．
【点评】本题考查利用空间向量解决空间中的距离问题，是基础题．
5．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，则实数k+m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【分析】由题意可得直线x+2y＝0经过圆心，且直线y＝kx+1与直线x+2y＝0垂直，可得k，m的方程，解方程可得所求和．
【解答】解：直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，
可得直线x+2y＝0经过圆心（﹣，﹣），则﹣k﹣2m＝0，
又直线y＝kx+1与直线x+2y＝0垂直，可得k•（﹣）＝﹣1，即k＝2，
所以m＝﹣1，圆x2+y2+2x﹣y﹣4＝0，即（x+1）2+（y﹣）2＝．
故k+m＝2﹣1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（5分）由2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出两人在同一层离开电梯的概率，则在不同层离开电梯的概率为1减去两人在同一层离开电梯的概率．
【解答】解：由于每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，
故两人离开电梯的所有可能情况有＝49．
而两人在同一层离开电梯的可能情况有＝7．
∴两人在同一层离开电梯的概率为．
∴两人在不同层离开电梯的概率为1﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算，排列组合数公式的应用，属于基础题．
7．（5分）如图，某圆锥SO的轴截面SAC，其中SA＝AO，点B是底面圆周上的一点，且cs∠BOC＝，点M是线段SA的中点，则异面直线SB与CM所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】以点O为坐标原点，平面ABC过点O且垂直于AC的直线为x轴，直线OC、OS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，设AO＝1，利用空间向量法可求得异面直线SB与CM所成角的余弦值．
【解答】解：由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC，以点O为坐标原点，平面ABC过点O且垂直于AC的直线为x轴，直线OC、OS分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设OA＝1，则SO＝2，A（0，﹣1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），M（0，﹣，1），
∵OB＝1，cs∠BOC＝，∴B（，，0），
＝（，，﹣2），＝（0，，1），
cs＜，＞＝＝＝﹣，
因此，异面直线SB与CM所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8．（5分）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（﹣1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．﹣7B．1或﹣7C．2或﹣7D．1
【分析】根据已知及直线的倾斜角与斜率，圆的切线方程，直线与圆的位置关系及判定，判断当∠MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与x轴相切于点P，故圆心的纵坐标为圆的半径，由此求得点P的横坐标．
【解答】解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y＝3﹣x上，
设圆心为S（a，3﹣a），
则圆S的方程为：（x﹣a）2+（y﹣3+a）2＝2（a﹣1）2，
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
∴当∠MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与x轴相切于点P，
即圆S的方程中的a值必须满足2（1+a2）＝（3﹣a）2，
解得 a＝1或a＝﹣7．
即对应的切点分别为P（1，0）和P′（﹣7，0），
而过点M，N，P′的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
∴∠MPN＞∠MP′N，故点P（1，0）为所求，
∴点P的横坐标为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率，圆的切线方程，直线与圆的位置关系及判定的应用，解题的关键是熟练掌握直线的倾斜角与斜率，圆的切线方程，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件A与B互斥D．事件A与B相互独立
【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误．
【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，
其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
∴，，A正确，B正确；
∵事件A与事件B可以同时发生，
∴事件A与事件B不互斥，C错误；
∵事件A的发生不影响事件B的发生，
∴事件A与事件B相互独立，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件和独立事件的定义，属于基础题．
（多选）10．（5分）在曲线C：Ax2+By2＝1（A＞0，B＞0）中，（ ）
A．当A＞B时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当A≠B时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线y＝x对称
D．当A≠B时，则曲线C的焦距为2
【分析】将曲线C化为+＝1（A＞0，B＞0），再根据此方程表示椭圆得出A，B的关系即可判断AB；根据椭圆的对称性即可判断C；求出椭圆的焦距即可判断D．
【解答】解：将曲线C：Ax2+By2＝1（A＞0，B＞0）化为+＝1（A＞），B＞0），
对于A，当A＞B时，则，所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
对于B，当A≠B时，曲线C为椭圆，故B正确；
对于C，当A≠B时，曲线C为椭圆，椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线y＝x对称，故C错误；
对于D，当A≠B时，则曲线C为椭圆，则曲线C的焦距为2＝2＝2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，考查椭圆的性质，考查转化思想，属中档题．
（多选）11．（5分）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线
C．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6＝0
D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线x+y+2＝0上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为
【分析】对A，将点（0，3）代入直线方程中检验即可求解；
对B，判断两圆的位置关系即可求解；
对C，将两圆方程对减即可求解；
对D，根据点到直线的距离公式，切线长公式，函数思想即可求解．
【解答】解；对A选项，∵点（0，3）满足直线方程mx+4y﹣12＝0，
∴直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3），∴A选项正确；
对B选项，∵两圆方程可化为：
C1：（x+1）2+y2＝1，C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16，
∴C1（﹣1，0），r1＝1，C2（2，4），r2＝4，
∴|C1C2|＝＝5＝r1+r2，
∴两圆外切，∴两圆恰有三条公切线，∴B选项正确；
对C选项，将两圆方程对减可得公共弦所在的直线方程为：
2x﹣4y+12＝0，即x﹣2y+6＝0，∴C选项错误；
对D选项，∵C（0，0）到直线x+y+2＝0的距离d＝＝，
∴|PC|≥d＝，又圆的半径r＝，
∴切线长|PA|＝≥＝＝2，∴D选项错误．
故选：AB．
【点评】本题考查直线过定点问题，两圆的公切线问题，两圆的公共弦问题，圆的切线长问题，函数思想，属中档题．
（多选）12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）
A．当B1P∥平面A1BD时，B1P可能垂直CD1
B．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当λ＝μ时，的最小值为
D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[，]
【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算判断A、D；
连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，根据锐角三角函数得到P的轨迹，即可判断B；
将平面CD1D与平面BCD1A1沿CD1展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C；
【解答】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），
所以＝（﹣1，0，1），＝+＝++＝（﹣λ，1，μ﹣1），
则＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，0），设平面A1BD的一个法向量为＝（x，y，z），
所以，
令x＝1，则y＝z＝1，即平面A1BD的一个法向量为＝（1，1，1），
若B1P∥平面A1BD，则•＝0，
即λ＝μ，则当时，•＝λ+μ﹣1＝0，即P为CD1中点时，
有B1P∥平面A1BD，且B1P⊥CD1，故A正确；
B选项：因为B1C1⊥平面CC1D1D，连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，
若B1P与平面CC1D1D所成角为，
则tan∠B1PC1＝＝1，所以C1P＝B1C1＝1，
即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；
C选项：如图，将平面CD1D与平面BCD1A1沿CD1展成平面图形，
线段A1D即为||+||的最小值，
利用余弦定理可知A1D2＝A1D12+DD12﹣2A1D1•DD1•cs＝2+，
所以A1D＝，故C错误；
D选项：正方体经过点A1、P、C的截面为平行四边形A1PCH，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），P（0，1，t），
所以＝（1，0，﹣t），＝（1，1，﹣1），＝1+t，||＝，||＝，
所以点P到直线A1C的距离为d＝＝＝，
于是当t＝时，△PA1C的面积取最小值，此时截面面积为；
当t＝0时或1时，△PA1C的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了用向量法解立体几何问题，也考查了学生的空间想象能力，难点在于作出每一选项所对应的图形，属于难题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知椭圆（a＞0）的一个焦点坐标为（0，1），则a＝ ．
【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可．
【解答】解：由焦点坐标（0，1）知焦点在y轴上，且a2﹣1＝1，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
14．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝4，则CD的长 4 ．
【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出CD的长．
【解答】解：因为二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面αβ内，AC⊥l，BD⊥l，
所以，，，
又，
所以
＝＝，
即CD的长为4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查空间距离的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
15．（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜的概率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3：1取得胜利的概率为 0.174 ．
【分析】甲以3：1取得胜利的情况有三种：①负胜胜胜，②胜负胜胜，③胜胜负胜，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【解答】解：甲以3：1取得胜利的情况有三种：
①负胜胜胜，概率为P1＝0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，
②胜负胜胜，概率为P2＝0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，
③胜胜负胜，概率为P3＝0.5×0.6×0.3×0.6＝0.054，
所以甲以3：1取得胜利的概率为0.06+0.05+0.06＝0.174．
故答案为：0.174．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）在矩形ABCD中，是平面ABCD内的一点，且，则＝ 2 ；P是平面ABCD内的动点，且，若0＜t＜1，则的最小值为 2 ．
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的线性运算易得的坐标表示，进而可求；由条件得到，从而得到P点的轨迹，再利用平面向量的线性运算将所求转化为点H（3﹣2t，2﹣2t）到G（2，2）与P（x，y）的距离之和，故而利用点到圆上的点的最小值即可求得的最小值．
【解答】解：依题意，建立以B为原点，BC，BA为x，y轴的直角坐标系，
所以B（0，0），A（0，2），D（3，2），E（1，0），F（0，1），
则，
又，
故，
所以；
又，
则＝，
即，
所以P在以AB为直径的圆上，F为圆心，
不妨设P（x，y），
则x2+（y﹣1）2＝1，
因为，
所以，
故可转化为点H（3﹣2t，2﹣2t）到G（2，2）与P（x，y）的距离之和，
又0＜t＜1，
则H（3﹣2t，2﹣2t）在直线x﹣y﹣1＝0（1＜x＜3）上，
即对应线段DE，
所以要求的最小值，
只需求|PH|+|GH|的最小值即可，
而G（2，2）关于DE对称点为G'（3，1），
故（|PH|+|GH|）min＝|FG'|﹣1＝2，
此时H（2，1），
即，
所以的最小值为2．
故答案为：2；2．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算平面向量的模的运算，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）直线l经过两直线l1：x+y＝0和l2：2x+3y﹣2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；
（2）若点A（3，1）到直线l的距离为5，求直线l的方程．
【分析】（1）先求出两直线的交点坐标，再设直线l的方程为x﹣3y+m＝0，代入交点后可求m的值，从而可得直线方程；
（2）就斜率是否存在分类讨论后可求直线方程．
【解答】解：（1）直线l1方程与l2方程联立得交点坐标为（﹣2，2），
设直线l的方程为x﹣3y+m＝0，代入交点得m＝8，所以l的方程为x﹣3y+8＝0．
（2）当直线l的斜率不存在时，得l的方程为x＝﹣2，符合条件，
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+2）即kx﹣y+2k+2＝0，
根据，解得，
所以直线l的方程为12x﹣5y﹣34＝0，
综上所述，l的方程为12x﹣5y+34＝0或x＝﹣2．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
18．（12分）已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面．
【分析】（1）根据可求得x＝0，再根据垂直的数量积为0求解k即可．
（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得．
【解答】解：（1）因为，
若，
则，
解得x＝0，故＝（0，2，2），
又，向量与垂直，
所以，
所以2﹣2k+4k+4＝2k+6＝0，
解得k＝﹣3；
（2）证明：当时，，
设，
则，
，解得，
即，
所以向量与向量共面．
【点评】本题考查了空间向量数量积的性质和应用，属于基础题．
19．（12分）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
（1）求第二次取到红球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率；
（3）如果袋中装的是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？
【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；
（2）结合（1）求解即可；
（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可．
【解答】解：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9＝90（种）可能，即n（Ω）＝90，
设事件A＝“两次取出的都是红球”，则n（A）＝4×3＝12，
设事件B＝“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则n（B）＝4×6＝24，
设事件C＝“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则n（C）＝6×4＝24，
设事件D＝“两次取出的都是绿球”，则n（D）＝6×5＝30，
因为事件A，B，C，D两两互斥，
所以P（第二次取到红球）＝；
（2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）＝；
（3）结合（1）中事件，可得n（A）＝4×3＝12，n（Ω）＝（n+4）（n+3），
因为，
所以，即（n+4）（n+3）＝30，解得n＝2（负值舍去），
故n＝2．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
20．（12分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心C在直线l：x+y﹣1＝0上．
（1）求此圆的标准方程；
（2）设点P（x，y）是圆C上的动点，求x2+y2﹣8y+16的最小值，以及取最小值时对应的点P的坐标．
【分析】（1）结合圆的弦长与圆心性质，设圆心为C（a，b），AB中点为M，利用kAB⋅kCM＝﹣1求出kCM，列出lCM，联立lCM和x+y﹣1＝0求出a，b，进而得出半径，求出圆的方程；
（2）x2+y2﹣8y+16配方得（x﹣0）2+（y﹣4）2，则问题转化为圆上点至N（0，4）距离的平方的最小值，由几何关系可求最小值；求出lCN，联立直线和圆可求点P的坐标．
【解答】解：（1）因为A（﹣1，1），B（﹣2，﹣2），设圆心为C（a，b），AB中点为M，
所以AB中点为，kAB＝3，则kAB⋅kCM＝﹣1，，，
联立，可得，即C（3，﹣2），，
故圆的方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝25；
（2）设N（0，4），x2+y2﹣8y+16＝（x﹣0）2+（y﹣4）2，
故所求问题转化为P到N（0，4）点距离的平方的最小值，
则，；，lCN：y＝﹣2x+4，
联立得5（x﹣3）2＝25，
即，易知，则，即．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题．
21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，PA＝PB＝AD＝BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为60°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【分析】（1）取PB中点M，可得DE∥AM，利用线面平行的判定定理即得；
（2）取AB中点G，由题可得FG⊥平面PAB，进而可得，建立坐标系，利用坐标法即得．
【解答】证明：（1）取PB中点M，连接AM，EM，
∵E为PC的中点，
∴，又∵，
∴ME∥AD，ME＝AD，
∴四边形ADEM为平行四边形：
∴DE∥AM，
∵DE⊄平面PAB，AM⊂平面PAB，
∴DE∥平面PAB；
解：（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，
∴FG∥AD，FG⊥平面PAB，∴∠GPF＝60°，GF＝3，
∴，∴AG＝GB＝1，AB＝2，
如图建系，
∴，C（1，4，0），D（﹣1，2，0），
∴，，设平面PCD的一个法向量，
∴，
平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，
∴．
【点评】本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．
22．（12分）已知A，B是椭圆的左、右顶点，且短轴长为2，M是椭圆C上位于x轴上方的动点，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AM，BM与直线l：x＝4分别交于C，D两点，记△MAB和△MCD的面积分别为S1和S2.求的取值范围．
【分析】（1）先求得b，然后设出M点坐标，根据直线AM的斜率与直线BM的斜率之积列方程，求得a，从而求得椭圆C的方程．
（2）求得△MAB和△MCD的面积，结合二次函数的性质求得的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，A（﹣a，0），B（a，0），2b＝2，b＝1，
设M（x0，y0），y0＞0，
则，，
所以，
所以椭圆C的方程为．
（2），
直线AM的方程为，令x＝4，得，
故．
直线BM的方程为，令x＝4，得，
故．
依题意可知，
所以＝，
所以
＝
＝，
由于，
根据二次函数的性质可知．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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