2022-2023学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若首项为1的等比数列{an}（n∈N*）的前3项和为3，则公比q为（ ）
A．﹣2B．1C．﹣2 或 1D．2 或﹣1
2．（5分）直线2x+（m+1）y﹣2＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣3C．2或﹣3D．﹣2或﹣3
3．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，若△F2AB为正三角形，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知P是圆x2+y2＝1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
6．（5分）已知直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知数列，a1＝2，则lg2（a5+1）＝（ ）
A．63lg23﹣31B．31lg23﹣15
C．63lg32﹣31D．31lg32﹣15
8．（5分）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）若过点A（3，0）的直线l与圆（x﹣1）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率可能是（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．
（多选）10．（5分）已知α∈[0，π]，则方程x2+y2csα＝1表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
（多选）11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），且满足an+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），a1＝，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}的前n项和为Sn＝
B．数列{an}的通项公式为an＝
C．数列{an}为递增数列
D．数列{}为递增数列
（多选）12．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（ ）
A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值
B．线段B1C上存在点G，使平面EFG∥平面BDC1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．三棱锥A1﹣EFG的外接球半径的最大值为
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为 ．
14．（5分）已知等比数列{an}的前5项积为32，1＜a1＜2，则的取值范围为 ．
15．（5分）过点P（x，y）作圆C1：x2+y2＝1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的切线，切点分别为A，B，若|PA|＝|PB|，则x2+y2的最小值为 ．
16．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|Sn|＜A，则称数列{an}为“T数列”．则以下{an}为“T数列”的是 ．
①若{an}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；
②若{an}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；
③若；
④若a1＝1，．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边已知，c＝3，若，求△ABC的面积S△ABC及c边上的高h．
18．（12分）如图，在棱长为4的正方体OABC﹣O'A'B'C'中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF．
（1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'﹣BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF的夹角的正切值．
19．（12分）已知函数f（x）＝2cs2x+2sinxcsx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y＝f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝4在区间[0，]上所有根之和．
20．（12分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且有S6＝57，b4＝11．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，Tn是数列{cn}的前n项和，对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2（a﹣2）x+1，其中a∈R．
（1）若对任意实数x1，x2∈[2，4]，恒有f（x1）≥9sin2x2，求a的取值范围；
（2）是否存在实数x0，使得ax0＜0且f（x0）＝|2x0﹣a|+2？若存在，则求x0的取值范围；若不存在，则加以证明．
22．（12分）P为圆A：（x+2）2+y2＝36上一动点，点B的坐标为（2，0），线段PB的垂直平分线交直线AP于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为A1和A2，M、N为曲线C上异于A1、A2的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线A1S与直线A2N相交于点T，直线OT与直线MN相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得△RBE的面积为定值，并求该定值．
2022-2023学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）若首项为1的等比数列{an}（n∈N*）的前3项和为3，则公比q为（ ）
A．﹣2B．1C．﹣2 或 1D．2 或﹣1
【分析】分q＝1及q≠1两种情况，结合等比数列的求和公式即可求解
【解答】解：当q＝1时，S3＝3a1＝3符合题意
当q≠1时，＝1+q+q2＝3
解可得q＝﹣2
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题
2．（5分）直线2x+（m+1）y﹣2＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣3C．2或﹣3D．﹣2或﹣3
【分析】结合直线一般式方程平行条件即可直接求解．
【解答】解：因为2x+（m+1）y﹣2＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，
所以m（m+1）﹣2×3＝0，
即m2+m﹣6＝0，
解得m＝﹣3或m＝2，
当m＝2时，两直线方程都为：2x+3y﹣2＝0，此时两直线重合，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线一般式方程平行条件应用，属于基础题．
3．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，若△F2AB为正三角形，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设椭圆方程，根据椭圆的对称性可得AB垂直与x轴，结合椭圆的定义，转化求解离心率即可．
【解答】解：不妨设椭圆的方程为，
则|AF1|＝2a﹣|AF2|，|BF1|＝2a﹣|BF2|，
因为△F2AB为正三角形，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，
根据椭圆的对称性知AB垂直与x轴，
设|F1F2|＝2c，则，，
所以，即，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题．
4．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的一份a﹣2d的值．
【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；
则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）＝5a＝100，∴a＝20；
由（a+a+d+a+2d）＝a﹣2d+a﹣d，得3a+3d＝7（2a﹣3d）；∴24d＝11a，∴d＝55/6；
所以，最小的1分为a﹣2d＝20﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．
5．（5分）已知P是圆x2+y2＝1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求．
【解答】解：由于圆心O（0，0）到直线的距离d＝＝2，且圆的半径等于1，
故圆上的点P到直线的最小距离为 d﹣r＝2﹣1＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
6．（5分）已知直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线OD斜率为，OD⊥AB，知直线AB方程为2x+y﹣5＝0，代入抛物线方程得y2+py﹣5p＝0，从而得到y1y2＝﹣5p，再由OA⊥OB，能求出p．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线OD斜率为，OD⊥AB，∴直线AB斜率为﹣2，
故直线AB方程为2x+y﹣5＝0…（1）
将（1）代入抛物线方程得y2+py﹣5p＝0，
则y1y2＝﹣5p，
∵＝2px1，＝2px2，
则（y1y2）2＝4p2x1x2，
故x1x2＝，
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2＝0，
∵p＞0，∴p＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
7．（5分）已知数列，a1＝2，则lg2（a5+1）＝（ ）
A．63lg23﹣31B．31lg23﹣15
C．63lg32﹣31D．31lg32﹣15
【分析】令bn＝lg2（an+1），推导出数列{}为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得lg2（a5+1）的值．
【解答】解：由，可得，
因为a1＝2＞0，根据递推公式可得出a2＞0，a3＞0，…，
进而可知，对任意的n∈N*，an＞0，
在等式得两边取对数可得：＝，
令bn＝lg2（an+1），则bn＞0，可得，
则，
所以数列{}是等比数列，且首项为，公比为2，
所以＝16（2lg23﹣1）＝32lg23﹣16，
即lg2（a5+1）＝b5＝＝31lg23﹣15．
故选：B．
【点评】本题考查由数列的递推式求数列的项，属于中档题．
8．（5分）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：如图：F1P垂直直线bx﹣ay＝0，交点为H，F1到双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0的距离为：d＝＝b，
△F1PF2中，PF1＝2d＝2b，抛物线y2＝4cx的焦点坐标（c，0），
PF2＝2a，tan∠F1OH＝，∴cs∠F1OH＝，sin∠F1OH＝，
可得cs∠OF1P＝，sin∠OF1P＝，P（，），
点P在抛物线y2＝4cx上，
可得：＝8b2﹣4c2，
∴e4﹣3e2+1＝0，e＞1，
∴e＝．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）若过点A（3，0）的直线l与圆（x﹣1）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率可能是（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．
【分析】设直线l的斜率为k，写出过点A（3，0）的直线l的方程，由圆心到直线的距离小于等于半径列式求解k的范围，结合选项得答案．
【解答】解：设直线l的斜率为k，则过点A（3，0）的直线l的方程为y﹣0＝k（x﹣3），
即kx﹣y﹣3k＝0．
圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1，
则，解得≤k≤．
结合选项可得，直线l的斜率可能是BC．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知α∈[0，π]，则方程x2+y2csα＝1表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
【分析】分类讨论α＝0，，与四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断．
【解答】解：对于方程x2+y2csα＝1（0≤α≤π），
当α＝0时，csα＝1，方程为x2+y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，0＜csα＜1，则，
此时方程x2+y2csα＝1，即表示焦点在y轴的椭圆；
当时，csα＝0，此时方程x2＝1，即x＝±1，表示两条直线；
当时，﹣1≤csα＜0，则，
此时方程x2+y2csα＝1，即表示焦点在x轴的双曲线．
综上可得符合依题意的有ABD．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），且满足an+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），a1＝，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}的前n项和为Sn＝
B．数列{an}的通项公式为an＝
C．数列{an}为递增数列
D．数列{}为递增数列
【分析】由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）代入已知条件，可构造关于Sn的递推关系式，根据等差数列的通项公式求出Sn，进而可得通项公式an，逐个判断选项得出正确答案．
【解答】解：∵an+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），
∴Sn﹣Sn﹣1+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），
∵Sn≠0，∴﹣＝4（n≥2），
因此数列{}是以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以＝4+4（n﹣1）＝4n，∴Sn＝，即A正确；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣，
所以an＝，即B，C不正确；
故选：AD．
【点评】本题考查数列的递推关系式，以及等差数列的通项公式，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（ ）
A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值
B．线段B1C上存在点G，使平面EFG∥平面BDC1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．三棱锥A1﹣EFG的外接球半径的最大值为
【分析】A求三棱锥体积判断；B用反证法判断；C建立空间坐标系，用向量法求异面直线成角，用运动思想判断；D求外接球心，用方程求解判断．
【解答】解：对于A，VA1﹣EFG＝VG﹣A1EF＝••1•1•2＝，所以A正确；
对于B，若存在G∈线段B1C，使平面EFG∥平面BDC1G∈线段B1C，因为平面A1B1CD交平面EFG与平面BDC1分别为NG与DM，
于是NG∥DM，G应在CB1的延长线上，所以B错；
对于C，以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当时，则G（，2，），E（1，0，2）
B（2，2，0），C1（0，2，2），所以＝（，2，﹣），＝（﹣2，0，2），所以cs＜，＞＝＝＝﹣，
所以直线EG与BC1所成角的余弦值为，所以C正确；
对于D，当G在C点时，三棱锥A1﹣EFG外接球半径最大，连接A1D交EF于点N，则N为EF的中点，因为三角形AEF为直角三角形，所以外接球的球心在过点N且垂直于面A1EF的直线NH上，NH与B1C交于H，设球心为O，
如平面展开图，设半径OC＝OA1＝R，因为A1N＝EF＝，A1D＝2，所以CH＝DN＝，
所以ON＝＝，OH＝＝，
由ON+OH＝2，可得+＝2，解得R＝，所以D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了异面直线成角问题，考查了三棱锥外接球问题，属于中档题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为 ±1 ．
【分析】由椭圆与双曲线的性质可得：，然后求解即可．
【解答】解：已知椭圆与双曲线有相同的焦点，
则，
即a2＝1，
即a＝±1，
故答案为：±1．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的性质，属基础题．
14．（5分）已知等比数列{an}的前5项积为32，1＜a1＜2，则的取值范围为 ． ．
【分析】由题意得a3＝2，a1•a5＝4，原式化简可得，构造函数f（x）＝（1＜x＜2），判断函数的单调性，从而求取值范围．
【解答】解：∵等比数列{an}的前5项积为32，
∴a1•a2•a3•a4•a5＝＝32，
∴a3＝2，则a1•a5＝4，即a5＝，
故＝，
令函数f（x）＝（1＜x＜2），
∵f（x）＝在（1，2）上是增函数，
∴1+1+1＜＜3+，
即3＜＜，
所以的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了等比数列性质的应用，属于中档题．
15．（5分）过点P（x，y）作圆C1：x2+y2＝1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的切线，切点分别为A，B，若|PA|＝|PB|，则x2+y2的最小值为 ．
【分析】根据两圆圆心距与半径之间的关系，判断出两圆的位置关系，再结合勾股定理，以及三点共线的性质，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，
圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心为C2（2，1），半径r2＝1，
，
则两圆相离，
|PA|＝|PB|，
则，，
故|OP|＝|PC2|，即点P在线性OC2的中垂线上，
x2+y2＝|OP|2≥，
当且仅当O，P，C2（P在OC2之间）三点共线时，等号成立，
故x2+y2的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
16．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|Sn|＜A，则称数列{an}为“T数列”．则以下{an}为“T数列”的是 ②③ ．
①若{an}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；
②若{an}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；
③若；
④若a1＝1，．
【分析】写出等差数列的前n项和结合“T数列”的定义判断①；写出等比数列的前n项和结合“T数列”的定义判断②；利用裂项相消法求和判断③；由数列递推式分n为奇数与偶数判断数列的特性，再求前n项和判断④．
【解答】解：①若{an}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0，
则，当n→+∞时，|Sn|→+∞，
∴数列{an}不是“T数列”；
②若{an}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，
∴|Sn|＝||＝|﹣|≤||+||＜2，
∴数列{an}是“T数列”；
③若＝（），
∴|Sn|＝|+…+|＝||＜，
∴数列{an}是“T数列”；
④若a1＝1，，
当n为奇数时，有an+2﹣an＝0，数列{an}中的奇数项构成常数列，且各项为1；
当n为偶数时，有an+2+an＝0，即数列{an}中任意两个连续偶数项的和为0．
则当n→+∞时，|Sn|→+∞，
∴数列{an}不是“T数列”．
综上，为“T数列”的是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的前n项和，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边已知，c＝3，若，求△ABC的面积S△ABC及c边上的高h．
【分析】由题意利用三角形内角和定理可求C的值，由余弦定理可得c2＝a2+b2+ab，由，可求ab的值，利用三角形的面积公式可求S△ABC的值，进而可求c边上的高h．
【解答】解：由A+B＝，c＝3，得C＝，
又因为，
由余弦定理可得9＝a2+b2+ab＝（a﹣b）2+3ab，
得ab＝1，
故S△ABC＝absinC＝，
又S△ABC＝＝ch＝3×h，
解得h＝．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（12分）如图，在棱长为4的正方体OABC﹣O'A'B'C'中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF．
（1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'﹣BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF的夹角的正切值．
【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE＝BF＝a且0≤a≤4，应用向量法求证垂直即可；
（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF面积最大求出参数a，再标出相关点的坐标，求平面B'EF与平面BEF的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值．
【解答】证明：（1）如下图，构建空间直角坐标系O﹣xyz，令AE＝BF＝a且0≤a≤4，
所以C'（0，4，4），A'（4，0，4），E（4，a，0），F（4﹣a，4，0），
则，，故，
所以，即A'F⊥C'E．
解：（2）由（1）三棱锥B'﹣BEF体积取最大，即△BEF面积最大，
所以当a＝2时Smax＝2，故E，F为AB，BC上的中点，
所以E（4，2，0），F（2，4，0），B'（4，4，4），故，
若为面B'EF的法向量，则，令z＝﹣1，故，
又面BEF的法向量为，
所以，
所以平面B'EF与平面BEF的夹角正切值为．
【点评】本题主要考查了利用空间向量证明直线与直线垂直，以及利用空间向量求两平面的夹角，属于中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝2cs2x+2sinxcsx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y＝f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝4在区间[0，]上所有根之和．
【分析】（1）化简可得f（x）＝2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1＝2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；
（2）由函数图象变换可得g（x）＝2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）＝，解方程可得x＝或x＝，相加即可．
【解答】解：（1）化简可得f（x）＝2cs2x+2sinxcsx+a
＝cs2x+1+sin2x+a＝2sin（2x+）+a+1，
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）的最小值为﹣1+a+1＝2，解得a＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+）+3，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由函数图象变换可得g（x）＝2sin（4x﹣）+3，
由g（x）＝4可得sin（4x﹣）＝，
∴4x﹣＝2kπ+或4x﹣＝2kπ+，
解得x＝+或x＝+，（k∈Z），
∵x∈[0，]，
∴x＝或x＝，
∴所有根之和为+＝．
【点评】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．
20．（12分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且有S6＝57，b4＝11．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，Tn是数列{cn}的前n项和，对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用a1+a3＝20，a2＝8列出方程组，求出首项与公比，然后可得数列{an}的通项公式，设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，再由已知列首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得数列{bn}的通项公式；
（2）利用错位相减法求和求出Tn，代入，分离a，借助于函数单调性分n为奇数与偶数求解．
【解答】解：（1）由a1+a3＝20，a2＝8．
得，又q＞1，
解得，∴数列{an}的通项公式为；
设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，
则，解得，则bn＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．
（2）＝，
则，
，
∴＝，
可得．
不等式恒成立，即＞（﹣1）n•a恒成立，
也就是恒成立．
设f（n）＝，可知f（n）单调递增，
n为奇数时，f（n）的最小值为，∴﹣a＜，得a＞﹣，
n为偶数时，f（n）的最小值为，∴a＜．
综上可得，实数a的取值范围是（）．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了错位相减法求和，考查数列的函数特性，考查计算能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2（a﹣2）x+1，其中a∈R．
（1）若对任意实数x1，x2∈[2，4]，恒有f（x1）≥9sin2x2，求a的取值范围；
（2）是否存在实数x0，使得ax0＜0且f（x0）＝|2x0﹣a|+2？若存在，则求x0的取值范围；若不存在，则加以证明．
【分析】（1）首先求出9sin2x2在x2∈[2，4]上的最大值，问题转化为f（x）≥[9sin2x2]max对任意x∈[2，4]成立，然后化简不等式，参变分离构造a≥[]max即可．
（2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题．
【解答】解：（1）∵x2∈[2，4]，
∴2x2∈[4，8]，sin2x2∈[﹣1，1]，
∴[sin2x2]max＝1，∴[9sin2x2]max＝9，∴原问题⇔f（x）≥9对任意x∈[2，4]成立，
即ax2+2（a﹣2）x+1≥9对任意x∈[2，4]成立，
即a≥对任意x∈[2，4]成立，
∴a≥[]max＝2．
故a的范围是：[2，+∞）．
（2）①若a＞0，
∵ax0＜0，
∴x0＜0，2x0﹣a＜0，
∴f（x0）＝|2x0﹣a|+2⇔+2（a﹣2）x0+1＝a﹣2x0+2⇔a＝＞0，
⇒（2x0+1）（+2x0﹣1）＞0⇒（2x0+1）[x0﹣（﹣1）][x0﹣（﹣﹣1）]＞0，
∵x0＜0，
∴x0﹣（﹣1）＜0，
∴不等式变为2（x0+1）[x0﹣（﹣﹣1）]＜0，
∴x0∈（﹣﹣1，﹣）；
②若a＜0，
∵ax0＜0，
∴x0＞0，
∴2x0﹣a＞0，
∴f（x0）＝|2x0﹣a|+2⇔+2（a﹣2）x0+1＝2x0+2﹣a⇔+2ax0﹣4x0+1+a＝2x0+2⇔a（+2x0+1）＝6x0+1⇔a＝＜0⇒6x0+1＜0⇒x0＜﹣，
∵x0＞0，
∴此时无解．
综上所述，存在x0∈（﹣﹣1，﹣）满足题意．
【点评】本题考查了分类讨论思想、转化思想及分式不等式的解法，也考查了学生的分析问题、解决问题及计算能力，属于中档题．
22．（12分）P为圆A：（x+2）2+y2＝36上一动点，点B的坐标为（2，0），线段PB的垂直平分线交直线AP于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为A1和A2，M、N为曲线C上异于A1、A2的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线A1S与直线A2N相交于点T，直线OT与直线MN相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得△RBE的面积为定值，并求该定值．
【分析】（1）根据线段BP的垂直平分线交直线AP于点Q，得到|BQ|＝|PQ|，再由|AQ|+|BQ|＝|AQ|+|PQ|＝6，利用椭圆的定义求解；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+n（m≠0，n≠0），与椭圆方程联立，设T（x0，y0），分别由T，S，A1和T，N，A2三点共线，结合韦达定理，得到进而得到，联立直线OT与直线MN的方程，得到R在定直线l：x＝﹣3上求解．
【解答】解：（1）∵直线BP的垂直平分线交直线AP于点Q，
∴|BQ|＝|PQ|，
∴|AQ|+|BQ|＝|AQ|+|PQ|＝6＞4＝|AB|，
∴a＝3，c＝2，
∴点Q的轨迹方程为，
证明：（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+n（m≠0，n≠0），
与椭圆联立，
得，
得（5m2+9）y2+10mny+5n2﹣45＝0，
则Δ＝180（5m2﹣n2+9）＞0，
由根与系数的关系得，
由（1）知A1（﹣3，0），A2（3，0），
设T（x0，y0），
由T，S，A1三点共线得，
由T，N，A2三点共线得，
＝
＝
＝
＝
＝，
所以OT的斜率，
则直线OT的方程为，
联立直线OT与直线MN的方䄇，
可得，
解得x＝﹣3，
所以R在定直线x＝﹣3上，
使得△RBE的面积为定值的点E一定为过点B且与直线x＝﹣3平行的直线与椭圆C的交点，
此时E的坐标为或，
此时S△RBE＝．
【点评】本题是对直线与圆锥曲线的综合考查，考查了学生的运算能力，属于难题．
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