2023-2024学年广东省深圳市名校联考高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省深圳市名校联考高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点B与点A（﹣3，6，1）关于平面Oxy对称，则B的坐标为（ ）
A．（3，6，1）B．（﹣3，﹣6，1）
C．（﹣3，6，﹣1）D．（﹣3，﹣6，﹣1）
2．（5分）已知向量，则（ ）
A．（﹣4，2，3）B．（4，﹣2，﹣3）C．（0，﹣2，﹣5）D．（0，2，5）
3．（5分）经过，B（3，0）两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）若直线l的斜率大于1，则l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，且l1的斜率为，则l2的斜率为（ ）
A．3或B．3C．或﹣3D．
8．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l的倾斜角为，则l的方向向量可能为（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（5分）已知{}是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（5分）如图，在圆台OO'中，AB，A'B'分别为圆O，O′的直径，AB∥A'B'，AB＝3A'B'＝12，圆台OO'的体积为，C为内侧上更靠近B'的三等分点，以O为坐标原点，下底面垂直于AB的直线为x轴，OB，OO'所在的直线分别为y，z轴，建立空问直角坐标系，则（ ）
A．O'的坐标为（0，0，2）
B．
C．平面ABC的一个法向量为
D．O'到平面ABC的距离为
（多选）12．（5分）在正四面体ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．异面直线MN与BD所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝ ．
14．（5分）已知点A（1，2），B（2，3），点C在x轴上，△ABC为直角三角形，请写出C的一个坐标： ．
15．（5分）在空间直角坐标系中，向量（sinα，﹣csα，1），（2csθ，1，2sinθ），则的最大值为 ．
16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，G为△PAC的外心，D为直线BC上的一动点，设直线AD与BG所成的角为θ，则θ的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知直线l1经过A（m，3），B（1，m）两点，l2经过P（2，1），Q（4，2）两点．
（1）若l1∥l2，求m的值；
（2）若l1，l2的倾斜角互余，求m的值．
18．（12分）在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点为A（0，﹣1，1），B（0，1，2），C（3，1，3）．
（1）求D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝1．
（1）证明：BD⊥PA．
（2）若，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
20．（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，．
（1）设，，，用a，b，c表示；
（2）若，求．
21．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别是AA1，BC，C1D1的中点．
（1）证明：B1D⊥平面EFG．
（2）在直线DB上是否存在点P，使得B1P∥平面EFG？若存在，请指出P的位置；若不存在．请说明理由．
22．（12分）如图，A，B，C为圆柱底面圆周上三个不同的点，AA1，BB1，CC1分别为半圆柱的三条母线，且C是的中点，O，E分别为AB，BB1的中点．
（1）证明：A1C1∥平面ACE．
（2）若AA1＝4AB＝8，F是上的动点（含弧的端点），求OF与平面ACE所成角的正弦值的最大值．
2023-2024学年广东省深圳市名校联考高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点B与点A（﹣3，6，1）关于平面Oxy对称，则B的坐标为（ ）
A．（3，6，1）B．（﹣3，﹣6，1）
C．（﹣3，6，﹣1）D．（﹣3，﹣6，﹣1）
【解答】解：由题意，在空间直角坐标系Oxyz中，
点B与点A（﹣3，6，1）关于平面Oxy对称，
则B的坐标为（﹣3，6，﹣1）．
故选：C．
2．（5分）已知向量，则（ ）
A．（﹣4，2，3）B．（4，﹣2，﹣3）C．（0，﹣2，﹣5）D．（0，2，5）
【解答】解：由，
可得2（﹣1，1，2）﹣（﹣2，0，﹣1）＝（0，2，5）．
故选：D．
3．（5分）经过，B（3，0）两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：，B（3，0），
则，所以直线的倾斜角为．
故选：A．
4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，
故．
故选：A．
5．（5分）若直线l的斜率大于1，则l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设l的倾斜角为α，直线l的斜率大于1，
得，tanα＞1，得．
故选：B．
6．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示：
过D作DE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．易得DE⊥平面ABC，
所以AB⊥平面DEF，则AB⊥DF．
由，得，
故在向量 上的投影向量为．
故选：D．
7．（5分）已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，且l1的斜率为，则l2的斜率为（ ）
A．3或B．3C．或﹣3D．
【解答】解：设l2的倾斜角为α，由，
得3tan2α﹣8tanα﹣3＝0，解得tanα＝3或，又l2的倾斜角必为锐角，
所以l2的斜率为3．
故选：B．
8．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
【解答】解：以A为原点，AB，AC，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），E（3，0，0），F（0，0，4），
所以，
因为点O为△BCD的重心，所以O（2，2，2），所以（﹣1，2，2），
所以点O到直线EF的距离为．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l的倾斜角为，则l的方向向量可能为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：线l的倾斜角为，则l的斜率为，
则l的方向向量可能为 ，，
（，﹣1），（2，﹣2）的斜率都为．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知{}是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，
所以，共面，，共面，故A，D错误；
不存在m，n，使得 ，所以，不共面，故B正确；
不存在m，n，使得，所以，构不共面，故C正确．
故选：BC．
（多选）11．（5分）如图，在圆台OO'中，AB，A'B'分别为圆O，O′的直径，AB∥A'B'，AB＝3A'B'＝12，圆台OO'的体积为，C为内侧上更靠近B'的三等分点，以O为坐标原点，下底面垂直于AB的直线为x轴，OB，OO'所在的直线分别为y，z轴，建立空问直角坐标系，则（ ）
A．O'的坐标为（0，0，2）
B．
C．平面ABC的一个法向量为
D．O'到平面ABC的距离为
【解答】解：由圆台OO′的体积为，得，
解得OO′＝2，则O′（0，0，2），即A正确．
连接O′C，设C在下底面的射影为点D，连接CD，OD，如下图所示：
易得，则，
因为A（0，﹣6，0），所以，即B正确．
设平面ABC的法向量为，由B（0，6，0），可知，
则，解得y＝0，令x＝2，可得，
所以，可知C错误．
因为，所以O′到平面ABC的距离为，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）在正四面体ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．异面直线MN与BD所成的角为
【解答】解：由题意，如图正四面体ABCD，

，A错误，B正确．
在正四面体ABCD中，设AB的中点为F，连接DF，CF，
则DF⊥AB，CF⊥AB，而DF⋂CF＝F，DF，CF⊂平面DFC，
故AB⊥平面DFC，CD⊂平面DFC，故AB⊥CD，故，
又△ABD为正三角形，M为AD的中点，故，
则6，
则，且，
所以，C正确．
取CD的中点为E，连接ME，NE，则ME∥AC，NE∥BD，
且，
则∠MNE即为异面直线MN与BD所成的角或其补角，
由证明AB⊥CD方法同理可证AC⊥BD，所以ME⊥NE，
所以△MEN是以∠MEN为直角的等腰直角三角形，
所以，D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝ ﹣3 ．
【解答】解：根据题意，若α∥β，则有∥，
设t，即（0，1，m）＝k（0，n，﹣3），则有，
变形可得：mn＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（5分）已知点A（1，2），B（2，3），点C在x轴上，△ABC为直角三角形，请写出C的一个坐标： （3，0）（答案不唯一） ．
【解答】解：设C（x，0），根据△ABC为直角三角形，点A（1，2），B（2，3），
则kAB1．kAC，kBC．
当A为直角时，由kAB•kAC＝11，得x＝3，可得C的坐标为（3，0）．
当B为直角时，由kAB•kBC＝11，得x＝5，可得C 的坐标为（5，0）．
当C为直角时，由kAC•kBC1，化简得 x2﹣3x+8＝0，该方程无解．
故答案为：（3，0）（答案不唯一）．
15．（5分）在空间直角坐标系中，向量（sinα，﹣csα，1），（2csθ，1，2sinθ），则的最大值为 ．
【解答】解：由题意，有||，||，
则，当且仅当0时等号成立，
所以的最大值为．
故答案为：．
16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，G为△PAC的外心，D为直线BC上的一动点，设直线AD与BG所成的角为θ，则θ的取值范围为 ．
【解答】解：不妨设PA＝AB＝2，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A（0，0，0），，C（0，2，0），P（0，0，2），
由题意得G为PC的中点，所以G（0，1，1）．
设，λ∈R，得，
则，
因为，
所以．
当λ＝0时，csθ＝0．
当λ≠0时，，
得．
综上，，由得．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知直线l1经过A（m，3），B（1，m）两点，l2经过P（2，1），Q（4，2）两点．
（1）若l1∥l2，求m的值；
（2）若l1，l2的倾斜角互余，求m的值．
【解答】解：由题意得，，
（1）若 l1∥l2，则，得；
（2）若 l1，l2 的倾斜角互余，则，得．
18．（12分）在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点为A（0，﹣1，1），B（0，1，2），C（3，1，3）．
（1）求D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）设D的坐标为（x，y，z），
由题意得，，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以，
即，解得，
即D的坐标为（3，﹣1，2）；
（2）由题意得，
则，，，
所以，得，
故四边形ABCD的面积为．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝1．
（1）证明：BD⊥PA．
（2）若，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，BD二平面ABCD，∴PC⊥BD．
又∵AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．
∵PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA．
（2）解：如图，以C为坐标原点，CB，CD，CP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），，
∴，，，
由（1）知BD⊥平面PAC，则平面PAC的一个法向量为（﹣1，1，0），
设平面ACE的法向量为（x，y，z），
则，令x＝2，得y＝﹣2，z＝﹣1，∴（2，﹣2，﹣1），
∴|cs，|，
由图可知二面角P﹣AC﹣E是锐角，故二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．
20．（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，．
（1）设，，，用a，b，c表示；
（2）若，求．
【解答】解：（1）连接BD，PE，如图，，
因为D为PC的中点，，
所以，，
所以
；
（2）因为，
所以，
因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PAB，
所以PA⊥PB，PA⊥BC，PB⊥BC，
又因为，
所以，即．
21．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别是AA1，BC，C1D1的中点．
（1）证明：B1D⊥平面EFG．
（2）在直线DB上是否存在点P，使得B1P∥平面EFG？若存在，请指出P的位置；若不存在．请说明理由．
【解答】解：（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
可得E（2，0，1），F（1，2，0），G（0，1，2），B1（2，2，2），
则（2，2，2），（﹣1，2，﹣1），（﹣2，1，1），
•2+4﹣2＝0，•4+2+2＝0，
则DB1⊥EF，DB1⊥EG，
而EF∩EG＝E，可得DB1⊥平面EFG；
（2）在直线DB上假设存在点P，设P（a，a，0），0≤a≤2，使得B1P∥平面EFG．
设平面EFG的法向量为（x，y，z），则••0，即﹣x+2y﹣z＝﹣2x+y+z＝0，
取x＝y＝1，则z＝1，即（1，1，1），
由B1P∥平面EFG，可得⊥，
而（a﹣2，a﹣2，﹣2），则a﹣2+a﹣2+2＝0，解得a＝1，
所以在直线DB上存在点P（1，1，0），且P为BD的中点，使得B1P∥平面EFG．
22．（12分）如图，A，B，C为圆柱底面圆周上三个不同的点，AA1，BB1，CC1分别为半圆柱的三条母线，且C是的中点，O，E分别为AB，BB1的中点．
（1）证明：A1C1∥平面ACE．
（2）若AA1＝4AB＝8，F是上的动点（含弧的端点），求OF与平面ACE所成角的正弦值的最大值．
【解答】（1）证明：因为AA1，BB1，CC1分别为半圆柱的三条母线，
所以AA1||CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
又因为A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以A1C1∥平面ACE；
（2）解：记A1B1的中点为O1，点F在平面ABC内的投影记为F1，连接OC，OO1，BC，
因为C是半圆AB的中点，所以，，
易知OO1⊥平面ACB，OB，OC，OO1两两相互垂直，且，
以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），E（1，0，4），
，，
点F在xOy平面内的单位圆上，其坐标不妨记为F1（csα，sinα，0），α∈[0，π]，
则F（csα，sinα，8），，
设平面ACE的法向量为（x，y，z），
则，即，令x＝2，得（2，﹣2，﹣1），
设OF与平面ACE所成的角为θ，
则sinθ＝|cs|，
当且仅当时，OF与平面ACE所成角的正弦值取得最大值，且最大值为．
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