2022-2023学年湖北省十堰市茅箭区柳林中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省十堰市茅箭区柳林中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，1，3}，则A⋂B＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，1}
C．{﹣1，1，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）命题“∀x＜5，﹣x2+2x≥3“的否定是（ ）
A．∀x＜5，﹣x2+2x＜3B．∃x≥5，﹣x2+2x＜3
C．∃x＜5，﹣x2+2x＜3D．∃x＜5，﹣x2+2x≤3
3．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，则f（x）的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）定义：差集M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}．现有两个集合A、B，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．（A﹣B）∪BB．（B﹣A）∩B
C．（A﹣B）∩（B﹣A）D．（A﹣B）∪（B﹣A）
5．（5分）已知，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
6．（5分）已知关于x的不等式kx2﹣2kx+3＞0恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．[0，3]B．（0，3]C．[0，3）D．（0，3）
7．（5分）“0＜a≤2”是“函数在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）若函数f（x）的定义域为R，且xf（x）+f（1﹣x）＝1，则f（x）的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若全集U＝{﹣7，﹣5，﹣1，0，5，7}，集合A满足∁UA＝{|a|，a}，则a的值可能为（ ）
A．﹣7B．﹣5C．﹣1D．0
（多选）10．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，则“ABCD是等腰梯形”的一个充分条件可以是（ ）
A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠ADC＝∠BCDD．∠ADC＝∠DAC
（多选）11．（5分）若奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x），则（ ）
A．f（x）＝x
B．g（x）的值域为（0，1]
C．函数g（x﹣1）在（1，+∞）上单调递增
D．函数h（x）＝[f（x+1）]2g（x）的最大值与最小值之和为2
（多选）12．（5分）若正数a，b满足a2+ab+b2＝6，则的值可能为（ ）
A．10B．12C．D．
三、填空题：本题共4小题，共小题5分，共20分.
13．（5分）写出一个满足条件“函数的图象与x轴、y轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数：f（x）＝ ．
14．（5分）若集合A＝{0，1，2，3，4，5}，，则满足B⊆C⫋A的集合C的个数为 ．
15．（5分）若不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤5}，则关于x的不等式bx2+ax+c≤0的解集为 ．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，，则不等式8t3f（2t）﹣（t﹣1）3f（t﹣1）＞0的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，非空集合B＝{x|a+2≤x+1≤3a}．
（1）当a＝3时，求（∁RA）∪B；
（2）若A∩B＝{x|a+1≤x≤5}，求a的取值范围．
18．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）﹣4x+2，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若两个不相等的正数m，n满足f（m）＝f（n），求的最小值．
19．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本36万元，且后续的其他成本总额y（单位：万元）与前x（x∈N+）年的关系式近似满足y＝ax2+bx．已知小李第一年的其他成本为3万元，前两年的其他成本总额为8万元，每年的总收入均为22万元．
（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？
（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．
20．（12分）已知函数f（x）的定义域为集合A，且∀x∈A，f（﹣x）+f（x﹣4）＝4．
（1）求m，n的值；
（2）判断f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）若∃x∈[1，3]，f（x）+x2﹣2x﹣k≤0，求k的取值范围．
21．（12分）（1）已知x，y满足﹣2≤x+2y≤3，1≤2x﹣3y≤5，求x的取值范围；
（2）解关于x的不等式：ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣5≤ax+a+1．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+4|x﹣a|+2a．
（1）若a＝0，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最大值为g（a），求g（a）的最小值．
2022-2023学年湖北省十堰市茅箭区柳林中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，1，3}，则A⋂B＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，1}
C．{﹣1，1，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【解答】解：由题意﹣2≤﹣1≤2，﹣2≤1≤2，﹣2＜3，3＞2，
所以由交集的定义可知A⋂B＝{﹣1，1}．
故选：B．
2．（5分）命题“∀x＜5，﹣x2+2x≥3“的否定是（ ）
A．∀x＜5，﹣x2+2x＜3B．∃x≥5，﹣x2+2x＜3
C．∃x＜5，﹣x2+2x＜3D．∃x＜5，﹣x2+2x≤3
【解答】解：命题“∀x＜5，﹣x2+2x≥3“的否定是“∃x＜5，﹣x2+2x＜3“．
故选：C．
3．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，则f（x）的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：函数的定义域为[0，2]，值域为[0，1]，不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为[x0，2]，其中x0＜0，值域为[0，2]，不符合题意，故B错误；
对于C：直线x＝1与图象有2个交点，不符合函数的定义，故C错误；
对于D：函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，符合题意，故D正确．
故选：D．
4．（5分）定义：差集M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}．现有两个集合A、B，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．（A﹣B）∪BB．（B﹣A）∩B
C．（A﹣B）∩（B﹣A）D．（A﹣B）∪（B﹣A）
【解答】解：由差集的定义可知，阴影部分表示的集合是（A﹣B）∪（B﹣A）．
故选：D．
5．（5分）已知，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
【解答】解：根据题意，可得a﹣b＝﹣x2﹣2x﹣（﹣2x2﹣2）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1＞0，故a＞b，
且，故c＞a，
综上所述，b＜a＜c．
故选：A．
6．（5分）已知关于x的不等式kx2﹣2kx+3＞0恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．[0，3]B．（0，3]C．[0，3）D．（0，3）
【解答】解：当k＝0时，3＞0，满足题意；
当k≠0时，则，解得0＜k＜3，
综上，k的取值范围为[0，3）．
故选：C．
7．（5分）“0＜a≤2”是“函数在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由函数在R上单调递增，得得0＜a≤1．
因为“0＜a≤2”是“0＜a≤1”的必要不充分条件，
所以“0＜a≤2”是“函数在R上单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
8．（5分）若函数f（x）的定义域为R，且xf（x）+f（1﹣x）＝1，则f（x）的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由xf（x）+f（1﹣x）＝1①，得（1﹣x）f（1﹣x）+f（x）＝1②，
（1﹣x）×①得（1﹣x）xf（x）+（1﹣x）f（1﹣x）＝1﹣x③，
②﹣③得（x2﹣x+1）f（x）＝x，
因为，所以，
当x＝0时，f（x）＝0，
当x＜0时，，
当x＞0时，（当且仅当x＝1时，等号成立），
综上所述，f（x）的最大值为1．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若全集U＝{﹣7，﹣5，﹣1，0，5，7}，集合A满足∁UA＝{|a|，a}，则a的值可能为（ ）
A．﹣7B．﹣5C．﹣1D．0
【解答】解：因为∁UA＝{|a|，a}，
所以根据元素互异性可知|a|≠a，所以a＜0，
显然|a|∈U，a∈U，
则a＝﹣7，|a|＝7或a＝﹣5，|a|＝5．
故选：AB．
（多选）10．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，则“ABCD是等腰梯形”的一个充分条件可以是（ ）
A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠ADC＝∠BCDD．∠ADC＝∠DAC
【解答】解：在梯形ABCD中，AB∥CD，若AD＝BC可得ABCD是等腰梯形，
若AC＝BD可得ABCD是等腰梯形，
若∠ADC＝∠BCD，可得AD＝BC，即可得到ABCD是等腰梯形，
若∠ADC＝∠DAC，则AC＝CD，无法得到ABCD是等腰梯形，
故“AD＝BC”，“AC＝BD”，“∠ADC＝∠BCD”是“ABCD是等腰梯形”的充分条件．
故选：ABC．
（多选）11．（5分）若奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x），则（ ）
A．f（x）＝x
B．g（x）的值域为（0，1]
C．函数g（x﹣1）在（1，+∞）上单调递增
D．函数h（x）＝[f（x+1）]2g（x）的最大值与最小值之和为2
【解答】解：奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x），①
可得f（﹣x）+g（﹣x），即有﹣f（x）+g（x），②
由①②可得f（x）x，g（x），
所以g（x）∈（0，1]，故A，B都正确；
g（x﹣1）在（1，+∞）递减，故C错误；
函数h（x）＝[f（x+1）]2g（x）＝（x+1）2•1，
设m（x），m（﹣x）＝﹣m（x），可得m（x）为奇函数，m（x）的最小值和最大值互为相反数，
所以h（x）的最小值和最大值的和为2，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）若正数a，b满足a2+ab+b2＝6，则的值可能为（ ）
A．10B．12C．D．
【解答】解：由，
即，
因为a，b＞0，所以，
由a2+ab+b2＝6⇔（a﹣b）2＝6﹣3ab≥0⇒0＜ab≤2，
又a2+ab+b2＝6⇔（a+b）2＝6+ab∈（6，8]，
故，
因为，即A错误，B、C、D均符合题意．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，共小题5分，共20分.
13．（5分）写出一个满足条件“函数的图象与x轴、y轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数：f（x）＝ （答案不唯一） ．
【解答】解：根据函数的图象与x轴、y轴没有交点，且为奇函数，故可令．
故答案为：（答案不唯一）．
14．（5分）若集合A＝{0，1，2，3，4，5}，，则满足B⊆C⫋A的集合C的个数为 7 ．
【解答】解：由题意得B＝{0，1，3}，又A＝{0，1，2，3，4，5}，B⊆C⫋A，
所以满足条件集合C为{0，1，3}，{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，3，5}，{0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，3，4，5}，
所以满足B⊆C⫋A的集合C的个数为7．
故答案为：7．
15．（5分）若不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤5}，则关于x的不等式bx2+ax+c≤0的解集为 ．
【解答】解：若不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤5}，
则方程ax2+bx+c＝0的实数根为1和5，且a＜0，
由根与系数的关系知，所以，
所以关于x的不等式bx2+ax+c≤0为﹣6ax2+ax+5a≤0，
又a＜0，所以6x2﹣x﹣5≤0，
解得，
所以关于x的不等式bx2+ax+c≤0的解集为．
故答案为：．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，，则不等式8t3f（2t）﹣（t﹣1）3f（t﹣1）＞0的解集为 ．
【解答】解：根据题意，令g（x）＝x3f（x），
由于∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，，
当x1＞x2≥0时，有g（x1）﹣g（x2）＞0，则g（x）在[0，+∞）上单调递增．
又f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
所以g（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝x3f（x）＝g（x），
所以g（x）为偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
由8t3f（2t）﹣（t﹣1）3f（t﹣1）＞0，得（2t）3f（2t）＞（t﹣1）3f（t﹣1），
即g（2t）＞g（t﹣1），即g（|2t|）＞g（|t﹣1|），所以|2t|＞|t﹣1|，解得t＜﹣1或，
即不等式的解集为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，非空集合B＝{x|a+2≤x+1≤3a}．
（1）当a＝3时，求（∁RA）∪B；
（2）若A∩B＝{x|a+1≤x≤5}，求a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，
则∁RA＝{x|x＜﹣2或x＞5}，
当a＝3时，集合B＝{x|5≤x+1≤9}＝{x|4≤x≤8}，
所以（∁RA）∪B＝{x|x＜﹣2或x≥4}．
（2）因为A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}
且A⋂B＝{x|a+1≤x≤5}，
所以，解得2≤a≤4，
所以a的取值范围是{a|2≤a≤4}．
18．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）﹣4x+2，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若两个不相等的正数m，n满足f（m）＝f（n），求的最小值．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
因为f（0）＝c＝1，所以f（x）＝ax2+bx+1．
由f（x+1）＝f（x）﹣4x+2，得a（x+1）2+b（x+1）+1＝ax2+bx+1﹣4x+2，
得ax2+（2a+b）x+a+b+1＝ax2+（b﹣4）x+3，
所以，得，
故f（x）＝﹣2x2+4x+1，x∈R．
（2）因为f（x）图象的对称轴为直线，所以由f（m）＝f（n），得m+n＝2，
即，又m＞0，n＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
19．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本36万元，且后续的其他成本总额y（单位：万元）与前x（x∈N+）年的关系式近似满足y＝ax2+bx．已知小李第一年的其他成本为3万元，前两年的其他成本总额为8万元，每年的总收入均为22万元．
（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？
（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，解得a＝1，b＝2，所以y＝x2+2x．
设小李承包的土地到第x年的利润为f（x）万元，
则f（x）＝22x﹣x2﹣2x﹣36＝﹣x2+20x﹣36（x∈N+），
由﹣x2+20x﹣36＞0，得x2﹣20x+36＜0，
解得2＜x＜18，
故小李承包的土地到第3年开始盈利；
（2）设年平均利润为g（x）万元，
则g（x）x20＝﹣（x）+20≤﹣220＝8，
当且仅当x＝6时，等号成立．
故当小李承包的土地到第6年时，年平均利润最大，最大为8万元．
20．（12分）已知函数f（x）的定义域为集合A，且∀x∈A，f（﹣x）+f（x﹣4）＝4．
（1）求m，n的值；
（2）判断f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（3）若∃x∈[1，3]，f（x）+x2﹣2x﹣k≤0，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）m，又由f（﹣x）+f（x﹣4）＝4得，
mm2m4，
∴2m＝4且2n﹣4＝0，
∴m＝2且n＝2；
（2）由（1）知f（x）＝2在（﹣2，+∞）上单调递增，
证明：设﹣2＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x2+2＞x1+2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）（2）0，即f（x1）＜f（x2），
即f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增；
（3）令g（x）＝f（x）+x2﹣2x，则只需k大于等于g（x）的最小值，
又g（x）在[1，3]上单调递增，
∴g（x）min＝g（1），故k，
即k∈[，+∞）．
21．（12分）（1）已知x，y满足﹣2≤x+2y≤3，1≤2x﹣3y≤5，求x的取值范围；
（2）解关于x的不等式：ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣5≤ax+a+1．
【解答】解：（1）∵﹣2≤x+2y≤3，1≤2x﹣3y≤5，
∴﹣6+2≤3x+6y+4x﹣6y≤9+10，
∴即x∈[]；
（2）原不等式可化为：（ax+2）（x﹣3）≤0，
当a＝0时，x≤3；
当a＞0时，；
当a时，x∈R；
当a＜0时，x或x≤3；
当a时，a≥3或a，
综上可知：当a＝0时不等式的解集为：（﹣∞，3]；
当a＞0时不等式的解集为：[]；
当a＜0时不等式的解集为：（﹣∞，3]∪[，+∞）；
当a时不等式的解集为：R；
当a时不等式的解集为：（]∪[3，+∞）
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+4|x﹣a|+2a．
（1）若a＝0，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最大值为g（a），求g（a）的最小值．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣x2+4|x|＝﹣|x|2+4|x|＝﹣（|x|﹣2）2+4，
当|x|＝2时，f（x）的最大值为4，
∴f（x）的值域为（﹣∞，4]；
（2）f（x）＝﹣x2+4|x﹣a|+2a，
当a≤﹣2时，f（a）＝﹣a2+2a，f（2）＝4﹣2a，则f（a）＜f（2），
则g（a）＝f（x）max＝f（2）＝4﹣2a；
当﹣2＜a≤0时，f（﹣2）＝4+6a，f（2）＝4﹣2a，则f（﹣2）≤f（2），
则g（a）＝f（x）max＝f（2）＝4﹣2a；
当0＜a≤2时，f（﹣2）＝4+6a，f（2）＝4﹣2a，则f（﹣2）＞f（2），
则g（a）＝f（x）max＝f（﹣2）＝4+6a；
当a≥2时，f（a）＝﹣a2+2a，f（﹣2）＝4+6a，则f（a）＜f（﹣2），
则g（a）＝f（x）max＝f（﹣2）＝4+6a；
则g（a），
∴g（a）的最小值是4．
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