2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为（ ）
A．∀n∈Z，n∉QB．∀n∈Q，n∈ZC．∃n∈Z，n∈QD．∃n∈Z，n∉Q
2．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．y＝|x|，uB．y，s＝（）2
C．D．
3．（5分）若x+x﹣1，则x2+x﹣2的值为（ ）
A．B．C．D．10
4．（5分）设a＝3x2﹣x+1，b＝2x2+x，则（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a≥bD．a≤b
5．（5分）已知幂函数在（0，+∞）上递增，则m＝（ ）
A．2B．4C．﹣1D．2或﹣1
6．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正实数a，b都有f（ab）＝f（a）f（b）≠0，且当x＞1时，f（x）＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是增函数，且f（x）＜0
B．f（x）是增函数，且f（x）＞0
C．f（x）是减函数，且f（x）＜0
D．f（x）是减函数，且f（x）＞0
7．（5分）若a，a2，a3是一个三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）设定义在R上的函数f（x）的值域为A，若集合A为有限集，且对任意x1、x2∈R，存在x3∈R使得f（x1）f（x2）＝f（x3），则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．3B．5C．7D．无穷个
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的是2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式中，正确的是（ ）
A．B．a0＝1
C．D．
（多选）10．（5分）下列函数中，哪些函数的图象关于y轴对称（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（5分）下列函数中具有性质：存在x1≠x2，使得的是（ ）
A．
B．f（x）＝x2
C．f（x）＝|x2﹣1|
D．f（x）＝x3
（多选）12．（5分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．设x，y＞0，若，则x﹣y＜1
B．若x|x|＞y|y|，则x3＞y3
C．若正数x，y满足，且（x﹣y）2＝9（xy）3，则
D．若x＞y＞0，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为 ．
14．（5分）使命题“若，则m＜n”为假命题的一组m、n的值为m＝ ，n＝ ．
15．（5分）若是单调函数，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x+1+m，若f（f（x））≥0恒成立，则实数m的最小值是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，C＝{x|x＜a}．
（1）求A∩（∁UB）；
（2）若B∩（∁UC）＝∅，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数，且f（1）＝3，f（2）＝5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性；
19．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b的值；
（2）当k∈[﹣1，3]时，不等式的解区间为[m，n]，求n﹣m的最小值和最大值．
20．（12分）已知幂函数f（x）的图像经过点（4，2）．
（1）求证：，其中x1，x2∈[0，+∞）；
（2）设g（x）＝f（ax+1），若“∀x∈[﹣1，1]，g（x）≤g（1）”是真命题，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，对该种矿石加工时，有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石，在切割过程中的重量损耗忽略不计，但矿石的价值会损失．
（1）把一块该种矿石切割成重量比为x：1的两块矿石时，价值损失率为37.5%，求x的值；
（2）把一块该种矿石切割成两块矿石时，价值损失率最大值是多少？
（注：）
22．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，给定函数．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）已知函数g（x）同时满足：①g（x+1）﹣1是奇函数；②当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为（ ）
A．∀n∈Z，n∉QB．∀n∈Q，n∈ZC．∃n∈Z，n∈QD．∃n∈Z，n∉Q
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n∈Z，n∉Q，
故选：D．
2．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．y＝|x|，uB．y，s＝（）2
C．D．
【解答】解：A．y＝|x|和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；
B.的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；
C.的定义域为{x|x≠1}，m＝n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．
故选：A．
3．（5分）若x+x﹣1，则x2+x﹣2的值为（ ）
A．B．C．D．10
【解答】解：x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2，
故选：B．
4．（5分）设a＝3x2﹣x+1，b＝2x2+x，则（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a≥bD．a≤b
【解答】解：∵a＝3x2﹣x+1，b＝2x2+x，
∴a﹣b＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，
∴a≥b，
故选：C．
5．（5分）已知幂函数在（0，+∞）上递增，则m＝（ ）
A．2B．4C．﹣1D．2或﹣1
【解答】解：∵幂函数 在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣m﹣1＝1①，且m2﹣2m﹣2＞0②．
由①求得m＝﹣1或m＝2；
由②求得m 或m＜1，
综合可得m＝﹣1，
故选：C．
6．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正实数a，b都有f（ab）＝f（a）f（b）≠0，且当x＞1时，f（x）＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是增函数，且f（x）＜0
B．f（x）是增函数，且f（x）＞0
C．f（x）是减函数，且f（x）＜0
D．f（x）是减函数，且f（x）＞0
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝f（•）＝[f（）]2＞0，
任取0＜x1＜x2，则有1，所以f（）＜1，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（•x1）＝f（x1）﹣f（）f（x1）＝f（x1）[1﹣f（）]＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）为减函数．
故选：D．
7．（5分）若a，a2，a3是一个三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题知a，a2，a3是一个三角形的三边长，故有a＞0，
，即，
解得：，故，
故选：A．
8．（5分）设定义在R上的函数f（x）的值域为A，若集合A为有限集，且对任意x1、x2∈R，存在x3∈R使得f（x1）f（x2）＝f（x3），则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．3B．5C．7D．无穷个
【解答】解：∵任意x1、x2∈R，存在x3∈R使得f（x1）f（x2）＝f（x3），且集合A为有限集，
∴从集合A中取两个不同的数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集合A中．
（1）f（x1）＝f（x2）时：
①集合A中只有一个元素，则A＝{0}，A＝{1}，
②集合A中有多个元素，则A＝{﹣1.1}，
（2）f（x1）≠f（x2）时，A＝{1，0}，A＝{﹣1，1，0}，
综上所述满足条件的集合A有5个．
故选：B．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的是2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式中，正确的是（ ）
A．B．a0＝1
C．D．
【解答】解：a＞0，m，n是正整数，且n＞1，
对于选项A，，即选项A正确；
对于选项B，a0＝1，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D正确，
故选：ABD．
（多选）10．（5分）下列函数中，哪些函数的图象关于y轴对称（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：对于A，y＝x为奇函数，图象关于原点对称，故A不符合题意；
对于B，为偶函数，图象关于y轴对称，故B符合题意；
对于C，y为偶函数，图象关于y轴对称，故C符合题意；
对于D，y＝x为奇函数，图象关于原点对称，故D不符合题意；
故选：BC．
（多选）11．（5分）下列函数中具有性质：存在x1≠x2，使得的是（ ）
A．
B．f（x）＝x2
C．f（x）＝|x2﹣1|
D．f（x）＝x3
【解答】解：A选择的两点关于原点对称即可，如图（1）中的A1，A2，
D同A，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）中的B1，B2，
C如图（3），y＝1与f（x）的交点，满足题意，
B没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得，即得，x1＝x2与x1≠x2矛盾，故B不存在，
故选：ACD．
（多选）12．（5分）下列命题中为真命题的是（ ）
A．设x，y＞0，若，则x﹣y＜1
B．若x|x|＞y|y|，则x3＞y3
C．若正数x，y满足，且（x﹣y）2＝9（xy）3，则
D．若x＞y＞0，则
【解答】解：由题知，对于选项A，当时，满足，
但是x﹣y＞1，所以选项A错误；
对于选项B，当x，y＞0时，x|x|＞y|y|可化为x2＞y2，即x＞y，所以x3＞y3成立，
当x＞0，y＜0时，不等式x|x|＞y|y|成立，x3＞y3也成立，
当x＜0，y＞0时，不等式x|x|＞y|y|不成立，舍，
当x＜0，y＜0时，不等式x|x|＞y|y|可化为﹣x2＞﹣y2，
即x2＜y2，即x＞y，所以x3＞y3成立，
当x＝0时，x|x|＞y|y|要想成立，y＜0，此时x3＞y3成立，
当y＝0时，x|x|＞y|y|要想成立，x＞0，此时x3＞y3成立，
综上，x3＞y3成立，所以选项B正确；
对于选项C，∵，∴，
∴（x+y）2≤12x2y2，∴x2+y2≤12x2y2﹣2xy，
∵（x﹣y）2＝9（xy）3，∴x2+y2﹣2xy＝9x3y3，
∴x2+y2＝9x3y3+2xy≤12x2y2﹣2xy，
即9x2y2﹣12xy+4≤0，
即（3xy﹣2）2≤0，此时若想成立，，故选项C正确；
对于选项D，，
，
当且仅当，即时取等，
，
当且仅当，即时取等，
∴，
当且仅当，即时取等，
故，选项D正确，
故选：BCD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为 5 ．
【解答】解：3∈{1，a，a﹣2}，
当a＝3时，那么：a﹣2＝1，不满足集合元素的互异性，不满足题意；
当a﹣2＝3时，a＝5，集合为{1，5，3}，满足题意．
∴实数a的值为5．
故答案为：5．
14．（5分）使命题“若，则m＜n”为假命题的一组m、n的值为m＝ 2（不唯一） ，n＝ ﹣1（不唯一） ．
【解答】解：因为“，则m＜n”为假命题，
所以“，则m≥n”为真命题，
当m＝2，n＝﹣1时，满足，且m＞n，
故答案为：2，﹣1（不唯一）．
15．（5分）若是单调函数，则实数a的取值范围为 [，+∞） ．
【解答】解：根据题意，若是单调函数，
则f（x）必为减函数，
则有，解可得：a，即a的取值范围为[，+∞）；
故答案为：[，+∞）．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x+1+m，若f（f（x））≥0恒成立，则实数m的最小值是 ．
【解答】解：设t＝f（x）＝（x+1）2+m≥m，
f（t）≥0对任意t≥m恒成立，即（t+1）2+m≥0对任意t∈[m，+∞）都成立，
当m≤﹣1时，f（t）min＝f（﹣1）＝m，即m≥0，不符合题，舍去，
当m＞﹣1时，f（t）min＝f（m）＝m2+3m+1，即m2+3m+1≥0，解得，
故实数m的最小值是．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，C＝{x|x＜a}．
（1）求A∩（∁UB）；
（2）若B∩（∁UC）＝∅，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，C＝{x|x＜a}．
∴∁UB＝{x|x≤1或x≥3}，
A∩（∁UB）＝（﹣2，1]∪[3，4）；
（2）∁UC＝{x|x≥a}，
∵B∩（∁UC）＝∅，∴a≥3，
∴实数a的取值范围是[3，+∞）．
18．（12分）已知函数，且f（1）＝3，f（2）＝5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性；
【解答】解：（1）∵，且f（1）＝3，f（2）＝5，
∴，∴，
则f（x）＝x2．
（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：
设1≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）（x1﹣x2）（x1+x2）（x1﹣x2）（x1+x2），
∵1≤x1＜x2，
∴x1x2＞1，x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，2，
∴x1+x20，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．
19．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b的值；
（2）当k∈[﹣1，3]时，不等式的解区间为[m，n]，求n﹣m的最小值和最大值．
【解答】解：（1）因为关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，则，解得a＝1，b＝2；
（2）由（1）可知a＝1，所以不等式化为：，
即，
，
方程两根为，
由韦达定理，，
所以，
又k∈[﹣1，3]，所以，
所以n﹣m的最小值为1，最大值．
20．（12分）已知幂函数f（x）的图像经过点（4，2）．
（1）求证：，其中x1，x2∈[0，+∞）；
（2）设g（x）＝f（ax+1），若“∀x∈[﹣1，1]，g（x）≤g（1）”是真命题，求实数a的取值范围．
【解答】证明：（1）由f（x）是幂函数可设f（x）＝xα，
将（4，2）代入可得f（4）＝4α＝2，解得a，
所以f（x），
当x1，x2∈[0，+∞），
所以f（），，
所以（）2﹣（）20，
所以f（），
解：（2）g（x）＝f（ax+1），
因为“∀x∈[﹣1，1]，g（x）≤g（1）”是真命题，
所以当x∈[﹣1，1]，g（x）max＝g（1），
当a＜0时，易得g（x）单调递减，此时g（x）max≠g（1），故舍去；
当a＝0时，g（x）＝1，满足“∀x∈[﹣1，1]，g（x）≤g（1）”；
当a＞0时，易得g（x）单调递减，此时只需，解得﹣1≤a≤1，所以0＜a≤1，
综上所述，实数a的取值范围{a|0≤a≤1}．
21．（12分）已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，对该种矿石加工时，有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石，在切割过程中的重量损耗忽略不计，但矿石的价值会损失．
（1）把一块该种矿石切割成重量比为x：1的两块矿石时，价值损失率为37.5%，求x的值；
（2）把一块该种矿石切割成两块矿石时，价值损失率最大值是多少？
（注：）
【解答】解：（1）由题知，不妨设稀有矿石的价值为ω，重量为m，ω＝km2，（m＞0），
由题知，两块矿石的重量为m•和m•，
因为价值损失率为37.5%，
即37.5%，
即，
故x＝3或x；
（2）由（1）知ω＝km2，（m＞0），不妨设切割成两块矿石时，一块重量为p，一块重量q，
根据公式价值损失率为50%，
当且仅当p＝q时价值损失率取得最大值，最大值为50%．
22．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，给定函数．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）已知函数g（x）同时满足：①g（x+1）﹣1是奇函数；②当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）x，
设f（x）的对称中心为（a，b），
由题意得函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，
则f（﹣x+a）﹣b＝﹣f（x+a）﹣b为奇函数，
则f（﹣x+a）﹣b＝﹣f（x+a）+b，
即（x+a）（﹣x+a）2b＝0，
整理得（a﹣b）x2﹣[（a﹣b）（a+1）2﹣6（a+1）]＝0，
∴a﹣b＝（a﹣b）（a+1）2﹣6（a+1）＝0，解得a＝﹣1，b＝﹣1，
∴函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1）．
（2）∵对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），
∴函数g（x）的值域是函数f（x）的值域的子集，
∵函数f（x）＝x在[1，5]上是增函数，
∴f（x）的值域为[﹣2，4]，
设函数g（x）的值域为集合A，
∵函数g（x+1）﹣1是奇函数，∴函数g（x）关于（1，1）对称，
∵g（1）＝1，∴函数g（x）恒过定点（1，1），
当，即m≤0，g（x）在[0，1]上递增，则函数g（x）在（1，2]上是增函数，
∴函数g（x）在[0，2]上递增，
又g（0）＝m，g（2）＝2﹣g（0）＝2﹣m，
∴g（x）的值域为[m，2﹣m]，即A＝[m，2﹣m]，
又A＝[m，2﹣m]⊆[﹣2，4]，
∴且m≤0，解得﹣2≤m≤0，
当0，即0＜m＜2时，g（x）在（0，）上递增，在（2，2）上递减，
∴此时g（x）min＝min{g（2），g（）}，g（x）max＝max{g（0），g（2）}，
要使A⊆[﹣2，4]，
只需要，解得0＜m＜2，
当，即m≥2时，g（x）在（0，1]上单调递减，
则函数g（x）在（1，2]上也是减函数，
∴函数g（x）在[0，2]上是减函数，则A＝[2﹣m，m]⊆[﹣2，4]，
∴，解得2≤m≤4．
综上所求，实数m的取值范围是[﹣2，4]．
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