2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．人口密度大的国家B．所有美丽的城市
C．地球上的四大洋D．优秀的高中生
2．（5分）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（ ）
A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等
B．锐角三角形的三个内角都相等
C．锐角三角形的三个内角都不相等
D．锐角三角形的三个内角不都相等
3．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝5﹣4x}，则A∩B＝（ ）
A．（1，1）B．{（1，1）}
C．（﹣1，﹣1）D．{（﹣1，﹣1），（1，1）}
4．（5分）设a，b，c为△ABC的三条边长，则“a＝b”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数的定义域为（ ）
A．[4，10]B．[0，6]
C．[4，5）∪（5，10]D．[0，5）∪（5，6]
6．（5分）的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
7．（5分）若为奇函数，则a＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（5分）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（1≤x≤20，x∈Z），则被租出的礼服会减少10x套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（ ）
A．220元B．240元C．250元D．280元
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题中，不正确的有（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．若x＞y，则x2＞y2
C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比
D．若m＞2，则方程x2﹣mx+1＝0有实根
（多选）10．（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．∁UB∩（AUC）B．∁U（（A∩B）∪（B∩C））
C．A∪（C∩∁UB）D．（A∩∁UB）∪（C∩∁UB）
（多选）11．（5分）若a＞0，b＞0，则下列判断正确的是（ ）
A．若a﹣b＝1，则
B．若a＞b，则a2b＞ab2
C．若，则
D．若，则（a﹣1）（7b﹣1）＝1
（多选）12．（5分）已知函数f（x）满足对任意x，y∈R，f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）+2f（y）恒成立，则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（3）＝9f（1）+1
C．64f（1）＝f（﹣8）
D．函数 f（x﹣3）的图象关于直线x＝3对称
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）用符号“∈”或“∉”填空：0 N； Q；2.4 Z； Q；4 Z．
14．（5分）比较大小： ；（填不等号）
15．（5分）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐．已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：
①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；
②只报名舞蹈的有36人；
③只报名声乐的有20人；
④报名两门课程的有14人．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16．（5分）设集合M＝[0，1），N＝[1，3]，函数f（x）已知a∈M，且f（f（a））∈M，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知n∈R，命题p：∃x∈R，x2﹣4x+n≤0，q：∀x∈R，x2﹣（n﹣3）x+1≥0．
（1）判断p，q是全称量词命题，还是存在量词命题；
（2）若p，q均为真命题，求n的取值范围．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+3}．
（1）当a＝﹣2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
19．（12分）已知a2+8b2＝4．
（1）若a与b均为正数，求ab的最大值；
（2）若a与b均为负数，求的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝﹣3x﹣6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝xf（x）在[0，3]上的值域．
21．（12分）某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且0＜x＜y，现有两种购买方案（0＜a＜b）；
方案一，流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个；
方案二，流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个．
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．
（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注：差值S＝较大值﹣较小值）．
22．（12分）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明．
（2）利用单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）若函数在[2，4]上是增函数，求a的取值范围．
2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．人口密度大的国家B．所有美丽的城市
C．地球上的四大洋D．优秀的高中生
【解答】解：由题意，选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合．
故选：C．
2．（5分）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（ ）
A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等
B．锐角三角形的三个内角都相等
C．锐角三角形的三个内角都不相等
D．锐角三角形的三个内角不都相等
【解答】解：根据题意，命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”为存在量词命题，
其否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．
故选：D．
3．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝5﹣4x}，则A∩B＝（ ）
A．（1，1）B．{（1，1）}
C．（﹣1，﹣1）D．{（﹣1，﹣1），（1，1）}
【解答】解：由，解得：，
故A∩B＝{（1，1）}．
故选：B．
4．（5分）设a，b，c为△ABC的三条边长，则“a＝b”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由题意，
充分性：若a＝b，则△ABC为等腰三角形．
必要性：若△ABC为等腰三角形，则a，b不一定相等．
故选：A．
5．（5分）已知函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数的定义域为（ ）
A．[4，10]B．[0，6]
C．[4，5）∪（5，10]D．[0，5）∪（5，6]
【解答】解：函数f（x）的定义域为[2，8]，
则，解得4≤x≤10且x≠5，
故函数的定义域为[4，5）∪（5，10]．
故选：C．
6．（5分）的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
【解答】解：因为，
当且仅当x2+1，即x2+1，即 时，等号成立，
所以 的最小值为．
故选：A．
7．（5分）若为奇函数，则a＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：根据题意，函数为奇函数，其定义域为{x|x≠0}，
则 f（x）+f（﹣x），
变形可得：a＝6．
故选：C．
8．（5分）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（1≤x≤20，x∈Z），则被租出的礼服会减少10x套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（ ）
A．220元B．240元C．250元D．280元
【解答】解：依题意，每天有300﹣10x套礼服被租出，
该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为
（300﹣10x）⋅（200+10x）＝﹣100x2+1000x+60000．
因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，
所以﹣100x2+1000x+60000＞62400，
即x2﹣10x+24＜0，解得4＜x＜6．因为1≤x≤20且x∈Z，所以x＝5，
即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元．
故选：C．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题中，不正确的有（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．若x＞y，则x2＞y2
C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比
D．若m＞2，则方程x2﹣mx+1＝0有实根
【解答】解：对于A，等腰梯形的对角线也可能垂直，故A错误；
对于B，当x＝﹣1，y＝﹣3时，x2＜y2，故B错误；
对于C，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，故C错误；
对于D，方程x2﹣mx+1＝0有实根，
则Δ＝m2﹣4≥0，解得m≥2或m≤﹣2，
故当m＞2，则方程x2﹣mx+1＝0有实根，故D正确．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．∁UB∩（AUC）B．∁U（（A∩B）∪（B∩C））
C．A∪（C∩∁UB）D．（A∩∁UB）∪（C∩∁UB）
【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：∁UB∩（AUC）或（A∩∁UB）∪（C∩∁UB）．
故选：AD．
（多选）11．（5分）若a＞0，b＞0，则下列判断正确的是（ ）
A．若a﹣b＝1，则
B．若a＞b，则a2b＞ab2
C．若，则
D．若，则（a﹣1）（7b﹣1）＝1
【解答】解：A：若a﹣b＝1，则a＝b+1＞b，，故A错误；
B：若a＞b，则a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＞0，故B正确；
C：若，则，，故C正确；
D：若．则，即a+7b＝7ab，得（a﹣1）（7b﹣1）＝7ab﹣a﹣7b+1＝1，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）满足对任意x，y∈R，f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）+2f（y）恒成立，则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（3）＝9f（1）+1
C．64f（1）＝f（﹣8）
D．函数 f（x﹣3）的图象关于直线x＝3对称
【解答】解：令x＝y＝0，得f（0）+f（0）＝2f（0）+2f（0），则f（0）＝0，A 正确；
令x＝y＝1，则f（2）＝4f（1），令x＝2，y＝1，得f（3）+f（1）＝2f（2）+2f（1），即 f（3）＝9f（1），B错误；
令x＝y＝2，得f（4）+f（0）＝4f（2）＝16f（1），
令x＝y＝4，得f（8）+f（0）＝4f（4）＝64f（1），
令x＝0，得f（y）+f（﹣y）＝2f（y），即f（y）＝f（﹣y），
所以f（8）＝f（﹣8），所以f（﹣8）＝64f（1），C正确；
由C的分析可知f（x）的图象关于y轴对称，
所以函数f（x﹣3）的图象关于直线x＝3对称，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）用符号“∈”或“∉”填空：0 ∈ N； ∈ Q；2.4 ∉ Z； ∉ Q；4 ∈ Z．
【解答】解：因为N是自然数集，Q是有理数集，Z是整数集，
所以0∈N， 2.4∉Z，∉Q，4∈Z．
故答案为：∈；∈；∉；∉；∈．
14．（5分）比较大小： ＜ ；（填不等号）
【解答】解：（）2﹣（2）2＝10+220＝210＝2（）＜0，
∴2，
故答案为：＜．
15．（5分）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐．已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：
①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；
②只报名舞蹈的有36人；
③只报名声乐的有20人；
④报名两门课程的有14人．
其中，所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【解答】解：如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，
则45+26+33﹣90＝5+8+x，解得x＝1，
所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，
只报名舞蹈的有45﹣8﹣1＝36人，只报名声乐的有33﹣8﹣5＝20人，
报名两门课程的有8+5+1＝14人．
故答案为：②③④．
16．（5分）设集合M＝[0，1），N＝[1，3]，函数f（x）已知a∈M，且f（f（a））∈M，则a的取值范围为 （，] ．
【解答】解：因为a∈M，所以f（a）＝2a+1∈[1，3），
则f（f（a））＝6﹣3（2a+1）＝3﹣6a，
由f（f（a））∈M，可得0≤3﹣6a＜1，
解得．
故答案为：（，]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知n∈R，命题p：∃x∈R，x2﹣4x+n≤0，q：∀x∈R，x2﹣（n﹣3）x+1≥0．
（1）判断p，q是全称量词命题，还是存在量词命题；
（2）若p，q均为真命题，求n的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，命题p：∃x∈R，x2﹣4x+n≤0，
符号“∃”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词，
所以p是存在量词命题，
q：∀x∈R，x2﹣（n﹣3）x+1≥0，
因为符号“V”表示“所有”，“所有”是全称量词，
所以q是全称量词命题；
（2）对于命题p，若∃x∈R，x2﹣4x+n≤0，则 Δ1＝16﹣4n≥0，解得n≤4，
对于q：∀x∈R，x2﹣（n﹣3）x+1≥0，则，
解得1≤n≤5，
因为p，q均为真命题，所以n的取值范围为[1，4]．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+3}．
（1）当a＝﹣2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，
a＝﹣2时，B＝{x|﹣3＜x＜1}，
所以A∪B＝{x|﹣3＜x＜4}．
（2）因为A∩B＝B，所以B⊆A，
则，解得﹣1≤a≤1，
所以a的取值范围是{a|﹣1≤a≤1}．
19．（12分）已知a2+8b2＝4．
（1）若a与b均为正数，求ab的最大值；
（2）若a与b均为负数，求的最小值．
【解答】解：（1）因为a与b均为正数，
所以由基本不等式可得：，
当且仅当a2＝8b2，即 时，等号成立，
所以，
所以ab的最大值为．
（2）因为a与b均为负数，
所以a2＞0，b2＞0，
所以，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以 的最小值为．
20．（12分）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝﹣3x﹣6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝xf（x）在[0，3]上的值域．
【解答】解：（1）由 f（x）+2f（﹣x）＝﹣3x﹣6，
可得f（﹣x）+2f（x）＝3x﹣6，
通过消元可得f（x）＝3x﹣2；
（2）由题意可得g（x）＝xf（x）＝3x2﹣2x，
因为g（x）的图象的对称轴为，
所以，g（x）max＝g（3）＝3×9﹣2×3＝21，
所以g（x）在[0，3]上的值域为．
21．（12分）某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且0＜x＜y，现有两种购买方案（0＜a＜b）；
方案一，流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个；
方案二，流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个．
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．
（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注：差值S＝较大值﹣较小值）．
【解答】解：（1）方案一的总费用为S1＝ax+by（元），方案二的总费用为S2＝ay+bx（元），
则S2﹣S1＝ay+bx﹣（ax+by）＝a（y﹣x）+b（x﹣y）＝（y﹣x）（a﹣b），
因为x＜y，a＜b，所以（y﹣x）（a﹣b）＜0，即S2＜S1，
所以采用方案二花费更少．
（2）由（1）可知，，
令，x＝2+6，x﹣4、x﹣6＝2+6﹣4t＝（t﹣2）2+2≥2，
因为a＞6，所以，
所以差值S的最小值为2×16＝32，
当且仅当t＝2，x＝10，y＝12，，即a＝7，b＝23时，等号成立，
故两种方案花费的差值S的最小值为32元．
22．（12分）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明．
（2）利用单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）若函数在[2，4]上是增函数，求a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，函数，是奇函数，
证明：由题意可知f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
因为 ，
所以f（x）是奇函数．
（2）证明：设∀x1，x2∈（0，+∞），且 x1＜x2，
则
，
因为 0＜x1＜x2，所以 x1﹣x2＜0，，
所以 ，即 f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）由题意可得 ，
当，即 时，g（x）在[2，4]上是增函数，
当，即 时，，设方程 g（x）＝0 的两根为 x1，x2，且 x1＜x2，
则g（x）在 ，[x2，+∞） 上是增函数．
令 h（x）＝ax2﹣2x+2，则有4，解可得；
综上所述，a的取值范围为 ．
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