广东省潮州市潮安区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省潮州市潮安区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共39页。
（满分120分，时间120分钟）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．1.5，2，3D．9，12，15
3．（3分）（）3的计算结果是（ ）
A．3B．3C．9D．27
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝B．2+＝2C．（2）2＝12D．÷＝2
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接AC、BD相交于点O，若AC＝10，则BD的长为（ ）
A．5B．10C．20D．不确定
6．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．1.5D．2.5
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．若a＝b，则a2＝b2
C．在同一个三角形中，等边对等角
D．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形
9．（3分）如图所示，在▱ABCD中，∠C＝120°，延长BA至点E，延长DA至点F，连接EF，则∠E+∠F的度数为（ ）
A．120°B．30°C．50°D．60°
10．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论中正确的有（ ）
①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝AB；④∠AOE＝135°；⑤S△AOE＝S△BOE．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
14．（4分）如图，四边形ODBC是正方形，以点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴的负半轴于点A，则点A表示的数是 ．
15．（4分）有一根长为51cm的细木棍和一个长、宽、高分别为16cm，12cm，48cm的长方体盒子，你认为该细木棍能完全放进此盒子中吗？ ．（填“能”或“不能”）
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝3，则CD＝ ．
17．（4分）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（6分）如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC．
21．（8分）已知：x＝2+，y＝2﹣．
（1）求代数式：x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
22．（8分）如图，在长力形纸片ABCD中，AB＝18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点正处，AE交DC于点F，若AF＝13，连接DE．
（1）AD的长为 ；
（2）求△DEF的面积；
（3）试问DE与AC的位置关系，并说明理由．
23．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB＝6，AC＝8，求菱形ADCF的面积．
24．（10分）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；
（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
2． 解：∵32+42＝52，
∴A可以；
∵，
∴B可以；
∵1.52+22≠32，
∴C不能；
∵92+122＝152，
∴D可以，
故选：C．
3． 解：（）3＝3，
故选：A．
4． 解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、2与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝12，所以C选项正确；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：C．
5． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
又∵AC＝10，
∴BD＝AC＝10，
故选：B．
6． 解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB＝90°，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
7． 解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意；
故选：B．
8． 解：A、相等的角是对顶角．如等腰梯形的两个底角，故错误；
B、若a2＝b2，则a＝b．如互为相反数的两个数，故错误；
C、等角对等边，正确；
D、若三角形是直角三角形，则其三个内角之比为1：2：3．如10°，80°，90°，故错误．
故选：C．
9． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠FAD＝∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，
∴∠E+∠F＝∠FAD＝60°．
故选：D．
10． 解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③正确；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④正确；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤错误；
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：原式＝﹣＝2﹣＝．
12． 解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，
故x的取值范围是x≤3．
故答案为：x≤3．
13． 解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝4，
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：1.5
14． 解：由题意知，OC＝BC＝2，
∴OB＝OA＝＝2，
∴A点表示的数为﹣2，
故答案为：﹣2．
15． 解：如图，由题意知：盒子底面对角长为＝20（cm），
盒子的对角线长：＝52（cm），
∵52＞51，
∴该细木棍能完全放进此盒子中，
故答案为：能．
16． 解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝3，
∴，
故答案为：1.5．
17． 解：如图，连接MN，作ME⊥AC，交AD于点E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，
∵点M、N分别是菱形ABCD的边AB、BC的中点，且两条对角线分别长6和8，
∴BN＝BM＝AM，MN＝AC＝×8＝4，
∵ME⊥AC，交AD于点E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB，EN∥AB，
已知两条对角线分别长6和8，且对角线互相垂直，
由勾股定理可得：AB＝＝5，
∴EN＝AB＝5，
∴PM+PN的最小值为5，
∵MN不变，当PM+PN取最小值时，△PMN的周长最小，
∴△PMN周长的最小值为：5+4＝9．
故答案为：9．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝
＝
＝7﹣4．
19． 证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
20． 证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF
∵E是AC中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
∴BD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥CB，DE＝BC．
21． 解：（1）∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4，xy＝4﹣2＝2，
∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝16+2＝18．
（2）S菱形ABCD＝xy＝（2+）（2﹣）＝1
22． 解：（1）由折叠得：∠EAC＝∠BAC，AE＝AB＝18，
∵四边形ABCD为长方形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴FC＝AF＝13，
∵AB＝18，AF＝13，
∴EF＝18﹣13＝5，
∵∠E＝∠B＝90°，
∴EC＝＝12，
∵AD＝BC＝EC，
∴AD＝12，
故答案为：12；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，
由折叠性质知，CE＝BC＝AD＝12，AE＝AB＝18，∠CEF＝∠B＝90°，
∴EF＝AE﹣AF＝A8﹣13＝5，
∵，
∴EM＝，
∴；
（3）DE∥AC，理由如下：
∵DF＝EF＝5，AF＝CF，
∴∠FDE＝∠FED，∠FAC＝∠FCA，
∵∠DFE＝∠CFA，∠DFE+∠EDF+∠FED＝∠AFC+∠FAC+∠FCA＝180°，
∴∠FDE＝∠FCA，
∴DE∥AC．
23． （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：如图，由（1）知，△AFE≌△DBE，
∴AF＝DB，
∵AD为BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24．
24． 解：（1）AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝，
故答案为：5；；；；
（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1＝5．
25． 解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（2）∵BE⊥CG，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折叠得，BC＝CG＝25，
在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
∴＝．
（3）如图，连接FG，
∵BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
∵BP＝PG，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF，
∵BE•EF＝108，AB＝12，
∴GF＝9，
∴BP＝GF＝9．