博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知,,若,则( )
A.0B.1C.D.
2、已知函数,,则的最大值为( ).
A.B.C.D.1
3、已知点是角终边上一点,则( )
A.B.C.D.
4、已知平面向量,,则向量的模是( )
A.B.C.D.5
5、已知球O是正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的外接球,,,点E在线段BD上,且.过点E作球O的截面,则所得截面面积的最小值是( )
A.B.C.D.
6、某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是,则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为( )
A.B.C.D.
7、如图所示,在直二面角中,四边形ABCD是边长为2的正方形,是等腰直角三角形,其中,则点D到平面ACE的距离为( )
A.B.C.D.
8、已知点,,若直线与线段AB有交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、（,i是虚数单位,e是自然对数的底）称为欧拉公式,被称为世界上最完美的公式,在复分析领域内占重要地位,它将三角函数与复数指数函数相关联.根据欧拉公式,下列说法正确的是( )
A.对任意的,
B.在复平面内对应的点在第一象限
C.
D.
10、已知3是函数的一个零点,则( )
A.B.C.D.
11、若,是直线l上的两点,则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A.B.C.D.
12、已知椭圆C的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆C交于A,B两点.下列椭圆的方程中,能使得为正三角形的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、已知i是虚数单位,化简的结果为__________.
14、在梯形ABCD中,,,M为AC的中点,将沿直线AC翻折成,当三棱锥的体积最大时,过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
15、在空间直角坐标系中,已知平面过点,及z轴上一点,如果平面与平面xOy所成的角为,则_________.
16、已知直线和圆相交于A,B两点.若,则r的值为__________.
四、解答题
17、已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x,不等式恒成立,求实数m的取值范围；
（2）若对于,不等式恒成立,求实数x的取值范围.
18、回答下列问题
（1）求函数,的最小值；
（2）求函数在上的最大值.
19、如图,在正方体中,求证：
（1）平面；
（2）与平面的交点H是的重心.
20、如图1,在平面图形ABCDE中,,,,,沿BD将折起,使点C到F的位置,且,,如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M,使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在,求出GM的长；若不存在,请说明理由.
21、已知两条直线和,求满足下列条件的a,b的值.
（1）且过点；
（2）,且原点到这两条直线的距离相等.
22、已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求C的方程：
（2）点M,N在C上,且,,D为垂足.证明：存在定点Q,使得为定值.
参考答案
1、答案：C
解析：因为,所以或解得或或又集合中的元素需满足互异性,所以则.
2、答案：A
解析：.
3、答案：D
解析：依题意点P的坐标为,,；
故选：D.
4、答案：A
解析：向量,,向量,.
5、答案：A
解析：如图,是A在底面的射影,由正弦定理得,的外接圆半径,
由勾股定理得棱锥的高,
设球O的半径为R,则,
解得,所以,
在中,由余弦定理得,
所以,所以在中,,
当截面垂直于OE时,截面面积最小,此时半径为,截面面积为.
故选：A.
6、答案：D
解析：汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A,B,C,则,,
汽车在三处遇两次绿灯的事件M,则,且,,互斥,而事件A,B,C相互独立,
则,
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D.
7、答案：B
解析：取AB的中点O,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,所以,,.设平面ACE的一个法向量为,则即令,
则,故点D到平面ACE的距离.
8、答案：C
解析：根据题意,若直线与线段AB相交,
则A、B在直线的异侧或在直线上,则有,
即,解得或,即k的取值范围是.
故选C.
9、答案：ABD
解析：对于A选项,,正确；
对于B选项,,而,,
故在复平面内对应的点在第一象限,正确；
对于C选项,,错误；
对于D选项,
,正确.
故选：ABD.
10、答案：BD
解析：本题考查零点概念及函数求值运算.当时,代入函数可得,可得,则,.
11、答案：AC
解析：由题意得,,结合选项知A,C正确,B,D错误.
12、答案：BD
解析：设椭圆,.由题意知,易得,
又,,故,显然BD选项正确.
13、答案：
解析：.
14、答案：
解析：由题得,因为,,,
因为,,所以M是外接圆的圆心,外接圆的半径为,
当三棱锥的体积最大时,由于底面的面积是定值,所以此时到底面ABC的高最大,
即此时平面平面ABC,即平面ABC,
如图,设球心为O,在平面内作,垂足为M,因为,所以,所以平面ABC,
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆,所以截面面积的最小值为.
15、答案：
解析：由题意得,,平面xOy的一个法向量为.设平面的一个法向量为,则即取,
则.,且,.
16、答案：5
解析：因为圆心到直线的距离,
由可得,解得.
故答案为：5.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）不等式变形为,
即,
因为对任意实数x,不等式恒成立,
所以,解得,
所以实数m的取值范围是.
（2）不等式变形为,即.
当,即时,,
则,即,解得,
故且.
当,即时,原不等式恒成立.
当,即时,,
则,即,解得,
故且.
综上,实数x的取值范围是.
18、答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）,其图象是开口向上、对称轴为直线的抛物线.
①若,则在上是增函数,所以；
②若,则；
③若,则在上是减函数,所以的最小值不存在.
（2）,其中.
①当时,,；
②当时,,.
19、答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）如图所示,连接BD,,则.
平面,
.
又,
平面.
平面,
,同理.
,
平面.
（2）连接,CH,,由,得,
因此点H为的外心.
又为正三角形,
点H是的重心.
20、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为,所以,
又,所以.
因为,,
所以四边形ABDE为等腰梯形,
又,所以,
所以,所以,即,
因为,,平面AEG,所以平面AEG,
又平面GEBF,所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA,EB,EG两两互相垂直.
以E为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,四边形GEBF是矩形,所以,
即,,.
假设线段FG上存在点M满足题意,
令,则,,.
设平面MAB的一个法向量为,
则令,则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为,
则,,
所以,所以,即.
综上,线段FG上存在点M,使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为,且.
21、答案：(1),
(2)或
解析：（1）,.①
又过点,.②
由①②得,.
（2）的斜率存在,,直线的斜率存在.
,即.③
原点到这两条直线的距离相等,
,在y轴上的截距互为相反数,即.④
由③④得或
经检验,此时的与不重合,
故所求值为或
22、答案：(1)
(2)存在点,使得为定值
解析：（1）由题意可得：,解得：,,
故椭圆方程为：.
（2）设点,,
若直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为：,
代入椭圆方程消去y并整理得：,
可得,,
因为,所以,即,
根据,
代入整理可得：,
所以,
整理化简得,
因为不在直线MN上,所以,
故,,
于是MN的方程为,
所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时,可得,
由得：,
得,结合可得：,
解得：或（舍）.
此时直线MN过点.
令Q为AP的中点,即,
若D与p不重合,则由题设知AP是的斜边,
故,
若D与p重合,则,
故存在点,使得为定值.