专题5.2 期中期末专项复习之整式的加减十七大必考点-七年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题5.2 整式的加减十七大必考点
【人教版】


【考点1 代数式的定义及书写规范】 1
【考点2 单项式、多项式、整式的判断】 3
【考点3 单项式的系数、次数】 5
【考点4 多项式的项、项数、次数】 6
【考点5 多项式的系数、指数中字母求值】 8
【考点6 单项式的变化规律】 10
【考点7 同类项的判断】 14
【考点8 已知同类项求字母的值】 15
【考点9 合并同类项】 17
【考点10 去括号、添括号】 18
【考点11 整式的加减运算】 20
【考点12 整式加减中化简求值】 23
【考点13 整式加减中无关性问题】 26
【考点14 整式加减中错看问题】 29
【考点15 整式的加减（数字的变化类）】 32
【考点16 整式的加减（图形的变化类）】 36
【考点17 整式加减的应用】 40


【考点1 代数式的定义及书写规范】
【例1】（2022·全国·七年级专题练习）下列式子a3+b,S=ab,0,d,8+y,m+1=2,25>27中，代数式有（    ）．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】利用代数式的定义分别分析进而得出答案．
【详解】解：代数式有：a3+b,0,d,8+y共有4个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题的关键．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．
【变式1-1】（2022·全国·七年级专题练习）下列各式符合代数式书写规范的是（　　）
A．m×6 B．n3 C．x﹣7元 D．234xy2
【答案】B
【分析】根据代数式的书写要求判断各项：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．
【详解】解：A、不符合书写要求，应为6m，故此选项不符合题意；
B、n3符合书写要求，故此选项符合题意；
C、不符合书写要求，应为（x﹣7）元，故此选项不符合题意；
D、不符合书写要求，应为114xy2，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求，解题的关键是掌握代数式的书写要求．
【变式1-2】（2022·全国·七年级课时练习）下列各式中不是代数式的是（    ）
A．−557 B．3x−2y−1 C．ab=ba D．5v
【答案】C
【分析】代数式是指把数或表示数的字母用＋、−、×、÷等运算符号连接起来的式子，而对于带有＝、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．由此可得ab＝ba不是代数式．
【详解】A．−557是一个数字，属于代数式，不符合题意；
B．3x−2y−1是一个代数式，不符合题意；
C．ab=ba是一个等式，不是代数式，符合题意：
D．sv是代数式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了代数式的定义，只要根据代数式的定义进行判断，就能熟练解决此类问题，注意代数式不含等号，也不含不等号．
【变式1-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（    ）
A．若一个两位数中的十位数字和个位数字分别为4和m，则4m表示这个两位数
B．若正方形的边长为m厘米，则4m表示这个正方形的周长（单位：厘米）
C．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额（单位：元）
D．若一辆汽车行驶的速度是m千米/小时，则4m表示该汽车4小时行驶的路程（单位：千米）
【答案】A
【分析】根据两位数的表示=十位数字×10+个位数字；正方形周长=边长×4；金额=单价×重量；路程=速度×时间进行分析即可．
【详解】解：A、若一个两位数中的十位数字和个位数字分别为4和m，则（4×10+m）表示这个两位数，原说法不正确，故此选项符合题意；
B、若正方形的边长为m厘米，则4m表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、若一辆汽车行驶的速度是m千米/小时，则4m表示该汽车4小时行驶的路程，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．
【考点2 单项式、多项式、整式的判断】
【例2】（2022·上海民办行知二中实验学校七年级阶段练习）在代数式①x2y；②a2−ab+1b;③3n，④12x+1中，下列判断正确的是（  ）
A．①③是单项式 B．②是二次三项式 C．②④是多项式 D．①④是整式
【答案】D
【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解题即可．
【详解】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式；
选项A、B、C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式、单项式以及整式的概念，解题时牢记概念是关键．
【变式2-1】（2022·重庆万州·七年级期末）在式子−4x2y，0，a+1a，−2a+3b，x+12中，整式有____个．
【答案】4
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．
【详解】解：在式子−4x2y，0，a+1a，−2a+3b，x+12中，整式有：−4x2y，0，，−2a+3b，x+12共4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键.
【变式2-2】（2022·全国·七年级课时练习）在代数式①x+12、②a+b−c、③7、 ④ab、⑤x2+1x+1中，单项式有_____________，多项式有_____________．（只填序号）
【答案】     ③④     ①②
【分析】根据单项式和多项式的定义分析，即可得到答案．
【详解】在代数式①x+12、②a+b−c、③7、 ④ab、⑤x2+1x+1中，
单项式有：③④
多项式有：①②
x2+1x+1不属于整式；
故答案为：③④，①②．
【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义，从而完成求解.
【变式2-3】（2022·全国·七年级课时练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①a2b+ab2+b3；②a+b2；③−xy23；④0；⑤−x+y3；⑥2xya；⑦3x2+2y；⑧2x；⑨x2．
（1）单项式：_______________；
（2）多项式：_______________；
（3）整式：_________________；
（4）二项式：_______________．
【答案】     ③④⑨     ①②⑤     ①②③④⑤⑨     ②⑤
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）单项式有：③−xy23，④0，⑨x2；
（2）多项式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，⑤−x+y3；
（3）整式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，③−xy23，④0，⑤−x+y3，⑨x2；
（4）二项式有：②a+b2，⑤−x+y3；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义．
【考点3 单项式的系数、次数】
【例3】（2022·全国·七年级课时练习）单项式−2πx3y2z5的系数和次数分别是（    ）
A．−25，7 B．2π5，6 C．−2π5，6 D．−2π5，5
【答案】C
【分析】直接利用单项式的系数与次数定义得出答案．
【详解】解：单项式−2πx3y2z5的系数和次数分别是−2π5，6，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的相关定义是解题关键．
【变式3-1】（2022·广东云浮·七年级期末）写出系数为-1，含有字母x、y的四次单项式___________．
【答案】−x3y
【分析】根据给出的条件写出符合的四次单项式即可．
【详解】解：系数为-1，含有字母x、y的四次单项式为：−x3y．
故答案为：−x3y．
【点睛】本题主要考察了根据条件写出符合的单项式，解题的关键是熟练掌握单项式的有关概念．
【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法中正确的是（    ）
A．单项式−5xy2的系数是-5，次数是2 B．单项式m的次数是0
C．单项式−32xy的系数是−32，次数是2 D．ab−12是二次单项式
【答案】C
【分析】根据单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、单项式−5xy2的系数是-5，次数是3，故A选项不符合题意；
B、单项式m的次数是1，故B选项不符合题意；
C、单项式−32xy的系数是−32，次数是2，故C选项符合题意；
D、ab−12是多项式，故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式．
【变式3-3】（2022·全国·七年级课时练习）单项式−3ab28的系数为m，次数为n，则8mn的值为____．
【答案】−9
【分析】先判断单项式−3ab28的系数与次数，然后计算8mn即可．
【详解】解：∵单项式−3ab28的系数为−38，次数为3，
∴m=−38，n=3
8mn=8×(−38)×3=−9
故答案为：−9
【点睛】本题考查单项式的概念，掌握单项式的定义，会判断单项式的系数与次数的是解题的关键．
【考点4 多项式的项、项数、次数】
【例4】（2022·湖北武汉·七年级期中）多项式−x3y2+xy−2的常数项_______，它的项数是_______，它的次数是______．
【答案】     -2     3     5
【分析】根据多项式的相关定义进行解答即可．
【详解】多项式−x3y2+xy−2的常数项−2，它的项数是3项，它的次数是5次．
故答案为：−2；3；5．
【点睛】此题考查了多项式的常数项、项的个数、多项式的次数，掌握多项式的相关定义相关概念是解题的关键．
【变式4-1】（2022·河北邢台·七年级期末）在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（　　）
A．a2﹣3 B．a3+2ab﹣1 C．4a3﹣b D．4a2﹣3b+2
【答案】C
【分析】根据多项式的次数和项数即可得出答案．
【详解】解：A选项是二次二项式，故该选项不符合题意；
B选项是三次三项式，故该选项不符合题意；
C选项是三次二项式，故该选项符合题意；
D选项是二次三项式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【变式4-2】（2022·广东·珠海市湾仔中学七年级期中）下列说法正确的是（　　）
A．多项式2a2b−a2b﹣ab的项数及次数分别是3，2
B．5xy27系数是57，次数是2次
C．多项式x3﹣x2+5x﹣1的项是x3，x2，5x，﹣1
D．4x2−y2π是整式
【答案】D
【分析】根据多项式的项数和次数判断A选项；根据单项式的系数和次数判断B选项；根据多项式的项判断C选项；根据整式的定义判断D选项．
【详解】解：A，多项式2a2b−a2b﹣ab的项数及次数分别是3，3，故该选项不符合题意；
B，5xy27系数是57，次数是3次，故该选项不符合题意；
C，多项式x3−x2+5x−1的项是x3，−x2，5x，﹣1，故该选项不符合题意；
D，4x2−y2π的分母π是数字，属于整式，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的项数和次数，单项式的系数和次数，整式的定义，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
【变式4-3】（2022·广东东莞·七年级期中）对于多项式3x2−34x4y−1.3+2xy2，分别回答下列问题：
(1)是几项式；
(2)写出它的各项；
(3)写出它的最高次项；
(4)写出最高次项的次数；
(5)写出多项式的次数；
(6)写出常数项．
【答案】(1)四项式
(2)3x2，−34x4y，−1.3，2xy2
(3)−34x4y
(4)5次
(5)5次
(6)﹣1.3

【分析】（1）根据多项式的定义解决此题；
（2）根据多项式的各项的定义解决此题；
（3）根据多项式的最高次项的定义解决此题；
（4）根据多项式的最高次项次数的定义解决此题；
（5）根据多项式次数的定义解决此题；
（6）根据常数项的定义解决此题．
（1）
解：3x2−34x4y−1.3+2xy2是四项式；
（2）
解：3x2−34x4y−1.3+2xy2的各项分别为3x2，−34x4y，−1.3，2xy2；
（3）
解：3x2−34x4y−1.3+2xy2的最高次项为−34x4y；
（4）
解：多项式3x2−34x4y−1.3+2xy2的最高此项的次数为5次；
（5）
解：多项式3x2−34x4y−1.3+2xy2的次数为5次；
（6）
解：多项式3x2−34x4y−1.3+2xy2的常数项为−1.3．
【点睛】本题主要考查多项式，熟练掌握几个单项式的和，叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项，叫做常数项．一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数是解决本题的关键．
【考点5 多项式的系数、指数中字母求值】
【例5】（2022·全国·七年级课时练习）关于x、y的多项式−8x|m+1|y−m2−4xy|m|+m+3是四次二项式，则m=________．
【答案】2或−3
【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵关于x、y的多项式−8x|m+1|y−m2−4xy|m|+m+3是四次二项式，
∴当m2−4=0，|m+1|=3时，
∴m=2；
当m+3=0时，m=-3，原多项式为−8x|−3+1|y−[(−3)2−4]xy|−3|=−8x2y−5xy3，
综上所述，m的值为2或−3．
故答案为：2或−3．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m的值是解题关键．
【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝_______．
【答案】3或﹣1
【分析】用多项式的次数求出m，n
【详解】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴ n﹣1＝0，1+|m﹣n|＝3，
∴ n＝1，|m﹣n|＝2，
∴ m﹣n＝2或n﹣m＝2，
∴ m＝3或m＝﹣1，
∴ mn＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点睛】本题考查了多项式的次数，去绝对值运算，用次数建立等量关系是解题关键 ．
【变式5-2】（2022·全国·七年级课时练习）多项式12xm−m−2x+6是关于x的二次三项式，则m的值是____．
【答案】-2
【分析】根据多项式的次数和项数的条件列式计算即可；
【详解】∵12xm−m−2x+6是关于x的二次三项式，
∴m=2，m−2≠0，
∴m=−2；
故答案是：−2．
【点睛】本题主要考查了多项式的次数、项数，结合绝对值的性质计算是解题的关键．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）xn−1y+(3−n)xyn−2−nxn−3y+4xn−4y3−mx2yn−4+(n−3)是关于x与y的五次三项式，则−mn5=___________；
【答案】1
【分析】由于原式是关于x与y的五次三项式，所以最高次数为5，再算出各个单项式的系数，最高为n，得出n=5，再代入原式化简，因为原式是三项式，所以多出的项−m+5x2y为0，即m+5=0，最后将m和n代入求值即可．
【详解】原式中xn−1y的次数为n，(3−n)xyn−2的次数为n-1，−nxn−3y的次数为n-2，4xn−4y3的次数为n-1，−mx2yn−4的次数为n-2，
由于原式是关于x与y的五次三项式，而最高次数为n，
∴n=5，
代入原式得：
x4y−2xy3−5x2y+4xy3−mx2y+2，
合并同类项得：x4y+2xy3−m+5x2y+2，
∵原式是关于x与y的五次三项式，
∴−m+5x2y的系数为0，即m+5=0，
∴m=−5，
∴−mn5=−−555=15=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于多项式定义的参数问题，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．
【考点6 单项式的变化规律】
【例6】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）观察下列单项式：2x，5x2，10x3，17x4，26x5，…，按此规律，第10个单项式是_____．
【答案】101x10
【分析】分析题中每个单项式，系数为（n2+1），含未知数的部分为：xn，则第n项应为：（n2+1）xn．
【详解】解：所给单项式分别是2x，5x2，10x3，17x4，26x5，…，
则第n个单项式为：（n2+1）xn．
故第10个单项式为：（102+1）x10＝101x10．
故答案为：101x10．
【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是发现所给单项式的系数和次数规律，从而解答问题．
【变式6-1】（2022·辽宁·抚顺市顺城区长春学校七年级期中）观察下列一串单项式的特点：xy ，−3x2y ，5x3y ，−7x4y ，9x5y ，…
（1）写出第10个和第2020个单项式．
（2）写出第n个单项式．
【答案】（1）﹣19x10y，﹣4039x2020y；（2）(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．
【分析】（1）通过观察题意可得：10为偶数，单项式的系数为负数，是﹣19，x的指数为10，y的指数不变，还是1，由此可得出第10个单项式，同理第2020个单项式也可由此得出；
（2）通过观察题意可得：n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数．系数的数字部分是连续的奇数，可用2n﹣1来表示，第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1，由此可解出本题．
【详解】解：（1）∵当n＝1时，xy，
当n＝2时，﹣3x2y，
当n＝3时，5x3y，
当n＝4时，﹣7x4y，
当n＝5时，9x5y，
∴第10个单项式是﹣(2×10﹣1) x10y，即﹣19x10y．
第2020个单项式是﹣(2×2020﹣1) x2020y，即﹣4039x2020y．
故答案为：﹣19x10y，﹣4039x2020y．
（2）∵n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数．
∴符合可用(﹣1)n+1表示，
∵系数的数字部分是连续的奇数，
∴可用2n﹣1来表示，
又∵第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1，
∴第n个单项式可表示为(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．
故答案为：(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．
【变式6-2】（2022·河南周口·七年级期中）（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是______；
（2）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_______，根据此规律，如果用an（n为正整数）表示这列数的第n项，那么an＝_____．
（3）观察下面的一列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，…根据你发现的规律，第7个单项式为______，第n个单项式为______．
【答案】（1）3；（2）2，2n；（3）14x7，（－1）n+12nxn
【分析】（1）观察不难发现，每4个数为一个循环组，个位数字依次循环，用2021÷4，根据商和余数的情况确定答案即可；
（2）根据各数据得到第二项开始，每一项与前一项之比是2，则可得到第n项为2n；
（3）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律，本题中，奇数项符号为正，数字变化规律是2n，字母变化规律是xn．
【详解】解：（1）个位数字分别以3、9、7、1依次循环，
∵2021÷4=505……1，
∴32021的个位数字与循环组的第1个数的个位数字相同，是3，
故答案为：3；
（2）根据所给的数据可得：从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，
∵a1=2，a2=22，a3=23，a4=24，…，
∴an=2n，
故答案为：2，2n；
（3）由题意可知，奇数项符号为正，数字变化规律是2n，字母变化规律是xn，
∴第7个单项式为14x7，第n个单项式为（－1）n+12nxn，
故答案为：14x7，（－1）n+12nxn．
【点睛】本题考查了数字类的变化规律探究，解题关键是认真观察，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）观察下面的三行单项式：
x,2x2,4x3,8x4,16x5,32x6……①
−2x,4x2,−8x3,16x4,−32x5,64x6……②
2x2,−3x3,5x4,−9x5,17x6,−33x7……③
（1）根据你发现的规律，第①行第8个单项式为__________．
（2）第②行第8个单项式为_________．第③行第8个单项式为_________．
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当x=12时512A+14的值．
【答案】（1）128x8；（2）256x8；−129x9；（3）12．
【分析】（1）根据题目中各项的变化情况规律可得，每一项的系数等于2n−1，x的次数等于项数，根据所得的规律求解即可；
（2）根据题目中各项的变化情况规律可得，第②行的规律为每一项的系数等于−1n2n，x的次数等于项数，根据所得的规律求解即可，第③行的规律为每一项的系数等于−1n−12n−1+1，x的次数为项数加1，根据所得的规律求解即可；
（3）根据前面找到的规律把A表示出来，列代数式代入求解即可．
【详解】解：（1）∵x,2x2,4x3,8x4,16x5,32x6……①，
∴可得规律为：每一项的系数等于2n−1，x的次数等于项数，
∴第①行第8个单项式为128x8；
（2）∵−2x,4x2,−8x3,16x4,−32x5,64x6……②，
∴可得规律为：每一项的系数等于−1n2n，x的次数等于项数，
∴第②行第8个单项式为256x8；
∵2x2,−3x3,5x4,−9x5,17x6,−33x7……③，
∴可得规律为：每一项的系数等于−1n−12n−1+1，x的次数为项数加1，
∴第③行第8个单项式为−129x9；
（3）根据题意得，
A=28x9+(−29)x9+(−1)8(28+1)x10，
当x=12时，
A=28×(12)9+(−29)×(12)9+(−1)8×(28+1)×(12)10
=12−1+14+1210
=1210−14，
所以512(A+14)=29×(1210−14+14)=12，
答：512(A+14)的值为12．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，代数式求值，解题的关键是找到单项式的系数和次数的规律．
【考点7 同类项的判断】
【例7】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）在下列单项式中，与3xy是同类项的是（    ）
A．3x2y B．2y C．xy D．4x
【答案】C
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）即可作出判断．
【详解】解：A．3x2y与3xy所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
B．2y与3xy所含字母不尽相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．xy与3xy所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意；
D．4x与3xy所含字母不尽相同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是熟练运用同类项的定义．
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A． 3a2b与−2ba2 B．32m3与23m2
C．−xy与2x2y D． −ab2与2abc
【答案】A
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同判断即可．
【详解】解：A．3a2b与-2ba2是同类项，故A符合题意；
B．32m3与23m2相同字母的指数不相同，不是同类项，故B不符合题意；
C．-xy与2x2y相同字母的指数不相同，不是同类项，故C不符合题意；
D．−ab2与2abc所含字母不同，不是同类项，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
【变式7-2】（2022·全国·七年级）写出2xyz3的一个同类项：_____________．
【答案】−5xyz3（答案不唯一）
【分析】根据同类项的定义分析，即可得到答案．
【详解】2xyz3的一个同类项为：−5xyz3
故答案为：−5xyz3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解题的关键是熟练掌握同类项的定义，从而完成求解．
【变式7-3】（2022·江苏徐州·七年级期中）有下列四对单项式：
（1）a2b与ab2；（2）−2xy与6xyz；（3）23与32；（4）πx2y 与52x2y．其中所有不是同类项的序号为_______
【答案】（1）（2）
【分析】根据同类项的定义，即可求得．
【详解】根据同类项的定义，23与32是同类项，πx2y 与52x2y是同类项
故答案为：（1）（2）
【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
【考点8 已知同类项求字母的值】
【例8】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）若单项式−4xm−2y4与2x3y2n的和仍是单项式，则n2−m2的值为（    ）
A．－21 B．21 C．－29 D．29
【答案】A
【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同的字母相同，即可求解m，n的值，则代数式的值即可求解．
【详解】解：根据题意得：m-2=3，2n=4，
则m=5，n=2，
故n2−m2=22−52=−21．
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项的定义，理解定义是关键．
【变式8-1】（2022·山东滨州·七年级期末）已知单项式mx2yn−1与3x2y5是同类项，若mx2yn−1+3x2y5=0（其中x≠0,y≠0），则m+n=（    ）
A．-3 B．3 C．5 D．10
【答案】B
【分析】根据同类项的定义和合并同类项的法则解答，同类项的定义是，所含的字母相同，相同的字母的指数也相同的项是同类项，合并同类项的法则是，只合并系数，字母和字母的指数都不变．
【详解】∵单项式mx2yn−1与3x2y5是同类项，
∴n-1=5，n=6，
∵mx2yn−1+3x2y5=0
∴m+3=0，m=-3，
∴m+n=-3+6=3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了同类项，解决问题的关键是熟练掌握同类项的定义及合并同类项的方法．
【变式8-2】（2022·全国·七年级课时练习）若−2x2ayc与xby3a是同类项，则下列关系式成立的是（    ）.
A．a+b+c=5a B．a+b−c=a C．3b=2c D．2b=c
【答案】C
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得b＝2a，c＝3a，即可判断各选项．
【详解】解：∵−2x2ayc和xby3a是同类项，
∴b＝2a，c＝3a，
A.a+b+c=a+2a+3a=6a，此选项错误；
B.a+b−c=a+2a−3a=0，此选项错误；
C.3b=2c=6a，此选项正确；
D.2b=4a，c=3a，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
【变式8-3】（2022·重庆市綦江中学七年级期中）已知m，n为常数，且三个单项式mxny,x2y,2x3y的和仍为单项式，则mn的值为_______．
【答案】1或−8
【分析】因为mxny,x2y,2x3y相加得到的和仍然是单项式，它们x的指数不尽相同，所以这几个单项式中有两个为同类项．那么可分情况讨论：①若mxny与x2y为同类项，②若mxny与2x3y为同类项，分别根据三个单项式的和为单项式列式计算即可．
【详解】解：①若mxny与x2y为同类项，
∴n＝2，
∵三个单项式的和为单项式，
∴1＋m＝0，即m＝−1．
∴mn=−12＝1；
②若mxny与2x3y为同类项，
∴n＝3，
∵三个单项式的和为单项式，
∴m＋2＝0，即m＝−2，
∴mn=−23＝−8．
故mn的值为：1或−8．
故答案为：1或−8．
【点睛】本题考查的知识点是合并同类项，分情况求出m，n的值是解题的关键．
【考点9 合并同类项】
【例9】（2022·全国·七年级专题练习）我们知道1+2+3+…+100=5050，于是m+2m+3m+⋯+100m=5050m，那么合并同类项m+2m+3m+…+51m的结果是（        ）
A． 1570m B． 1576m C．  1326m D． 1323m
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则，把系数相加，字母和字母的指数不变，再计算1+2+3+...51=1326．
【详解】解：m+2m+3m+⋯+51m
=1+2+3+⋯+51m
=1+50+2+49+⋯+25+26+51m
=51×25+51m
=1326m.
故选C．
【点睛】本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．注意系数相加时的简便算法．
【变式9-1】（2022·全国·七年级课时练习）0.125x−34+78x−0.25合并同类项后是________．
【答案】x-1
【分析】原式合并同类项即可得到结果．
【详解】解：原式=（0.125x+0.875x）-(0.75+0.25)
= x-1
【点睛】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式9-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）下列运算正确的是（　　）
A．3a3−2a3=a3 B．m−4m=−3 C．a2b−ab2=0 D． 2x+3x=5x2
【答案】A
【分析】根据合并同类项进行判断即可．
【详解】解：A、3a3−2a3=a3，故选项正确,符合题意；
B、m-4m=-3m，故选项错误,不符合题意；
C、a2b与-ab2不是同类项，不能合并，故选项错误,不符合题意；
D、2x+3x=5x，故选项错误,不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查合并同类项问题，关键是根据合并同类项的法则解答．
【变式9-3】（2022·黑龙江大庆·期末）已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则2a+3b的值 _____．
【答案】−22
【分析】根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2
＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2，
∵x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，
∴a+5＝0，3﹣7﹣b＝0，
解得：a＝﹣5，b＝﹣4，
∴2a+3b＝2×（﹣5）+3×（﹣4）＝﹣22．
故答案为：﹣22．
【点睛】本题考查了合并同类项，利用合并后不含三次项，二次项得出关于a、b的方程，是解题关键．
【考点10 去括号、添括号】
【例10】（2022·广东广州·七年级期中）下列各题中，正确的是（   ）
①﹣[5a﹣(3a﹣4)]＝2a+4
②a﹣3b+c﹣3d＝(a+c)﹣3(b+d)
③a﹣3(b﹣c)＝a﹣3b+c
④(x﹣y+z)(x+y﹣z)＝[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]．
A．①② B．②④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据去括号法则及合并同类项法则逐一求解分析即可。
【详解】解：①﹣[5a﹣（3a﹣4）]＝﹣（5a﹣3a+4）＝﹣（2a+4）＝﹣2a﹣4，故错误；
②因为(a+c)﹣3(b+d)=a+c-3b-3d=a﹣3b+c﹣3d，所以②正确；
③a﹣3（b﹣c）＝a﹣3b+3c，故错误；
④因为[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]= (x﹣y+z)(x+y﹣z)，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键。
【变式10-1】（2022·广东·惠州一中七年级期中）下列去括号正确的是(   )
A．a﹣(b+c)＝a﹣b+c B．a﹣(b﹣c)＝a﹣b﹣c
C．a﹣(b﹣c)＝a﹣b+c D．a+(b﹣c)＝a﹣b+c
【答案】C
【分析】根据去括号法则求解判断即可．
【详解】解：A、a−b+c=a−b−c，计算错误，不符合题意；
B、a−b−c=a−b+c，计算错误，不符合题意；
C、a−b−c=a−b+c，计算正确，符合题意；
D、a+b−c=a+b−c，计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．
【变式10-2】（2022·全国·七年级课时练习）下列添括号正确的是（　　）
A．a﹣2b+3c＝a﹣（2b+3c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）
C．﹣a+b﹣c＝﹣（a﹣b+c） D．c+2a﹣b＝c+2（a﹣b）
【答案】C
【分析】根据添括号法则求解判断即可．
【详解】解：A、a−2b+3c=a−2b−3c，错误，不符合题意；
B、a−b−c=a−b+c，错误，不符合题意；
C、−a+b−c=−a−b+c，正确，符合题意；
D、c+2a−b=c+2a−12b，错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了添括号，熟知添括号法则以及添括号要变号的情形是解题的关键．
【变式10-3】（2022·福建省泉州实验中学七年级期中）把多项式−3x2−2x+y−xy+y2一次项结合起来，放在前面带有“+”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“-”号的括号里，等于（    ）
A．(−2x+y−xy)−3x2−y2 B．(2x+y)−3x2−xy+y2
C．(−2x+y)−−3x2−xy+y2 D．(−2x+y)−3x2+xy−y2
【答案】D
【分析】首先确定一次项为-2x，y，二次项为-3x2，-xy，y2，再都添上“+”号，最后添“-”号得出答案即可．
【详解】原式=(−2x+y)+(−3x2−xy+y2)
=(−2x+y)−(3x2+xy−y2)．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式中项的确定，添括号等，注意：括号前添“-”号，括号内的每一项都变号．
【考点11 整式的加减运算】
【例11】（2022·全国·七年级专题练习）化简：
(1)8a2b+2a2b﹣3b2﹣4a2b﹣ab2；
(2)13m2n−12mn2−nm2+16n2m．
【答案】(1)6a2b﹣3b2﹣ab2
(2)−23m2n−13mn2

【分析】（1）直接合并同类项即可；
（2）直接合并同类项即可．
（1）
解：8a2b+2a2b﹣3b2﹣4a2b﹣ab2
=8a2b+2a2b﹣4a2b﹣3b2﹣ab2
=（8+2﹣4）a2b﹣3b2﹣ab2
=6a2b﹣3b2﹣ab2．
（2）
解：13m2n−12mn2−nm2+16n2m
=13m2n−nm2+16n2m−12mn2
=−23m2n−13mn2．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握移项、合并同类项成为解答本题的关键．
【变式11-1】（2022·湖北荆门·七年级期中）化简：
(1)－5m2n+4m2n－2mn+m2n+3mn；
(2)（5a2+2a－1）－4（3－8a+2a2）．
【答案】(1)mn
(2)－3a2+34a－13

【分析】（1）根据合并同类项法则进行计算即可；
（2）整式的加减先去括号，再合并同类项计算即可．
（1）
解：－5m2n+4m2n－2mn+m2n+3mn
＝（－5m2n+4m2n+m2n）+（－2mn+3mn）
＝mn；
（2）
解：（5a2+2a－1）－4（3－8a+2a2）
＝5a2+2a－1－12+32a－8a2
＝－3a2+34a－13．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则及合并同类项法则是解题的关键．
【变式11-2】（2022·全国·七年级课时练习）计算：
(1)3x+2x−2−15x+1−5x．
(2)(2x2−5x)−2(3x+5−2x2)．
【答案】(1)−15x−1；
(2)6x2−11x−10．

【分析】（1）移项，合并同类项，根据整式的运算法则计算即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，根据整式的运算法则计算即可．
（1）
解：3x+2x−2−15x+1−5x
=3x+2x−15x−5x−2+1
=−15x−1．
（2）
解：(2x2−5x)−2(3x+5−2x2)
=2x2−5x−6x−10+4x2
=2x2+4x2−5x−6x−10
=6x2−11x−10．
【点睛】本题考查去括号，移项，合并同类项，整式的运算法则，解题的关键是掌握去括号法则，整式的运算法则．
【变式11-3】（2022·全国·七年级课时练习）先去括号，再合并同类项：
(1)6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）；
(2)2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；
(3)9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]；
(4)﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．
【答案】(1)﹣ab
(2)2a﹣5b
(3)7a3+223a2
(4)3t2﹣3t

【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；
（3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；
（4）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可．
（1）解：6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣ab；
（2）解：2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；
（3）解：9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]＝9a3+6a2﹣2a3＋43a2＝7a3＋223a2；
（4）解：2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．
【点睛】本题考查整式的加法，熟练掌握合并同类项法则与去括号法则是解题的关键．
【考点12 整式加减中化简求值】
【例12】（2022·全国·七年级课时练习）小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴上−134和94之间的数据（如图），设遮住的最大整数是a，最小整数是b．

（1）求2b−3a的值．
（2）若m=13a2−12a−1，n=−12b2+13b+4，求−2mn−3m2−m2−5mn−m2+2mn的值．
【答案】（1）12；（2）1．
【分析】（1）首先求出最大整数为2，最小整数为-3，然后代入式中即可求解；
（2）首先将原式进行化简，然后根据a和b的值求出m和n的值，最后代入即可求解．
【详解】（1）在−134和94之间的数中，
最大的整数是2，则a=2，
最小的整数是−3，则b=−3，
∴2b−3a=2×−3−3×2=−6−6=12．
（2）原式=−2mn+6m2−m2−5mn+5m2+2mn
=−2mn+6m2−m2+5mn−5m2−2mn
=mn
∵m=13a2−12a−1=13×22−12×2−1=−23，
n=−12b2+13b+4=−12×−32+13×−3+4=−32，
∴原式=mn=−23×−32=1．
【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，整式的化简求值，题目较为简单，计算时一定要注意符号的变号问题．
【变式12-1】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）已知A=2x2+3xy−2x−1，B=−x2+xy−1．
(1)求3A−6B．
(2)若x+2+y−12=0，求 3A−6B 的值．
【答案】(1)12x2+3xy−6x+3
(2)57

【分析】（1）根据整式的混合运算，即可得到答案；
（2）利用绝对值的非负性求出x、y的值，然后代入计算，即可得到代数式的值.
（1）
解：∵A=2x2+3xy−2x−1，B=−x2+xy−1，
∴3A−6B=3(2x2+3xy−2x−1)−6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3+6x2−6xy+6
=12x2+3xy−6x+3；
（2）
∵x+2+y−12=0，
∴x+2=0，y−1=0，
∴x=−2，y=1，
∴3A−6B=12×(−2)2+3×(−2)×1−6×(−2)+3
=48−6+12+3
=57.
【点睛】本题考查了整式的化简求值，整式的混合运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握运算法则正确的进行化简，利用绝对值的非负性正确求出x、y的值.
【变式12-2】（2022·全国·七年级课时练习）已知52(a−5)4+3412b−1=0，化简代数式a3−a3−7a2b+4ab2−5ab2−2b3+5ba2并求值．
【答案】2a2b−ab2+2b3，96
【分析】根据非负性得出a=5，b=2，再按照去括号、合并同类项的顺序化简代数式，最后代入求值即可．
【详解】∵52(a−5)4+3412b−1=0，
∴a−5=0，12b−1=0，
解出得：a=5，b=2，
化简a3−a3−7a2b+4ab2−5ab2−2b3+5ba2，得：
a3−a3+7a2b+4ab2−5ab2+2b3−5ba2
=2a2b−ab2+2b3
代入值，得2×52×2−5×22+2×23=100−20+16=96．
【点睛】本题考查了非负性，整式的化简求值，熟练掌握整式的化简方法是解题的关键．
【变式12-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知A=2a2b+3ab2−2,B=−6ab2+3a2b+5，并且2A＋B＋C＝0
(1)求多项式C；
(2)若a，b满足|2a＋4|＋|b﹣1|＝0，求（1）中多项式C的值．
【答案】(1)﹣7a2b﹣1
(2)-29

【分析】（1）根据多项式的运算法则，代入A、B，可求出多项式C；
（2）去绝对值求出a、b，代入可求解
（1）
由题意得：
C＝﹣2A﹣B
＝﹣2（2a2b+3ab2﹣2）﹣（﹣6ab2+3a2b+5）
＝﹣4a2b﹣6ab2+4+6ab2﹣3a2b﹣5
＝﹣7a2b﹣1；
（2）
由题意得：2a+4＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1．
原式＝﹣7×（﹣2）2×1﹣1
＝﹣7×4×1﹣1
＝﹣28﹣1
＝﹣29．
【点睛】本题考查多项式的化简求值，灵活运用运算法则为关键．
【考点13 整式加减中无关性问题】
【例13】（2022·黑龙江·肇源县第二中学七年级期中）已知多项式x2+ax−y+b与bx2−3x+6y−3差的值与字母x的取值无关，求代数式3a2−2ab−b2−4a2+ab+b2的值．
【答案】14
【分析】将多项式相减后让x的系数为0，求出a和b的值，再将a和b的值代入代数式化简后的式子中进行计算即可．
【详解】解：（x2+ax−y+b）-（bx2−3x+6y−3）
=x2+ax−y+b-bx2+3x−6y+3
=(1−b)x2+(a+3)x−7y+b+3
∵两个多项式的差与x的取值无关，
∴1-b=0，a+3=0，
∴b=1，a=-3，
3a2−2ab−b2−4a2+ab+b2
=3a2−6ab−3b2−4a2−4ab−4b2
=−a2−10ab−7b2
把b=1，a=-3代入得：
原式=−(−3)2−10×(−3)×1−7×1=-9+30-7=14．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【变式13-1】（2022·上海·七年级专题练习）若代数式2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1的值与字母x的取值无关，求代数式3a2−2ab−b2−4a2+ab+b2的值．
【答案】8
【分析】利用整式的加减运算法则化简已知和所求代数式，再根据无关性求出a，b值，然后代入化简的代数式中计算求值即可．
【详解】解：2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1
=2x2+ax−y+6−2bx2+3x−5y+1
=2−2bx2+a+3x−6y+7，
∵该代数式的值与字母x的取值无关，
∴2−2b=0，a+3=0，
解得：a=−3，b=1，
∴3a2−2ab−b2−4a2+ab+b2
=3a2−6ab−3b2−4a2−ab−b2
=−a2−7ab−4b2
=−9+21−4
=8．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减运算的运算法则，会利用无关性求出a、b是解答本题的关键.
【变式13-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知多项式(2mx2+4y2+8x+1)−(6x2−4y2+3x)化简后不含x2项．
(1)求m的值；
(2)化简并求多项式2m3−3m3−(5m+5)+m的值．
【答案】(1)m=3；
(2)−m3+4m+5,−10

【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含x2项，即可得到m的值；
（2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的m的值代入，计算即可求出值．
（1）
解：(2mx2+4y2+8x+1)−(6x2−4y2+3x)
=2mx2+4y2+8x+1−6x2+4y2−3x
=2m−6x2+8y2+5x+1
∵不含x2项，
∴2m−6=0，即m=3．
（2）
解：2m3−3m3−(5m+5)+m
=2m3−3m3−4m−5
=2m3−3m3+4m+5
=−m3+4m+5．
将m=3代入上式可得：原式=−27+12+5=−10．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式13-3】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的多项式A=ax|a|+4+bx3−5x2+2，B=x5−3x3+4x．
(1)若整式A+B不含x5项和不含x3项，求a、b的值；
(2)若整式A−B是一个五次四项式，求出a、b满足的条件．
【答案】(1)b=3，a=−1
(2)若b=−3，则a=−1

【分析】（1）根据多相似不含x5项、x3项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出a、b的值．
（2）根据A−B是一个五次四项式（该多项式中，x的最高次幂是五次，即x5，一共有四项），分类讨论得出结论．
（1）
因为A+B=ax|a|+4+bx3−5x2+2+x5−3x3+4x，
当A+B不含x5项和不含x3项时有bx3−3x3=0和ax|a|+4+x5=0，
因为(b−3)x3=0，b−3=0，
所以b=3．
因为|a|+4=5，|a|=1，
所以a=−1或a=1（不符合题意）．
所以a=−1．
（2）
因为A−B=(ax|a|+4+bx3−5x2+2)−(x5−3x3+4x)
=ax|a|+4+bx3−5x2+2−x5+3x3−4x
=ax|a|+4−x5+(b+3)x3−5x2−4x+2
当A−B是一个五次四项式时，
①若b+3=0，即b=−3，
则A−B有ax|a|+4，−x5，−5x2，−4x，2．
若要A−B多项式中含x5，且共有四个项，
则|a|+4=5，且a≠1，
则a=−1．
若b=−3，则a=−1满足条件；
②若b+3≠0，即b≠−3，
则A−B有ax|a|+4，−x5，(b+3)x3，−5x2，−4x，2．
又|a|+4≥4，且A−B共有四个项，
则ax|a|+4−x5=0．
则|a|+4=5，|a|=1．
则a=1或a=−1（不符合题意）．
若b≠−3，则a=1，此时A−B为不含x5的四项式，不满足条件．
【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键．
【考点14 整式加减中错看问题】
【例14】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）已知A=3a2b−2ab2+abc，小明错将“2A−B”看成“2A+B”,算得结果C=4a2b−3ab2+4abc.
(1)计算B的表达式；
(2)求正确的结果的表达式；
(3)小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15求（2）中代数式的值
【答案】(1)−2a2b+ab2+2abc
(2)8a2b−5ab2
(3)对，与c无关；0

【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（3）根据（2）中的结果，即可得到结论，进而代入求值即可 ．
（1）
解：∵2A+B=C，
∴B=C−2A
=4a2b−3ab2+4abc−23a2b−2ab2+abc
=4a2b−3ab2+4abc−6a2b+4ab2−2abc
=−2a2b+ab2+2abc
（2）
解：2A−B
=23a2b−2ab2+abc−−2a2b+ab2+2abc
=6a2b−4ab2+2abc+2a2b−ab2−2abc
=8a2b−5ab2
（3）
解：将a=18，b=15代入，得：
原式=8a2b−5ab2
=8×(18)2×15−5×18×(15)2
=140−140
=0
【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算法则，化简求值，掌握去括号法则与合并同类项法则，是解题的关键．
【变式14-1】（2022·全国·七年级课时练习）某同学把6(a−4)错抄成了6a−4，抄错后的答案为y，正确答案为x，则x−y的值为________．
【答案】-20
【分析】根据题意，用6（a-4）减去6a-4，求出x-y的值是多少即可．
【详解】解：∵x=6（a-4），y=6a-4，
∴x-y
=6（a-4）-（6a-4）
=6a-24-6a+4
=-20．
故答案为：-20．
【点睛】此题主要考查了整式的加减问题，要熟练掌握，解题的关键是根据题意列出算式．
【变式14-2】（2022·河南驻马店·七年级期中）(1)阅读下列解题过程：
计算：(−15)÷(13−32−3)×6.
解：原式=(-15)÷（-256）×6（第一步）
=(-15)÷(-25)    (第二步)
=-35         （第三步）
解答问题：①上面解答过程有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ；
②请你正确地解答本题．
(2)有道题目“当a= 2,b= -2017时，求代数式l2a3−(5a3b2−3a2b)+3a3+5a3b2−(3a2b+72a3)+3的值”．甲同学做题时把b=-2017错抄成b=2017，乙同学没有抄错，但他们得出的结果恰好一样，问这是怎么回事儿？
【答案】(1)①二，运算顺序错误，三，运算符号错误，②原式=1085；(2)理由见解析.
【详解】试题分析：（1）利用有理数的混合运算的运算顺序：先算括号里面的减法，再算除法，左后算乘法；由此顺序计算判定即可；（2）找出代数式中的同类项再合并化简，根据结果判断即可．
试题解析：
(1)①二，运算顺序错误 ，三 ，运算符号错误;
②原式=(−15)÷(−256)×6=(−15)×(−625)×6=1085;
(2)因为,原式=12a3−5a3b2+3a2b+3a3+5a3b2−3a2b−72a3+3=3;
所以,计算结果与a、b的取值无关.
所以,无论甲同学是否抄错b,都不影响其计算结果.
点睛：1.第（1）题考了查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号，是正确计算的前提；2. 第（1）题考了查整式的加减运算，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项；与某字母的取值无关，则是式子中不含该字母．
【变式14-3】（2022·河南周口·七年级期中）小刚在解数学题时，由于粗心把原题“两个代数式A和B，其中A＝？，B＝4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”中的“A+B”错误的看成“A﹣B”，结果求出的答案是﹣7x2+10x+12，请你帮他纠错，正确地算出A+B的值．
【答案】A+B＝x2
【分析】根据错误的计算可求得A的结果，再计算A+B的值即可．
【详解】由题意可知：A﹣B＝﹣7x2+10x+12，
∴A＝4x2﹣5x﹣6﹣7x2+10x+12＝﹣3x2+5x+6；
∴A+B＝（﹣3x2+5x+6）+（4x2﹣5x﹣6）＝x2；
【点睛】本题考查了整式的加法运算，关键是掌握加法与减法是互逆的两种运算，才能由错误的计算求出代数式A的值．
【考点15 整式的加减（数字的变化类）】
【例15】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）观察下列等式：
第1个等式：a1=12×4=12×12−14
第2个等式：a2=14×6=12×14−16
第3个等式：a3=16×8=12×16−18
……
请回答下列问题：
(1)按以上规律第4个等式：a4=________=________；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an=________=________（n为正整数）；
(3)求a1+a2+a3+a4+⋯⋯+a20的值．
【答案】(1)18×10，12×18−110；
(2)12n×(2n+2)，12×12n−12n+2；
(3)521

【分析】（1）根据规律，得出第4个等式：a4＝18×10=1218−110；
（2）根据规律，得出第n个等式：an＝12n×(2n+2)=1212n−12n+2
（3）将12提出后，括号里进行加减，即可求出结果．
（1）
解：∵第1个等式：a1=12×4=12×12−14，
第2个等式：a2=14×6=12×14−16，
第3个等式：a3=16×8=12×16−18，
∴第4个等式：a4=18×10=12×18−110，
故答案为：18×10，12×18−110；
（2）
解：由（1）可得，
第n个等式：an=12n×(2n+2)=12×12n−12n+2
故答案为：12n×(2n+2)，12×12n−12n+2；
（3）
解：a1+a2+a3+a4+⋯⋯+a20，
=12×4+14×6+16×8+18×10+⋯+140×42，
=12×12−14+14−16+18−18+18−⋯+140−142，
=12×12−142，
=12×1021，
=521，
答：a1+a2+a3+a4+…+a20的值为521.
【变式15-1】（2022·福建·福州时代中学七年级期末）观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是______．
【答案】m2−m##−m+m2
【分析】由题意易得2100+2101+2102+⋯+2199=2+22+23+⋯+2199−2+22+23+⋯+299，进而根据题干所给规律可进行求解．
【详解】解：2100+2101+2102+⋯+2199
=2+22+23+⋯+2199−2+22+23+⋯+299
=2200−2−2100−2
∵2100=m，
∴2100+2101+2102+⋯+2199=m2−m；
故答案为m2−m．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的规律．
【变式15-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期末）观察下列各式．
13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，………
(1)根据观察，你发现了什么规律？
(2)求13+23+33+⋯+103的值；
(3)若13+23+33+⋯+20193=a2，请你求出a的值．
【答案】(1)见解析
(2)3025；
(3)2019045

【分析】（1）从1开始，n个正整数的立方和，等于这n个正整数和的平方；
（2）观察数字规律可知，结果为一个完全平方式，其底数为1+2+3+…+10；
（3）由数字变化规律可知a=1+2+3+…+2009．
（1）
解：根据观察，从1开始，n个正整数的立方和，等于这n个正整数和的平方；
一般规律为：13+23+33+...+n3=n(n+1)22；
（2）
解：依题意，得13+23+33+...+103=(1+2+3+…+10)2
=10×(1+10)22
=3025；
（3）
解：依题意，得a=1+2+3+…+2009=2009×(2009+1)2=2019045．
【点睛】本题考查了数字的变化规律．本题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=(1+2+…+n)2．
【变式15-3】（2022·新疆生产建设兵团第一中学七年级期中）研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；4×6+1=52．
(1)请写出第9个式子______
(2)请用含n的式子表示第n个式子：______
(3)计算1+11×3×1+12×4×1+13×5×1+14×6×⋅⋅⋅×1+110×12的值时可以这样做：
解：原式=1×3+11×3×2×4+12×4×3×5+13×5×4×6+14×6×⋅⋅⋅×10×12+110×12
=221×3×322×4×423×5×524×6×⋅⋅⋅×11210×12
=21×23×32×34×43×45×54×56×⋅⋅⋅×1110×1112
=21×1112
=116．
请你用发现的规律解决下面的问题：
计算：1+111×13×1+112×14×1+113×15×1+114×16×⋅⋅⋅×1+121×23
【答案】(1)9×11+1=102
(2)nn+2+1=n+12
(3)2423

【分析】（1）观察可知，式子的第一个数字是连续的正整数，第二个数字比第一个数字大2，它们的积加1等于这两个数之间的数的平方，由此可得第9个式子；
（2）根据（1）中所得规律可得结论；
（3）参照题目中的计算方法，先将括号内式子通分，再利用（1）（2）问中所得规律求解．
（1）
解：由题意，
第1个式子为：1×3+1=4=22，
第2个式子为：2×4+1=9=32，
第3个式子为：3×5+1=16=42，
第4个式子为：4×6+1=25=52，
……
因此第9个式子为：9×11+1=100=102，
故答案为：9×11+1=102；
（2）
解：根据（1）中所得规律可知，第n个式子为：nn+2+1=n+12，
故答案为：nn+2+1=n+12；
（3）
解： 1+111×13×1+112×14×1+113×15×1+114×16×⋅⋅⋅×1+121×23
=11×13+111×13×12×14+112×14×13×15+113×15×14×16+114×16×⋅⋅⋅×21×23+121×23
=12211×13×13212×14×14213×15×15214×16×⋅⋅⋅×22221×23
=1211×1213×1312×1314×1413×1415×1514×1516×⋅⋅⋅×2221×2223
=1211×2223
=2423．
【点睛】本题考查数字类的变化规律，有理数的计算等，解题的关键是根据已知信息找出规律．
【考点16 整式的加减（图形的变化类）】
【例16】（2022·安徽·合肥市庐阳中学二模）探究题．
观察图形，解答下列问题．

(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
(2)某一层上有65个圆圈，这是第几层？
(3)图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？
(4)计算：1+3+5+…+99的和；
(5)计算：101+103+105+…+199的和．
【答案】(1)15，2n−1
(2)33
(3)n2
(4)2500
(5)7500

【分析】（1）根据所给的图形观察、计算可得规律得第n层：2n−1即可
（2）利用（1）中得出的规律计算即可；
（3）利用（1）得出的规律，然后求和即可；
（4）利用（3）中发现的规律求解即可；
（5）利用（3）中发现的规律求解即可．
（1）
解：第一层：2×1−1=1，
第二层：2×2−1=3，
第三层：2×3−1=5，
…
得出规律：第n层：2n−1，
则第八层有：2×8−1=15，
第n层有2n−1个小圆圈．
（2）
解：2n−1=65，
n=33．
所以，这是第33层．
（3）
解：1+3+5+…+2n−1=n1+2n−12=n2．
（4）
解：1+3+5+…+99=502=2500．
（5）
解：101+103+105+…+199=1+3+5+…+199−1+3+5+…+99
=1002−502
=7500．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及应用规律，根据已知得出图形的变化规律是解答本题的关键．
【变式16-1】（2022·河南郑州·七年级期末）观察下面的点阵图，探究其中的规律．
(1)请在后面的横线上分别写出对应的等式：
第1个                         ①5×1+1=5×2−4
第2个②5×2+1=5×3−4
第3个③__________________________
第4个④__________________________
(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式_____________．
【答案】(1)③5×3+1=5×4−4，④5×4+1=5×5−4
(2)5n+1=5（n+1）−4

【分析】（1）两种表示图形中点的个数的方法：5乘以正六边形的个数加1；从一个顶点引出的线段的条数5，乘以每条线段上的点的个数，再减去4；这两种方法表示的点的个数相等；
（2）两种表示第n个图形中点的个数的方法：5乘以正六边形的个数n加1；从一个顶点引出的线段的条数5，乘以每条线段上的点的个数（n+1），再减去4；这两种方法表示的点的个数相等．
（1）
③5×3+1=5×4−4，
④5×4+1=5×5−4；
故答案为：③5×3+1=5×4−4，
④5×4+1=5×5−4；
（2）
5n+1=5（n+1）−4．
故答案为：5n+1=5（n+1）−4．
【点睛】本题主要考查了规律性变化图形中的点的个数恒等关系，解决问题的关键是探究图形中点的个数的两种表示方法，一是图形中点的个数与正六边形的个数关系，另一是图形中点的个数与从一个顶点出发的5条线段中每条线段上点的个数的关系．
【变式16-2】（2022·贵州省三穗中学七年级期中）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按如图所示的规律，拼成如下若干地板图案，为探索出第n个图案中白色地砖的块数，同学们列出三种不同的算式∶①6+4(n−1)；②−2n−1；③2n+n+1．其中正确的算式有（   ）

A．① B．①② C．②③ D．①③
【答案】D
【分析】由已知图形可以发现：前三个图形中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以可以发现每一个图形都比它前一个图形多4个白色地砖，所以可以得到第n个图案有白色地面砖4n+2块，分别计算4n+2与上述三式的关系可得结果．
【详解】解：由图可知：每一个图形都比它前一个图形多4个白色地砖，即第n个图案有白色地面砖4n+2块．
①6+4(n−1)=6+4n−4=4n+2；
②−2n−1=−2n−1=−2n+2 ≠4n+2；
③2n+n+1=22n+1=4n+2．
故选①③．
故答案为D．
【点睛】本题考查了数与形结合的规律，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．
【变式16-3】（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．

(1)图②有　 　个三角形；图③有　 　个三角形．
(2)按上面的方法继续下去，第5个图形中有　 　个三角形；第n个图形中有　 　个三角形？（用含有n的式子表示结论）
【答案】(1)5，9
(2)17；1+4（n﹣1）

【分析】（1）观察图形得到图①中三角形的个数为1，图②中三角形的个数为1+4，图③中三角形的个数为1+4×2；
（2）由（1）得到后面图形中的三角形个数比它前面它们的三角形个数多4，于是得到第n个图形中三角形的个数为1+4（n﹣1），则可计算出n＝5时三角形的个数．
（1）
图①中三角形的个数为1，
图②中三角形的个数为1+4＝5，
图③中三角形的个数为1+4×2＝9；
（2）
图⑤中三角形的个数为1+4×4＝17；
第n个图形中三角形的个数为1+4（n﹣1）．
故答案为5，9；17；1+4（n﹣1）．
【点睛】本题考查了规律型﹣图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【考点17 整式加减的应用】
【例17】（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学七年级阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出6立方米的部分
2元/米3
超出6立方米但不超出10立方米的部分
4元/米3
超出10立方米的部分
8元/米3
注：水费按月结算


（1）若某户居民7月份用水9立方米，求该用户7月份应交水费．
（2）若某户居民8月份用水a立方米(6 （3）若某户居民9，10月份共用水15立方米（10月份用水量多于9月份），设9月份用水x立方米．
①该用户9月，10月共交水费最多可能达到几元？最少呢？简要说明你的想法．
②求该户居民9，10月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
【答案】（1）7月份应交水费24元；（2）8月份应交水费（4a-12）元；（3）①最多为68元，最少为36元，理由见解析；②当0≤x<5，共交水费（-6x+68）元， 5≤x<6，共交水费（-2x+48）元，当6≤x<7.5时，共交水费36元．
【分析】（1）由题意可知：9立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，3立方米需按每立方米4元的单价收费；
（2）由题意可知：a立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，a-6立方米需按每立方米4元的单价收费；
（3）①根据图表可知，超出10立方米的部分最多，水费越大，若不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少，据此作答；②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3，分9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3；9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3；9月份用水量超过6m3，但少于7.5m2时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3三种情况分别求出水费即可．
【详解】解：（1）根据题意得：6×2+3×4=24元，
故该用户7月份应交水费24元；
（2）根据题意得：4（a-6）+6×2=（4a-12）元
该用户8月份应交水费（4a-12）元；
（3）①若要使9月，10月共交水费最多，则超出10立方米的部分最多，
即当9月份用水0立方米,10月份用水15立方米时，费用最多为：6×2+4×4+5×8=68元，
若要使9月，10月共交水费最少，则不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少，
即当9月份用水6立方米,10月份用水9立方米或9月份用水7立方米,10月份用水8立方米时，费用最少为：12×2+3×4=36元；
②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3，
当9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3，
此时共交水费：2x+8（15-x-10）+4×4+6×2=（-6x+68）元；
9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，
此时共交水费：2x+6×2+4（15-x-6）=（-2x+48）元；
当9月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3，
则共交水费：4（x-6）+6×2+4（15-x-6）+6×2=36（元）．
综上所述，当0≤x<5，共交水费（-6x+68）元， 5≤x<6，共交水费（-2x+48）元，当6≤x<7.5时，共交水费36元．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减的应用，找出题目蕴含的数量关系，能分段计算是解决问题的关键．
【变式17-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足a+2b2+c+12=0，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a=________，b=________，c=__________；
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，化简m+12−|m−2|+|m+1|；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A、点C都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离为AB，点B与点C之间的距离为BC，请问：AB−BC的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出AB−BC的值．
【答案】（1）2，-1，−12；（2）m−32；（3）不变，52
【分析】（1）先根据b是立方根等于本身的负整数，求出b，再根据a+2b2+c+12=0，即可求出a、c；
（2）先根据点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），得到m的范围，再化简m+12−|m−2|+|m+1|即可；
（3）先求出AB，BC，再代入AB-BC计算即可．
【详解】解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，
∴b=-1．
∵a+2b2+c+12=0，
∴a=2，c=−12，
故答案为：2，-1，−12；
（2）∵点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），
∴-1＜m＜−12，
∴m+12−|m−2|+|m+1|
=−m−12+m−2+m+1
=m−32；
（3）依题意得：A：2+2t，B：-1-t，C：−12+2t，
∴AB=3t+3，BC=3t+12，
∴AB-BC=3t+3-（3t+12）=52，
故AB-BC的值不随着t的变化而改变，且值为52．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减．通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
【变式17-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ）

A．m+n B．m−n C．2m−n D．m+2n
【答案】A
【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，
∴AB+BC=m2，JI+HI=n2，
延长FG交AD于M，
正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，
∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=m2，
∵AM+GL=AD=BC，
∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=m2-DL，
∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，
∵EH=DL，
∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=m2+m2-DL+ n+EH=m+n．
故选：A．
．
【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【变式17-3】（2022·重庆八中九年级期末）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的三位数为“幸福数”．将“幸福数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为Dm，例如：
D235=23+25+32+35+52+53=220．
（1）求证：Dm能被22整除；
（2）把Dm与22的商记为Fm，例如F235=D23522=22022=10．若“幸福数”n满足个位上的数字是百位上的数字的三倍，且Fn能被5整除，请求出所有满足条件的“幸福数”n．
【答案】（1）见解析；（2）163，276，389．
【分析】（1）根据题目中“幸福树”的定义，设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则这个三位数为100a+10b+c，求出Dm=22a+b+c，即可证得结论；
（2）利用（1）所得结论及题目中的材料，可得出Fm，设百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为3x，则这个三位数为100x+10y+3x，可求出Fn=224x+y22=4x+y，根据Fn能被5整除即可求出符合条件的x，y的值，此题得解．
【详解】（1）证明：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则这个三位数为100a+10b+c，
∴Dm=D100a+10b+c=10a+b+10b+c+10a+c+10b+a+10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22a+b+c，
∵a+b+c为整数，
∴Dm能被22整除；
（2）解：设百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为3x，则这个三位数为100x+10y+3x，
∵Dm=22a+b+c，Fm=22a+b+c22=a+b+c，
∴Dn=22x+y+3x=224x+y，Fn=224x+y22=4x+y，
∵Fn能被5整除，x，y，3x均不相等，且小于10，大于0，
∴当x=1时，y=6，这个三位数为163；
当x=2时，y=7，这个三位数为276；
当x=3时，y=8，这个三位数为389；
∴所有满足条件的“幸福数”为163,276,389．
【点睛】此题考查了新定义下的整式运算，理解题意，列出正确的代数式并准确计算是解答此题的关键.