安徽省皖东名校2024届高三上学期9月第二次质量检测数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知集合，，则下列说法正确的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
2、若，则( )
A.B.1C.D.2
3、已知向量，其中，，则的最大值为( )
A.B.C.D.1
4、已知A，B，C为三个随机事件且，，，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6、如图，正方形的中心与正方形的中心重合，正方形的面积为2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥(A，B，C，D四点重合于点M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为( )
A.B.C.D.
7、直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为( )
A.B.C.D.
8、设，将的图像向右平移个单位，得到的图像，设，，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知三次函数，b，下列结论正确的是( )
A.当时，单调递减区间为
B.当时，单调递增区间为
C.当时，若函数恰有两个不同的零点，则
D.当时，恒成立，则a的取值范围为
10、在四面体中，，，E，F，G分别是棱，，上的动点，且满足，均与面平行，则( )
A.直线与平面所成的角的余弦值为
B.四面体被平面所截得的截面周长为定值1
C.的面积的最大值为
D.四面体的内切球的表面积为
11、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，直线，M为l上一动点，则下列结论正确的是( )
A.的最小值为10.
B.若，为垂足，且为的平分线，则
C.对任意点M，均有
D.当为等边三角形时，的面积为
12、记有限数集为M，，定义在M上的函数记为，的图象经过旋转变换之后会得到的图象(的图象有可能不是函数图象)，若的图象绕原点逆时针旋转后得到的图象与原函数的图象重合，则在下列选项中的取值不可能是( )
A.0B.C.D.
三、填空题
13、数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理，由等式利用算两次原理可得________.(用组合数表示即可)
14、已知，，又P点为圆上任意一点且满足，，则________.
15、已知正实数a，b满足，则当取最小值时，________.
16、如图，椭圆，，的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，.若，则离心率e的最小值是________.
四、解答题
17、数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前2023项和.
18、在中，，D在边上，，，对应的边为a，b，c.
（1）当为的角平分线且时，求的值；
（2）当D为的中点且时，求的取值范围.
19、如图，正方体的棱长为4，M，N，P，Q分别为棱，，，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体.
（1）求平面与平面所成夹角的余弦值的大小；
（2）求多面体的体积.
20、2022年国庆节某商场进行砸金蛋活动，现有8个外形完全相同的金蛋，8个金蛋中有1个一等奖，1个二等奖，3个三等奖，3个参与奖，现甲乙两人进行砸金蛋比赛，砸中1个一等奖记4分，砸中1个二等奖记3分，砸中1个三等奖记2分，砸中1个参与奖记1分，规定砸蛋人得分不低于8分为获胜，否则为负，并制定规则如下：
①一个人砸蛋，另一人不砸蛋；
②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的记分之和.
（1）若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率；
（2）若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分的分布列和数学期望.
21、已知双曲线，，左、右焦点为，，其中焦距为，双曲线经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为E，P为射线与双曲线右支的交点，求的最大值.
22、已知函数，，曲线与在原点处的切线相同.
（1）求的单调区间；
（2）若时，，求k的最小值.
参考答案
1、答案：B
解析：A：显然，，所以本选项不正确；
B：显然，，所以本选项正确；
C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确；
D：因为，，所以本选项不正确.
故选：B.
2、答案：A
解析：由题意可得，
则，
故.
故选：A.
3、答案：B
解析：，，
故，
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，
故.
故选：B.
4、答案：A
解析：A，B，C相互独立，则满足，
且，，；
A，B，C两两独立则满足，
，；
故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，
但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故A正确.
故选：A.
5、答案：A
解析：令，则，
在上单调递增，，即，
，又，，
，，
，故，.
故选：A.
6、答案：A
解析：取正方形中心为O，连接交于点T，
正方形的面积为2，故正方形的边长为，，
设，则，所得的棱锥侧面的高，
故棱锥的高为，
四棱锥体积为，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，体积最大，此时，，
由勾股定理可得，
点F到边长的距离，，
阴影部分面积.
故选：A.
7、答案：B
解析：我们先来证明如下引理，如下图所示，
设正四面体棱长为a，面，，
所以，，
显然F为面的重心，所以，
由勾股定理可得面，
所以正四面体的高等于其棱长的面倍，
接下来我们来解决此题，如下图所示，
10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体中，成三棱锥形状，有3层，
则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，
当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，
底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，
位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体，
则该正四面体的棱长为，可求得其高为，
所以正四面体的高为，
进而可求得其棱长a的最小值为.
故选：B.

8、答案：B
解析：将的图像向右平移个单位，得到的图像，，
，
，
，
，
，
，，，
令，，，
易知在单调递增，
即单调递增，
单调递减，当时，最大值为.
故答案为：B.
9、答案：ACD
解析：，b，，则，
当时，在区间上，
所以在上单调递减区间，A正确，B错误；
要使函数恰有两个不同的零点，则有一个极值为0，
由上分析知：或，而时，不满足题意；
所以，有，化简可得，C正确；
当时恒成立，即恒成立，
令，则，故，
在上，单调递增，在上，单调递减，
，故，D正确.
故选：ACD.
10、答案：ACD
解析：对于A，取的中点Q，的中点M，连接，，，
由于，故，，
而，，平面，故平面，
又平面，故平面平面，
则即为直线与平面所成的角，
又，，而，
故，则，故，A正确；
对于B，设平面与棱的交点为P，
因为平面，且平面，平面平面，
故，且由题意知，否则，重合，不合题意，
故四边形为梯形，
同理四边形为梯形，所以，，
由于，故，，
又因为，同理可证，则；同理证明，
则四边形为平行四边形，故四边形的周长为2，
即四面体被平面所截得的截面周长为定值2，B错误；
对于C，因为平面，平面，故；
而，同理可证，故，
结合，故，
当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为，C正确；
对于D，由以上分析知，，
故，而平面，，
故，而，
设四面体的内切球的半径为r，则，
即，，
故四面体的内切球的表面积为，D正确.
故选：ACD.
11、答案：BCD
解析：设，，，
联立，得，
则，，，
对于A，，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，A错误；
对于B，，为的平分线，则，
，B正确；
对于C，设，则
，C正确；
对于D，设中点为G，由于，，
则，当时，显然为直角三角形，不合题意，
当时，，
，，
，
又，解得，
，，，D正确.
故选：BCD.

12、答案：ABC
解析：设点，若逆时针旋转后与原图重合，
则旋转后的对应点也在的图象上，同理有的对应点也在其图象上，
以此类推，于是对应的图象可以为一个圆周上的6等分的6个点，
当时，即，则，易验证，
显然不符合函数的定义，故A项不可能；
当时，即，同理，，不符合函数的定义，故B项不可能；
当时，即，同理，.不符合函数的定义，故C项不可能；
当时，即，满足题意，故D项可能.
故选：ABC.
13、答案：
解析：依题意，
故是展开式中的系数，
而展开式中的系数为，
所以.
故答案为：.
14、答案：
解析：设，则，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，
所以，，
所以，
所以，解得，，
因为，所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：，
令，则，令，，
则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，即.
故答案为：.
16、答案：
解析：点P是上第一象限内任意一点且，
，设直线的斜率为k，则，
由，可得，故，
，，故，
，解得，
对任意的恒成立，故，
整理得到对任意的恒成立，
故只需，即，即，故离心率e最小值为.
故答案为：.
17、答案：（1），
（2）
解析：（1）当时，有相减得，
即，各项均为正数，
所以，又当时，，
解得或(舍)，所以对任意正整数n，均有，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，所以，.
（2）由于，
故，
由（1）得，
记前n项和为，
则
，
所以.
18、答案：（1）1
（2）
解析：（1）由题意知，为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得：
，
整理可得，所以.
（2）以a，c为边做平行四边形，另一个端点设为M，连接，
易知交于点D，设，则由正弦定理知：
化简可得，，
则，合并化简可，
易知，则，
.
的取值范围为.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）以A为原点，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
则，，，，，，
设为平面的一个法向量，则，
取，解得，故，
设为平面的一个法向量，则，
取，解得，故，
则，
平面与平面所成夹角的余弦值为.
（2）由正方体特性可知：，
所求多面体
，
而几何体可以看成两三棱锥相减，将延长至O点，使，
得到几何体的体积为三棱锥的体积减去三棱锥的体积，
.
.
20、答案：（1）
（2）分布列见解析；期望为
解析：（1）记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件A，
则，
（2）如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸3个金蛋，
则得分情况有6，7，8，9，10，11，
，，
，，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望：
.
21、答案：（1）
（2）12
解析：（1）由题意得，，，解得，，
双曲线的方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，，，则，
当直线斜率存在时，假设直线方程为，
联立双曲线方程得，
则，，，
直线与双曲线交于右支，，
则，
设射线方程为：，联立与双曲线的方程，
，，，，
，
当且仅当时等号成立，最大值为12.
综上，的最大值为12.
22、答案：（1）在递减，在递增
（2）
解析：（1）由题意可得：，，，
所以得，故，
令，令，
所以在递减，在递增；
（2）记，，则，
设，则，
设，则，
①当时，，
即在上单调递增，所以，
在递增，故，即满足题设；
②当时，，故在递增，
当时，，则在上单调递增，
此时，故在递增，
故，即满足题设；
③当时，同②知，故在递增，
此时，取，则，
且，故在上存在唯一零点，
在上，此时递减，
，则，即在单调递减，
当时，与矛盾，故应舍去；
综上知，当时满足题设，因此k的最小值为.
P
6
7
8
9
10
11