河北省沧衡八校2023届高三上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3、某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是( )
A.8.5B.10C.9.5D.9
4、若，，则( )
A.B.C.D.
5、“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )
A.103B.109C.115D.121
6、已知函数(c为整数)，若，则的值不可能是( )
A.-3B.0C.1D.5
7、已知A，B均为抛物线，上的点，F为C的焦点，，则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
8、已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列命题是真命题的是( )
A.，
B.存在，，使得为质数
C.，
D.若，则的最大值为
10、已知函数，，的部分图象如图所示，将的图象的图象，则下列判断错误的是( )
A.的图象关于y轴对称
B.的最小正周期是
C.的图象关于点对称
D.在上单调递减
11、黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在上.当(p，q都是正整数，为最简真分数)时，，当或1或x为内的无理数时，，若为偶函数，为奇函数，当，1]时，则( )
A.
B.
C.
D.
12、如图，在长方体中，E，F分别是棱，的中点，点P在侧面内，且，，则三棱锥外接球表面积的取值可能是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、已知向量，，若，则________.
14、写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：________.
15、某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有________种.
16、已知椭圆，的左，右焦点分别为，，P是椭圆上一点，且直线的斜率为，若半径为b的圆M同时与的延长线，，的延长线以及线段相切，则椭圆的离心率为________.
四、解答题
17、已知为等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18、冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，2022年冬季奥运会由中国北京承办，本届赛事共设7个大项，15个分项，109个小项，共计产生109枚金牌，某校组织了一次有关冬奥会的知识竞赛，知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有4个备选项，其中有且仅有2项是正确的.
(1)同学甲在一道双项选择题中随机选择两个选项，求甲在该题中获得0分的概率.
(2)学生乙对其中一道双项选择题只能确定1个选项是错误的，现有2个策略：①从剩下3个选项中任选1个作答；②从剩下3个选项中任选2个作答，为使得分的期望最大，乙应该选择哪一个策略？
19、如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E是棱的中点.
(1)证明平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
20、人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠镜的猎豹，猎豹正目不转助地盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上.
(1)求此时指豹与羚羊之间的距离.
(2)若此时猜豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向透跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次辅猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹猎成功的最短时间：若不能，请说明原因.
21、已知双曲线，，的右焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程.
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线，的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
22、已知函数.
(1)讨论在上的单调性；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：因为，，所以.
2、答案：A
解析：设，，则，
所以，所以，解得，故.
3、答案：D
解析：抽取的工人总数为20，，
那么第60百分位数是第12和第13件数的平均数，
第12和第13件数分别为9，9，所以第60百分位数是9.
4、答案：C
解析：因为，
所以.
5、答案：C
解析：由题意可得，是以1为首项，6为公差的等差数列，
所以，.
6、答案：B
解析：设，
则，所以，
因为，所以，
因为c为整数，所以为偶数，则为奇数.
7、答案：C
解析：当直线的斜率大于0时，如图，过A，B作准线的垂线，
垂足分别为D，E，过B作，G为垂足，因为，
所以可设，，因为A，B均在C上，所以，
，，，
所以，
则.当直线的斜率小于0时，
同理可得.综上，直线的斜率为.
8、答案：B
解析：设，则，因为，
所以，即，所以在R上单调递减，
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在R上单调递减，所以，解得.
9、答案：BCD
解析：因为，，所以A是假命题；
因为，，且29为质数，所以B为真命题；
，当且仅当，
即时，等号成立，所以C为真命题；
若，则，
当且仅当.，即时，等号成立，所以D为真命题.
10、答案：ABD
解析：由图可知，的图象关于直线对称，
所以的最小正周期，所以，
则，由五点作图法可知，
所以，所以，
将的图象向右平移个单位长度得到的图象，
则，则A，B错误；
令，，解得，，
当时，则C正确；
令，，解得，，则D错误.
11、答案：BC
解析：，因为为偶函数，
所以的图象关于直线对称，
因为为奇函数，所以的图象关于点对称，
所以，所以，所以，
所以，
若a，b中至少有一个为0或1或内的无理数，
而，则，
若a，b均为内的有理数，设，，
(，，，，m，p为正整数，，为最简直分数)，
则.当能约分时，则约为最简真分数后的分数的分母：
，；
当不能约分时，此时，
综上，当a，时，而，.
所以.
12、答案：BCD
解析：如图，连接，，，易证四边形是平行四边形，
则点在线段上，取的中点G，连接，，
分别取，的中点，，连接，
易知三棱锥外接球的球心O在直线上，连接，，，，
设三棱锥外接球的半径为R，则，
因为，所以，，
所以，所以.
则当P与E重合时，
此时三棱锥外接球的半径取得最小值；
当P与重合时，
此时三棱锥外接球的半径取得最大值，
故三棱锥外接球表面积的取值范围是.
13、答案：1
解析：因为，所以，
所以，所以，
所以，解得.
14、答案：答案不唯一，只要写出，，其中一个即可)
解析：在直角坐标系中，画出这两个圆，
根据对称性可知这两个圆的公切线的方程为，，.
15、答案：420
解析：第一步，先确定1个班分配4个参赛名额，有种分配方案；
第二步，将剩下的16个参赛名额分成3份，
有种分配方案.故不同的分配方案有种.
16、答案：
解析：设圆M分别与的延长线，
的延长线以及线段相切于点Q，T，N，
则，，，
所以，，
所以，所以，
又因为，所以，
解得即，又，解得，
所以椭圆的离心率为.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)设等比数列的公比为q，
则所以，
故.
.
18、答案：(1)
(2) 应选策略②
解析：(1)同学甲随机选择两个选项共有种情况，
所以甲在该题中获得0分的概率为.
(2)设策略①分为X可取为X，X的可能取值为0，2，
，，则X的分布列为：
.
设策略②分为Y，Y可能取值为0，6，
，，则Y的分布列为：
，显然所应选策略②.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：在棱上取点F，使得，连接，，
易证四边形是正方形，则，，
从而，故，
因为，且E是棱的中点，所以.
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为平面，平面，且，所以平面.
(2)以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知，，，，
则，，设平面的法向量，
则，令，得，
由(1)可知平面，则平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则.
20、答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知，，，
，，
由正弦定理，可得，
因此或，当时，，
猎豹与羚羊之间的距离为，
当，，
猎豹与羚羊之间的距离为.
(2)由(1)可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近，
则，，，
设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点Q，，
，则，则，
整理行，解得(负根舍去)，
因为所以豹这次有功可且狩猎成功的最短时间为.
21、答案：(1)
(2)存在满足题意
解析：(1)由题可知，又是双曲线C的一条渐近线，
所以，解得，所以，
所以双曲线C的标准方程为.
(2)假设存在，设，，
设直线：，则，
得，则，
因为使得点F到直线，的距离相等，所以是的角平分线，
则，即，
，，
即，因为，所以，故存在满足题意.
22、答案：(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减
(2)
解析：(1)因为，所以，
当时，由，得由，得，
则在上单调递减，在单调递增，
当时，由，得；由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减.
(2)不等式恒成立，
即不等式恒成立，
即等价于恒成立，
设，
则，
设，则，
设，则，
由，得，所以在上单调递增，
则，即，故在上单调递增，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
故，即a的取值范围是.
件数
7
8
9
10
11
人数
3
6
5
4
2
X
0
1
P
Y
0
6
P