高中数学必修第一册第五章5.5.1第四课时《二倍角的正弦、余弦、正切公式》导学案-2019人教A版

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

教材知识探究

金刚石晶体的碳－碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默契”？

研究表明，金刚石碳－碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提高升力，以达到省力的作用.大自然真是神秘奇妙呀！

问题　1.“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么样的数学关系？

2.我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角三角函数公式？如何推导？

提示　1.倍角关系.

2.能.例如在两角和的余弦公式中，用α代替β，即α得到cos 2α＝cos2α－sin2α.

二倍角的正弦、余弦、正切公式

恰当地理解“倍数”关系，能帮助快速解题

以上这些公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.

教材拓展补遗

[微判断]

1.sin α＝2sincos.(√)

2.cos2α＝(1＋cos 2α)，cos 3α＝1－2sin2α.(√)

3.＝tan.(×)

提示　公式中所含各角都要使三角函数有意义，而tan无意义.

4.sin2－cos2＝.(×)

提示　sin2－cos2＝－

＝－cos＝－.

5.＝cos 12°－sin 12°.(√)

[微训练]

1.sincos的值为________.

解析　sincos＝sin＝.

答案　

2.cos2－sin2的值为________.

解析　cos2－sin2＝cos＝.

答案　

3.＝________.

解析　＝tan 30°＝.

答案　

4.函数y＝sin2x－cos2x的最小正周期为________.

解析　y＝sin2x－cos2x＝－(cos2x－sin2x)＝－cos 2x，

∴T＝π.

答案　π

5.α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则sin 2α＝________.

解析　∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，

∴sin 2α＝－.

答案　－

[微思考]

1.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗？

提示　sin 2α，cos 2α中α为任意角，tan 2α中，2α≠kπ＋即α≠＋，k∈Z.

2.sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式中，2α是α的倍角，角α一定为具体角吗？如何理解倍角的含义呢？

提示　角α不一定是具体角，也可为角的关系式 ，二倍角只是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍，2α＋是α＋的二倍.

题型一　给角求值问题　构造倍角公式的形式是关键

【例1】　求下列各式的值.

(1)1－2sin2750°；

(2)；

(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

解　(1)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.

(2)原式＝＝

＝＝2.

(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°

＝·sin 40°cos 40°cos 80°

＝sin 80°cos 80°

＝·sin 160°

＝＝.

规律方法　二倍角公式的关注点

(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；α是的二倍角，3α是的二倍角等.

(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.

(3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异.

【训练1】　(1)－cos2＝________；

(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.

解析　(1)原式＝(1－2cos2)＝－cos＝－.

(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°

＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°

＝

＝

＝

＝＝

＝＝.

答案　(1)－　(2)

题型二　给值求值问题

【例2】　(1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)

A.   B. 

C.1   D.

(2)已知cos＝，≤α<，则cos的值为________.

(3)已知sin＝，0<x<，则的值为________.

解析　(1)原式＝cos2α＋4sin αcos α＝＝.

(2)∵cos(α＋)＝，≤α<，又cos (α＋)＝>0，∴<α＋<，

∴sin(α＋)＝－＝－，

从而cos 2α＝sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)

＝－，

sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝.

∴cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)＝－.

(3)∵0<x<，sin(－x)＝，

∴－x∈(0，)，cos(－x)＝，

利用诱导公式，sin＝cos

＝cos＝.

∴原式＝＝

＝2sin＝.

答案　(1)A　(2)－　(3)

规律方法　解决给值求值问题的方法

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.

(2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.

【训练2】　设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.

解析　∵α为锐角，∴<α＋<.

∵cos＝，∴sin＝，

∴sin＝sin

＝2sincos

＝2××＝，

cos＝cos

＝2cos2－1

＝2×－1＝，

∴sin＝sin

＝sincos－cossin＝×＝×＝.

答案　

题型三　三角函数式的化简与证明

【例3】　求证：＝tan4 A.

证明　∵左边＝

＝＝＝(tan2A)2

＝tan4 A＝右边，

∴＝tan4 A.

规律方法　探究三角函数式化简、证明的常用技巧

(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；

(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；

(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；

(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；

(5)利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等.

【训练3】　求证：＝.

证明　原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*)

而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)

＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，

∴(*)式成立，即原式得证.

一、素养落地

1.通过对公式的正用、逆用、变形用可以发散学生思维、开阔视野，能进一步提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

2.倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想.这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.

3.在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.

二、素养训练

1.已知cos x＝，则cos 2x＝(　　)

A.－   B. 

C.－   D.

解析　cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝，

故选D.

答案　 D

2.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A.－   B.－ 

C.   D.

解析　sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.

答案　A

3.等于(　　)

A.sin 18°   B.cos 18°

C.cos 18°－sin 18°   D.sin 18°－cos 18°

解析　＝＝cos 18°.

答案　B

4.已知sin α＝，则cos(π－2α)＝(　　)

A.－   B.－

C.   D.

解析　cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－.

答案　B

5.cos4－sin4的值为(　　)

A.0   B.

C.1   D.－

解析　原式＝＝cos＝.故选B.

答案　B

基础达标

一、选择题

1.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)

A.   B. 

C.   D.1＋

解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝.

答案　C

2.若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A.   B.

C.－   D.－

解析　cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝，故选B.

答案　B

3.化简·cos 28°的结果为(　　)

A.sin 28°   B.sin 28°

C.2sin 28°   D.sin 14°cos 28°

解析　原式＝tan 28°·cos 28°＝sin 28°，故选A.

答案　A

4.设sin α＝，2π<α<3π，则sin＋cos＝(　　)

A.－   B.

C.   D.－

解析　∵sin α＝，∴＝1＋sin α＝.

又2π<α<3π，∴π<<，∴sin＋cos＝－.

答案　A

5.已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)

A.   B.

C.－   D.－

解析　设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.

∵sin θ＝，∴cos θ＝＝.

∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.

答案　A

二、填空题

6.已知函数f(x)＝sincos 的值域为________.

解析　f(x)＝sin∈.

答案　

7.若2±是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ等于________.

解析　由题意得5sin θ＝4，即sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝

－.

答案　－

8.已知tan x＝2，则tan的值为________.

解析　tan＝tan

＝＝＝－

＝－＝＝.

答案　

三、解答题

9.化简下列各式：

(1)－；

(2).

解　(1)原式＝

＝＝tan 2θ.

(2)原式＝

＝

＝

＝＝＝1.

10.已知角α在第一象限且cos α＝，求的值.

解　∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，

sin 2α＝2sin αcos α＝，

原式＝

＝＝.

能力提升

11.已知sin－2cos＝0.

(1)求tan x的值；

(2)求的值.

解　(1)由sin－2cos＝0，知cos ≠0，

∴tan＝2，∴tan x＝＝＝－.

(2)由(1)，知tan x＝－，∴＝＝＝＝×＝×＝.

12.已知coscos＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求cos 4α的值.

解　(1)∵coscos＝－，

∴cossin＝－，

∴cossin＝－，

∴sin＝－，

∴cos 2α＝－.

(2)cos 4α＝2cos22α－1＝2·－1＝－.