高中数学必修第一册第四章4.5.3《函数模型的应用》导学案-2019人教A版

这是一份高中数学必修第一册第四章4.5.3《函数模型的应用》导学案-2019人教A版，共15页。
4.5.3　函数模型的应用
课标要求
素养要求
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.

教材知识探究

爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为
1 000元，每期的利率为2.25%.

问题　五期后的本利和是多少？
提示　解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.

常见的函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型
y＝
教材拓展补遗
[微判断]
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×)
提示　两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.(×)
提示　函数模型中定义域必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)
提示　拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
[微训练]
1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润




(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析　逐个检验可得答案为B.
答案　B
2.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).
解析　设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x－2 014>20，x－2 014>＝≈28.7，则x>2 042.7，即x＝2 043.
答案　2 043
[微思考]
1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？
提示　k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，
②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
【训练2】　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解　(1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
题型三　建立拟合函数模型解决实际问题
解决此类问题通常要绘制散点图，由图象的结构特征去判断选择所要拟合的函数类型
【例3】　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解　(1)描点、作图，如图(甲)所示：

(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则当x＝25时，y＝2.2＋1.8×25＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.
规律方法　建立拟合函数与预测的基本步骤

【训练3】　某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长.记2013年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，
f(x)＝logx＋a.
找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2013年和2015年的数据求出相应的解析式.
解　最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如下.
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合.
若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合.
由已知得解得
所以f(x)＝x＋，x∈N.

一、素养落地
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养，通过建立函数模型解决实际问题提升数据分析素养.
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
二、素养训练
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)

A.分段函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
答案　A
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A.y＝0.957 6 B.y＝(0.957 6)100x
C.y＝ D.y＝1－0.042 4
答案　A
3.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
解析　将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.
答案　D
4.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
解析　设彩电的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
答案　2 250
5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解　设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).
∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴当x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1 680＝1 660(万元).
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.

基础达标
一、选择题
1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.幂函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析　根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
答案　A
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　)

A.y＝2t B.y＝2t2
C.y＝t3 D.y＝log2t
解析　由题图知，该函数可能是y＝log2t.故选D.
答案　D
3.某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为(　　)
A.0.5元 B.0.8元
C.1元 D.1.1元
解析　设杂志的价格降低了x个0.1元，则此时价格为(1.20－x×0.1)元，卖出(12＋4x)万本，设总销售收入为y万元，则y＝(1.20－0.1x)(12＋4x)＝－0.4x2＋3.6x＋14.4(x∈N*)，要使y≥20，即x2－9x＋14≤0，解得2≤x≤7，当x＝7时，价格最低，为1.20－0.7＝0.5(元).
答案　A
4.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(　　)
A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100
C.y＝50×2x D.y＝100x
解析　将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
答案　C
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
解析　设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，
∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213
＝－＝
≈＝3.8.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.
答案　B
二、填空题
6.某工厂
8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确是________(填序号).

解析　由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xα(0