江苏省连云港市灌南高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份江苏省连云港市灌南高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 两数与的等比中项是（ ）
A. 1B. C. 或1D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列等比中项的公式进行求解即可．
【详解】设与的等比中项是x，
则满足，
则或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比中项的求解，属于基础题．
2. 已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率关系求解.
【详解】直线倾斜角为45°时，斜率为1，
直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.
故选：B
3. 在等差数列中，已知 ，则等于（ ）
A. 40B. 42C. 43D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的基本量的计算，求得公差，结合等差数列性质即可求得答案.
【详解】由题意得等差数列中，已知，
设公差为d，则，故 ，
故选：B
4. 圆心为，且经过点的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点距离公式，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】解：由题可得圆的半径，
则圆的标准方程为：，
故选：C.
5. 在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（ ）
A. 2B. 3C. ±2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，再利用等差中项运算求解.
【详解】由题意可得：
∵{an}为等差数列，则
∴
故选：D.
6. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（ ）
A. B. C. ±2D. ±4
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义得到，求出即可，把点代入抛物线方程即可求解.
【详解】解：因为抛物线方程为，
所以其准线方程为，
因为抛物线的上一点到其焦点的距离为3，
所以，
所以，，解答，
故选：B.
7. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得：，解得：，
当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，
当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，
本题选择C选项.
8. 已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．
【详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，
圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为9．
故选：．
【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9 如果，且，那么直线通过（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】
化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】由直线方程，可化为，
因为，且，可得，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：ABD.
10. 已知Sn为等差数列{an}前n项和，a3＋S5＝－18，a6＝－a3，则（ ）
A. an＝2n－9B. an＝2n－7
C. Sn＝n2－8nD. Sn＝n2－6n
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等差数列的前n项和公式以及通项公式求出首项与公差进而可以求出结果.
【详解】因为，所以．又，所以，，则，．
故选：AC
11. 设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则，，仍为等差数列
B. 若为等比数列，则，，仍为等比数列
C. 若为等差数列，则（a为正常数）为等比数列
D. 若为等比数列，则为等差数列
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，表达出等差数列的前项和，，，验证，得到A正确；
BD选项，举出反例即可；
C选项，求出，得到，从而判断出C正确.
【详解】因为为等差数列，所以，
，，
故，
，
所以，
故，，仍为等差数列，A正确；
若为等比数列，当
为偶数时，所以，，
都等于0，不为等比数列，B错误；
若为等差数列，设，则
，为不等式0的定值，所以（a为正常数）为等比数列，C正确；
若为等比数列，设，当，，则，
此时无意义，故D错误.
故选：AC
12. 已知曲线，其中m为非零常数且．则下列结论中正确的有（ ）
A. 当时，曲线C是一个圆
B. 当时，曲线C的离心率为
C. 当时，曲线C的渐近线方程为
D. 当且时，曲线C的焦点坐标分别为和
【答案】ABD
【解析】
【分析】把方程与圆、圆锥曲线的标准方程比较得出相应曲线，然后再求解相应的性质．如离心率、渐近线、焦点坐标．
【详解】时，方程可化为，表示圆，A正确；
时，方程可化为，表示椭圆，其中长半轴长为，短半轴长为，因此半焦距为，离心率为，B正确；
时，方程可化为，表示双曲线，其渐近线方程为，即，C错；
时，方程可化为，表示双曲线，半焦距为，
焦点坐标为，
当时，方程可化为，表示椭圆，长半轴长为，半焦距为，焦点坐标为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：本题考查二次方程表示的曲线．方程表示的曲线：
（1）在时表示双曲线，时，焦点在轴，，焦点在轴；
（2）时，方程表示圆；
（3），方程表示焦点在轴上的椭圆，，方程表示焦点在轴上的椭圆．
（4）时，方程无解；
（5）或时方程表示两条直线．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知直线l的倾斜角是135°.且过点，则直线l在y轴上的截距是__________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据倾斜角求出斜率，又过点，即可求出结果.
【详解】设直线的表达式为，
∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率，
又∵直线过点，∴，即，
∴，
故答案为：.
14. 数列满足，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法，结合等比数列的前项公式，即得.
【详解】因为，
所以，，…，，
所以，
所以，
当时，，也符合，
故.
故答案为：.
15. 两等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且，则=__________．
【答案】
【解析】
【详解】数列{an}和{bn}为等差数列，所以.
点睛：等差数列的常考性质：{an}是等差数列，若m+n=p+q,则.
16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值.
【详解】解：如图，
M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，
则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，在平时备考中要注意多总结.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．
（1）求AC边中线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）4x+y-10=0
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解AC的中点M的坐标，利用直线方程的点斜式，即得解；
（2）先求解直线AC的方程，点B到直线AC的距离即为△ABC的AC边的高，利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
△ABC的顶点坐标为A（-3，9）、B（2，2）、C（5，3），
所以AC的中点M的坐标为（，）=（1，6），
所以AC边中线所在直线BM的方程为​​​​​​​，
即AC边中线所在直线的方程为4x+y-10=0；
【小问2详解】
由题意可得，直线AC的方程为，即3x+4y-27=0，
所以点B到直线AC的距离为h=，
,
则△ABC的面积为．
18. 已知数列{an}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1＝1，且，，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．
【答案】（1）an=n
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，，用基本量表示，求解即可；
（2）裂项相消法求和，分析即得证.
【小问1详解】
设{an}的公差为d．
因为成等比数列，所以．
即．
化简得，即d2=a1d．
又a1=1，且d≠0，解得d=1．
所以有an=a1+（n-1）d=n．
【小问2详解】
由（1）得：．
所以．
因此，Tn＜1．
19. 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.
（1）求圆A的方程;
（2）当时，求直线l的方程.
【答案】（1）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；
选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可；
选③：根据两圆公切线的性质进行求解即可.
（2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
选①：因为圆A与直线相切，
所以圆A的半径为，
因此圆A的方程为；
选②：因为圆A与圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，
所以圆A的方程为；
选③：设圆的圆心为，两圆的一条公切线为
两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：
设圆A的半径，
因此有：，
所以圆A方程为；
【小问2详解】
三种选择圆A的方程都是，
当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，
把代入中，得，
显然，符合题意，
当过点的动直线l存在斜率时，设为，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，
因为，所以有，
即方程为：
综上所述：直线l的方程为，或.
20. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列{bn}中，b1＝2，点P（bn，bn+1}在一次函数y＝x+2的图象上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（2）设cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，即{bn}为等差数列，利用等差数列的通项公式可得，由，项和转换可得，利用等比数列的通项公式可求解；
（2）利用乘公比错位相减法，可求解Tn．
【小问1详解】
在数列中，，点在直线上．
得：，且，
故数列{bn}为等差数列，
所以；
由...①
得...②（）；
将两式相减得：；
即；
∴（），
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
由，
得：...①
​...②
①-②得，
，
所以.
21. 已知椭圆C：1（a＞b＞0）长轴长为4，且椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐标轴原点，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意a=2，离心率为，结合b2=a2-c2求解即可；
（2）将直线与椭圆联立，由题意知OP⊥OQ，用坐标表示，结合韦达定理即得解.
【小问1详解】
因为长轴长为4，所以a=2，
又因为椭圆C的离心率为，所以，
∴b2=a2-c2，b2=2，
所以椭圆C的方程为：．
【小问2详解】
设P（x1y1），Q（x2，y2），l的方程为y=x+m，
由x2+2y2=4且y=x+m得3x2+4mx+2m2-4=0，
令=（4m）2-4⋅3⋅（2m2-4）＞0，（1）
∴，
∴，
由题意知OP⊥OQ，
故x1x2+y1y2=0，
，
解得或，验证知满足（1），
所以直线的方程为：或．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：．
（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A(0，-1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
【答案】（1）[－2，1]；（2）y＝±x＋.
【解析】
【分析】(1)设动点T(x0，y0)，应用向量数量积的坐标表示可得＝x02＋y02－3，结合T在椭圆上，用x0表示y0且确定x0范围，即可求得的范围；(2)由题意可设直线为y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)，结合椭圆方程得到一元二次方程，由根与系数关系即有交点B，D横坐标与参数k、m的等量关系，依据△ABD是等腰直角三角形的相关性质，求得k、m的值进而确定直线方程
【详解】（1）因为椭圆C：＋y2＝1，所以F1(－，0)，F2(，0)．
设T(x0，y0)，则 ·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x02＋y02－3
因为点T(x0，y0)在椭圆C上，即＋y02＝1，所以·＝x02－2，且x02∈[0，4]
∴·的取值范围是[－2，1]．
（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程y＝kx＋m (m≠－1，k≠0)
设B(x1，y1)，Ｄ(x2，y2)，由得：(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0
∴x1＋x2＝－，x1x2＝．
∵△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形
∴AB⊥AD，即 ·＝0
即 (y1＋1)( y2＋1)＋x1x2＝0，得(kx1＋m＋1)( kx2＋m＋1)＋x1x2＝0
从而 (1＋k2) x1x2＋k(m＋1)( x1＋x2)＋(m＋1)2＝0
即 (1＋k2)×－k(m＋1)×＋(m＋1)2＝0
也即 4(1＋k2)( m－1)－8k2m＋(1＋4k2) (m＋1)＝0，解得m＝
又线段BD的中点M(－，)，且AM⊥BD，所以＝－，即3m＝1＋4k2，解得k＝±．
又当k＝±，m＝时，△＝64k2m2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝＞0，
∴满足条件的直线l的方程为y＝±x＋
【点睛】本题考查了椭圆上点的两条焦半径，所对应向量的数量积范围，由直线与椭圆的关系求直线方程；其中应用了向量数量积的坐标表示，及一元二次方程根与系数关系并结合等腰直角三角形性质求参数值，注意所求得参数需要根据一元二次方程有不等的实根代入中验证判别式是否大于0，进而得到直线方程