上海市徐汇中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份上海市徐汇中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版），共8页。
1. 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为________.
【答案】平行或相交
【解析】
【详解】三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行,故填平行或相交.
2. 已知球的体积为，则该球的半径为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用球的体积公式即可求得.
【详解】设该球的半径为r，则，解得：r=3.
故答案为：3.
3. 一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为______
【答案】
【解析】
【分析】根据直观图与原图形的面积关系直接求得.
【详解】一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的面积为：，
即原图形的面积为12.
由得：直观图的面积为.
故答案为：.
4. 羊村村长慢羊羊决定从羊村派羊去割草，每只羊去割草都是相互独立的，且每只羊被选中去割草的概率为，则喜羊羊、美羊羊、懒羊羊都去割草的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用事件的独立性直接计算即可.
【详解】由事件相互独立，
则，
故答案为：
5. 直线m和平面所成角为，则直线m和平面内任意直线所成角的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为，由三垂线定理可得当该平面内的直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为，达到最大值．由此即可得到本题答案．
【详解】
直线为，平面为，为内的任意一条直线．
根据直线与平面所成角的定义，
可得与平面所成的角是与平面内所有直线所成角中最小的角，
直线与平面内的直线所成角的最小值为，
当平面内的直线与直线在平面内的射影垂直时，，与也垂直，
此时，所成的角，达到所成角中的最大值．
因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是.
故答案为： .
6. 用一个半径为10厘米的半圆纸片做成一个忽略接缝的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则它的最高点到桌面的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，利用圆的周长公式解得底面直径AB=10，在△PAB中解三角形，即可得出．
【详解】如图所示，
设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，，解得AB=10，
∴△PAB是等边三角形，
∴．
∴它的最高点到桌面的距离为cm．
故答案为：cm．
7. 空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】空间四边形中，分别取、、、的中点、、、，连接、、、，则连接各边中点所得四边形的面积是，由此能求出结果．
【详解】如图，空间四边形中，
两对角线的长、的长分别为6和8，所成的角为，
分别取、、、的中点、、、，连接、、、，
则，且，
，且，
或，
连接各边中点所得四边形的面积是：
．
故答案为：．
8. 设地球的半径为R，在北纬圏上的两地A､B的经度差为，则A，B两地的球面距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】在纬度圏上求得弦长，然后求出弦所对球心角，最后由弧长公式得球面距离．
【详解】如图，是球心，是北纬圏的圆心，则，，
，
，
所以，则，
所以A，B两地的球面距离即为在大圆上劣弧长为．
故答案为：．
9. 如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小为________.
【答案】
【解析】
【分析】连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，根据分别是的中点，得到，则是异面直线与所成的角，然后利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：
连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，
又因为分别是中点，
所以，
所以是异面直线与所成的角，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
故答案为：
10. 如图，质点从正方体的顶点出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过，第二次运动经过，第三次运动经过，且对于任意的正整数，第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2021次运动后，点到达的顶点为________点
【答案】
【解析】
【分析】由题意设第次运动前起始点为，分析第次运动后所在的位置与的位置关系即可.
【详解】由题，不妨设第次运动前质点在点处，则第次运动经过的或，
当第次运动经过时，第次运动经过或，又第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，故第次运动只能经过或，即第次运动后只可能在处，同理当第次运动经过时也有第次运动后只可能在处，故从开始第3次运动后必定在，第6次运动后必定回到,即6次运动为一个周期，又,故经过2021次运动后与经过5次后的位置相同,即处.
故答案为：.
11. 已知圆锥的母线长为，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，则此圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断两条母线的夹角时最大截面三角形的面积为，再建立不等式和，最后求出的取值范围即可.
【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：（为两母线的夹角），
因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，即两条母线的夹角时的截面面积，
此时底面弦长为，所以，又，所以，
故答案为：
【点睛】本题考查空间几何体，是基础题.
12. 一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为_______________
【答案】
【解析】
【分析】由题意知该几何体是圆柱，，设（），则，利用复合函数的单调性得出的单调性，得出最大值，设，则，是方程的两个解，由韦达定理求得，然后可用表示出圆柱的体积，从而求得最大值．
【详解】如图，由题意知该几何体是圆柱，，记（），则，
，由勾形函数性质知在上递减，在上递增，又，
所以在上递增，在上递减，所以，
，设，则，
由，得，
，，，
圆柱体积为，
所以，即时，．
故答案为：．
二.选择题（4*4=16分）
13. 下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②某人买彩票中奖；
③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；
④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可．
【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件．
某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件
从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件
在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件
故随机事件有2个，
故选：B．
14. 若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“”、“”之间的充分、必要关系.
【详解】∵，是平面外的两条不同的直线，，
∴若，则推出“”；若，则或与相交；
∴若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
15. 将一个各面均涂有油漆的正方体，锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅拌在一起，然后从中任取一个小正方体，则恰好是一个具有两面漆的正方体的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，可得基本事件的总数有1000个，然后计算出满足条件两面有油漆的基本事件个数，代入率公式即可得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，
其中满足两面漆有油漆的小正方体有个，
从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率.
故选：A．
16. 如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（ ）
A. 3B. 5C. 9D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可知点在平面上，并且由几何意义可知平面，利用数量积的几何意义求的不同取值的个数.
【详解】条件“且”，说明点在平面上，而说明为平面的中心，此时平面，由向量数量积的几何意义，在的投影有5种情况：0、、，∴数量积的不同取值的个数是5，
故选：B．
【点睛】本题考查空间向量共面定理应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.
三.解答题（8+8+8+10+12=46分）
17. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，得出平面，故而即为所求角，利用勾股定理得出，即可得出；
（2）过作，垂足为，通过证明平面平面得出平面，利用等面积法求出；
【详解】解：（1）平面，平面，
，
是圆的直径，
，
又平面，平面，，
平面．
是与平面所成的角．
，，
．
直线与平面所成角的大小为．
（2）过作，垂足为，
由（1）得平面，平面，
平面平面，
又平面平面，平面，，
平面．
，．
．
即到平面的距离为．
18. 如图，几何体中，是正三角形，和都垂直于平面，且， 分别为和的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）证明是平行四边形得，从而得证线面平行；
（2）作，垂足为，连接，证明是二面角的平面角，然后在直角中求得其正切值．
【小问1详解】
证明：因为和都垂直于平面，所以，
分别为和的中点，所以，，而，
所以且，
所以是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
平面，平面，所以，由（1），同理，
又是等边三角形，是中点，，
，平面，所以平面，
平面，所以，
作，垂足为，连接，
因为，平面，所以平面，而平面，
所以，所以是二面角的平面角，
同理由平面，平面，得，
由已知，，，
，
．
19. 已知正三棱柱的所有棱长都是1
（1）画经过ABC三点截面
（2）过棱BC作和底面成二面角的截面，求此截面面积.
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接AB与交于点P，连接AC与交于点Q，再连接PQ即可；
（2）取BC的中点E，连接AE，EF，得到 是截面与底面所成的角，由，得到截面不与棱相交，与平面相交于，得到截面为梯形求解.
【小问1详解】
如图所示；
连接AB与交于点P，连接AC与交于点Q，
然后连接PQ与交于点M，与交于点N，
所以经过ABC三点的截面是ABMN；
【小问2详解】
如图所示：
取BC的中点E，连接AE，EF，
则，
所以是截面与底面所成的角，即，
因为，
所以，
所以截面不与棱相交，与平面相交于，
因为平面平面ABC，
所以，
所以截面为梯形，
又，，
所以，
因为，
所以，
所以截面的面积为.
20. 如图，底面为矩形的直棱柱满足：，.
（1）设为棱上的动点，求M到的最短距离
（2）设、分别为棱、上的动点，判断：三棱锥的体积是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请举例说明.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
（2）根据点N到平面的距离为BC，求解.
【小问1详解】
解：建立如图所示空间直角坐标系：
设，则，
所以，
所以M到的距离为，
当时，M到的最短距离是；
【小问2详解】
因为点N到平面的距离为BC，，
所以为定值.
21. 已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形.
（1）若该三棱锥的侧棱长为，且两两成角为，设质点W自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
（3）若该锥体的体积为定值，求这三棱锥侧面与底面所成的角，使该三棱锥的表面积最小.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图即可求解；
（2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解；
（3）设为点在底面投影，点到的距离为，利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解.
【小问1详解】
如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
由余弦定理得，，
所以质点移动路程的最小值为.
【小问2详解】
设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为,圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为.
【小问3详解】
设为点在底面的投影，设点到的距离为，于点，
则，连接，则，所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以 ，
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以
，
令，则，又，所以
所以
，
当且仅当即，时等号成立，
取得最小值，取得最小值，此时，
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角为时其表面积最小.