长郡中学高三数学上学期期中模拟卷（一）

这是一份长郡中学高三数学上学期期中模拟卷（一），共8页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分， 已知抛物线， 在直角梯形中，，，且，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】，所以对应的点位于第三象限．
2． 已知集合，集合且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，集合中，由，得，又，所以，，．
3． 已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是第二象限角，所以，，再由，，可得．
4． 函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图容易判断，两图象有两个交点，故原函数有2个零点．
5． “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．
已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】正方体的体积为，其内切球的体积为，由条件可知牟合方盖的体积为，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为．
6． 已知抛物线：（）的焦点为，以为圆心，为半径的圆与抛物线交于点，，与轴的正半轴交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，，设抛物线准线与轴的交点为，则，所以四边形是正方形，则，又，所以．
7． 若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，作出函数和的大致图象．联立和，得交点，的横坐标分别是，，注意到点是二次函数图象的最低点，所以若，则当时，单调递减，不符合题意；当时符合题意；当时，会出现，即在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；当时，符合题意．
8． 在直角梯形中，，，且，．若线段上存在唯一的点满足，则线段的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，以为坐标原点，和分别为轴和轴正方向建立直角坐标系．设的长为，则，，所以，解得或，由点存在且唯一，知的长的取值范围是．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I、II、III、IV、V、劣V类六个类別，其中I、II类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能．环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图．从统计图中能够得到的合理推断是
A．浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况
B．辽河流域I～III类水质占比小于
C．黄河流域的水质比长江流域的水质要好
D．IV、V类水质所占的比例最高的是淮河流域
【答案】ABD
【解析】由图易知A，B，D正确，对于C，黄河流域的水质比长江流域的水质要差．
10．已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】递增的等比数列包括两种情况：时，或时，．故，，BD正确．
11．已知函数，设，，则成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】易知函数和函数都是偶函数，所以函数是偶函数．又当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减．自变量离原点越远，函数值越大，所以若，必有．易知只有C，D符合题意．
12．对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（ ）
A．若点是线段的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形中，有
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；对于B，取，，，则，而，不满足，故B错误；对于C，设，则，因为，同理，所以，故C正确；对于D，设正方形的边长为，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设与轴的夹角为，由图可知，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若对任意的且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】，所以点的坐标为．
14．已知双曲线：（，）的右顶点为．若到的一条渐近线的距离为1，则的离心率为 .
【答案】
【解析】由已知得的一条渐近线的倾斜角为，即，所以的离心率为．
15．已知函数（）的图象如图所示，点和分别是最低点和最高点，是的图象与轴的一个交点，轴于点，为坐标原点，若且，则 .
【答案】
【解析】由已知得的最小正周期，所以，所以，，则，，所以，化简得，解得，又，所以．
16．在空间直角坐标系中，已知点，，，若平面轴，且，则直线与平面所成的角的正弦值为 .
【答案】
【解析】，，由平面平行于轴，可设平面的法向量为，则，所以可取，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用，两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片．这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的．称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”．调查结果统计如下：
（1）分别求盲测组和对照组认为品牌相机拍摄的照片更好的概率；
（2）判断是否有的把握认为相机的品牌对用户有影响．
附：，其中．
【答案】（1）；；（2）有把握，理由见解析
【解析】（1）由题中数据可知：
盲测组认为品牌相机拍摄的照片更好的概率为；
对照组认为品牌相机拍摄的照片更好的概率为．
（2）零假设为：用户选择的照片与相机品牌之间无关，即相机的品牌对用户无影响．
根据所给数据可得，
因为，根据独立性检验推断不成立，即认为相机的品牌对用户有影响，此推断犯错误的概率不超过，即有的把握认为相机的品牌对用户有影响．
18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的最小值．
【答案】（1）；（2）48
【解析】（1）由及正弦定理得，
所以，即．
因为，所以．
（2）由题意知，即，
由余弦定理知，
即，因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为48．
19．（12分）已知等差数列满足，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列的前项和．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设数列的公差为，
因为，，成等差数列，所以，
即，
代入，解得，
所以的通项公式为．
（2），
所以，
即数列的前项和．
20．（12分）如图所示，在多面体中，底面是边长为2的正方形，底面，底面，点在底面内的投影为正方形的中心．
（1）在图中作出平面与平面的交线（不必说出画法和理由）；
（2）设二面角的大小为，求的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】（1）作图步骤：如图，延长与直线交于点，连接．直线即平面与平面的交线．
理由：由已知平面，平面，所以，
又，，共线，所以点，，，共面．
显然直线与直线不平行，即与必存在交点，
点在平面和平面内，又因为点也在平面和平面内，所以直线是平面与平面的交线．
（2）方法一：如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分別为，，轴建立空间直角坐标系．
设（），则，，，所以，，
设平面的法向量为，则且，
所以，令，则．
同理可得平面的一个法向量为．
由图可知，的夹角为二面角的平面角的补角，
所以，解得，得．
方法二：连接，．
因为平面，所以，
在正方形中，，
又因为，所以平面．
因为平面，所以，所以平面．
因此就是二面角的平面角．
所以，所以．
因为正方形的边长为2，所以，
所以，
所以．
21．（12分）已知椭圆：（）的右焦点为，上顶点为，过点与轴垂直的直线交于，两点（点在第一象限），为坐标原点，四边形是面积为的平行四边形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，过点的直线交椭圆于点，，交轴的正半轴于点，点为线段的中点，，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，将代人椭圆方程，得，
所以，，则，
由四边形是平行四边形知，即，得，
所以，
又平行四边形的面积，
所以，，，
所以椭圆的方程为．
（2）易知直线的斜率，设，则可得直线的方程为，
联立，消去整理得．
由，得．
设，，，，
则，
在中令，得，
所以，，
所以，
解得或（舍去），满足，
综上，直线的斜率．
22．（12分）已知函数．
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，若当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）
【解析】（1）由条件得，
当时，有，，，所以，
即在上单调递减，
因此在区间上的最大值为，最小值为．
（2）由题意得，
所以，
若，当时，有，
所以在上单调递增，所以，符合题意．
若，令，则，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，，所以在上存在一个零点，
当时，，即，所以单调递减，此时，不符合题意．
综上可知，的取值范围是．
选择品牌相机拍摄的照片
选择品牌相机拍摄的照片
盲测组
66
34
对照组
44
56