考点08 解一元一次方程的步骤和4种特殊方程的解法-【考点通关】2023-2024学年七年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

这是一份考点08 解一元一次方程的步骤和4种特殊方程的解法-【考点通关】2023-2024学年七年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），共8页。试卷主要包含了解方程和比例，求未知数x，解下列方程，解方程，解方程∶等内容，欢迎下载使用。

1 一元一次方程的步骤
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
2 含绝对值的方程的解法
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
此类问题一般先把方程化为的形式，分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
3 含字母的方程的解法
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
当a≠0时，；
当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；
（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
4 同解方程
同解一次方程求参数，解题的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．
5 整数解问题
考点1 一元一次方程的步骤-移项和合并同类型
考点2 一元一次方程的步骤-去括号
考点3 一元一次方程的步骤-去分母
考点4 含绝对值的方程的解法
考点5 含字母的方程的解法
考点6 同解方程
考点7 整数解问题
考点1 一元一次方程的步骤-移项和合并同类型
1．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）解方程和比例
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程两边同时加上，两边再同时除以11；
（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以6．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）
，
．
【点睛】本题考查了解方程和解比例，熟练掌握等式的基本性质和比例的基本性质是解题的关键．
2．（2023秋·福建南平·七年级福建省光泽第一中学校考开学考试）求未知数x．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）先合并，再利用等式的性质求解；
（2）先合并，再利用等式的性质求解；
（3）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积即可求解；
（4）先合并，再利用等式的性质求解．
【详解】（1）解：，
合并得，
解得；
（2）解：，
合并得，
解得；
（3）解：，
整理得，即，
解得；
（4）解：，
整理得，即，
解得．
【点睛】本题主要考查解比例，根据比例的基本性质和等式的性质进行解答即可．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）解下列方程：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解一元一次方程——移项合并同类项进行计算即可；
（2）根据解一元一次方程——移项合并同类项进行计算即可．
【详解】（1）解：移项得
合并得
系数化为1得；
（2）移项得
合并得
系数化为1得．
【点睛】本题考查解一元一次方程——移项合并同类项，掌握一元一次方程的解法是解决此题的关键．
4．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】此题考查了一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知系数化为1，求出解．
考点2 一元一次方程的步骤-去括号
5．（2020秋·广东湛江·七年级校考期末）解方程：
【答案】
【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
6．（2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学校考期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
所以；
（2）解：去括号，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
7．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可得到答案；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
原方程的解为：；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，是解题的关键．
8．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期中）解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可．
【详解】（1）解：去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
（2）去分母，得：
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．
考点3 一元一次方程的步骤-去分母
9．（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】解：去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
10．（2022秋·山东东营·六年级校考期末）解方程∶
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据一元一次方程的求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（2）根据一元一次方程的求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（3）根据一元一次方程的求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（4）根据一元一次方程的求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
（4）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的求解步骤．
11．（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
12．（2021秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）解方程：
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为”，由此即可求解．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程的方法，掌握解方程的方法是解题的关键．
考点4 含绝对值的方程的解法
13．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．
解：①当时，即时，
原式；
②当，即时，
原式
这种解题的方法叫“分类讨论法”．
请你用“分类讨论法”解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）分两种情况讨论，当时或时，先去掉绝对值，再化简即可．
（2）分两种情况讨论，当时或时，去掉绝对值，再化简即可．
【详解】（1）解：①当时，
即，
，
解得：；
②当，
即，
，
解得：；
方程的解为或；
（2）①当时，
即，
，
解得：；
②当，
即，
，
解得：；
方程的解为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．
14．（2022秋·全国·七年级专题练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
【答案】（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解
【分析】（1）分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
（2）分类讨论：x＜-3，-3≤x≤1，x＞1，分别求解方程，再根据x的范围算出a的取值，从而分类讨论得出解的情况．
【详解】解：（1）当x＜1时，方程可化为：，
解得x=-1，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：，
解得x=，符合题意．
所以，原方程的解为：x=-1或x=；
（2）当x＜-3时，方程可化为：
，
解得：，
则，解得：，
当-3≤x≤1时，方程可化为：，
当x＞1时，方程可化为：，
解得：，
则，解得：，
综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）【现场学习】
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：|x|=2，|2x﹣1|=3，||﹣x=1，…都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由|x|=2，可得x=2或x=﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|=3．
我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1=3或2x﹣1=．
解这两个一元一次方程，得x=2或x=﹣1．
检验：
（1）当x=2时，
原方程的左边=|2x﹣1|=|2×2﹣1|=3，
原方程的右边=3，
∵左边=右边
∴x=2是原方程的解．
（2）当x=﹣1时，
原方程的左边=|2x﹣1|=|2×（﹣1）﹣1|=3，
原方程的右边=3，
∵左边=右边
∴x=﹣1是原方程的解．
综合（1）（2）可知，原方程的解是：x=2，x=﹣1．
【解决问题】
解方程：||﹣x=1．
【答案】原方程的解是：x=﹣．
【分析】根据去绝对值符号解决方程的问题，通过去绝对值符号将方程变成我们熟悉的一元一次方程，再通过检验的方法验证方程的解是否正确．
【详解】解：原方程变形为：||=x+1，
根据绝对值的意义，得=1+x或=﹣（1+x），
解得：x=﹣3或x=﹣，
经检验：x=﹣3不是原方程的解，x=﹣是原方程的解，
所以，原方程的解是：x=﹣．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是读懂题意，一定要检验．
16．（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）若的绝对值与的绝对值相等，则的值是多少？
【答案】或
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：依题意得，
∴①，②
由①得，解得，
由②得，解得，
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
考点5 含字母的方程的解法
17．（2023·全国·九年级专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把原方程化为，可得当，即时，，此时方程有无穷多个解，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴当，即时，，此时方程有无穷多个解，
∴当时，方程有无穷多个解．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
18．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若方程有无数多个解，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】先将方程进行化简，得到，再根据方程有无数个解，得出且，据此即可求解．
【详解】解：，
，
方程有无数多个解，
且，
解得，，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程有无数解的情况，解题的关键是掌握：关于x的一元一次方程，当且时，该方程有无数个解．
19．（2022秋·七年级课时练习）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围（ ）
A．任意实数B．C．D．
【答案】D
【分析】根据ax=b中当a=0，b≠0方程无解可知当m-2=0时关于的方程无解．
【详解】解：由题意得：当m-2=0时关于的方程无解，
解得m=2，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程无解的情况，根据题意得出关于m-2=0是解题关键．
20．（2022秋·七年级课时练习）若关于的方程无解，则，的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】先把原方程转化为，根据原方程无解得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于的方程无解，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是解题的关键．
考点6 同解方程
21．（2023春·河南周口·七年级校考期中）已知关于x的方程与属于同解方程，求m的值．
【答案】
【分析】解方程得到，根据关于x的方程与属于同解方程得到，解得m的值．
【详解】解：，
得．
∵方程与属于同解方程，
∴，整理得：
，
解得．
【点睛】此题考查了一元一次方程和同解方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
22．（2023秋·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值；
(2)若关于x的两个方程与是同解方程，求a的值；
(3)若关于x的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)，或
【分析】（1）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可；
（2）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到关于a的方程，解方程即可得到答案；
（3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵方程与关于x的方程是同解方程，
∴方程的解为，
∴，
∴；
（2）解：解方程得：，
解方程得：；
∵关于x的两个方程与是同解方程，
∴，
解得；
（3）解：解方程得：，
解方程得：；
∵关于x的两个方程与是同解方程，
∴，
∴，
∵m，n都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查了同解方程问题，熟知解一元一次方程的方法和同解方程的定义是解题的关键．
23．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于的方程与方程的解相同，求方程的解．
【答案】
【分析】先表示出两方程的解，由两方程为同解方程，求出m的值，进而确定出方程的解．
【详解】解：方程，解得：，
方程，解得：，
由题意得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
代入得：．
【点睛】此题考查了同解方程，同解方程即为两方程的解相同，理解题意，正确计算是本题的解题关键．
24．（2022秋·湖北宜昌·七年级统考期中）已知关于的方程与方程有相同解，求的值．
【答案】
【分析】先求出第二个方程的解，把代入第一个方程，求出的值即可．
【详解】解：，
，
，
，
把​代入方程得：，
解得：​．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的方程，难度不是很大．
考点7 整数解问题
25．（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（ ）
A．B．或
C．或或D．或或或
【答案】A
【分析】先解关于x的方程得到，然后根据整数的整除性求解．
【详解】解：整理得，
∴，
∵x为整数，m为正整数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
26．（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）已知关于x的方程有正整数解，则整数a的所有可能的取值的积为（ ）
A．B．C．45D．
【答案】C
【分析】先去分母，再去括号，可得，然后分两种情况：当时，当时，再由是正整数，可求出整数a的所有可能的取值，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
∴，
当时，不成立，
当时，解得：，
∵是正整数，
∴或时，x的解都是正整数，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
27．（2022秋·七年级课时练习）若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可．
【详解】∵，
∴x=，
∵一元一次方程有非正整数解，
∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6，
∴符合条件的所有整数之和为6+3-1-2-3-6=，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．
28．（2022秋·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程kx＝﹣4有负整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据题意解一元一次方程，根据为负整数解求解即可
【详解】解：
解得
为负整数，
则
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次方程，求得4的因数是解题的关键．
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒