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考点13 点与圆的位置关系的8大题型解法归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）
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这是一份考点13 点与圆的位置关系的8大题型解法归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），共8页。试卷主要包含了反证法，用反证法证明命题的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
判断点和圆的位置关系时，常常转化为判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系。
(1)一个点确定以后，它相对于圆的位置关系是唯一的，只能是上述三种情况之一.当一个点的位置不确定时，有时要对它的位置进行分类讨论；
(2)利用d与r的数量关系可以判断点和圆的位置关系.同样，知道了点和圆的位置关系，也可以确定d与r的数量关系。
2利用点与圆的位置关系求半径
利用d与r的数量关系可以判断点和圆的位置关系，来判断线段的长度，需要构造直角三角形时，可利用勾股定理求得。
3 确定圆的条件
4 三角形的外接圆
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。
5 找三角形外心的方法
三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，故可以作三角形任意两边的垂直平分线，它们的交点即为该三角形的外心。
6 反证法证明命题的步骤
1.反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设与基本事、理、定义或已知条件等不符，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法。反证法是一种间接证明命题真假的方法。
2.用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从假设出发，经过推理论证，得出与基本事实、定理或已知条件等相矛盾的结论；
(3)由矛盾判定所作假设不正确，从而判定原命题的结论正确
7 判断点与圆的位置关系
已知某点的坐标，判断这个点和坐标系中圆的位置关系的方法：先构造直角三角形，运用勾股定理计算出此点与圆心之间的距离，再比较此距离与圆的半径的大小，得出结论。
8 与三角形的外心有关的计算方法
三角形的外心即三角形外接圆的圆心，常利用圆的半径或直径构造相应的直角三角形，根据圆周角定理及垂径定理，求相关角的度数或线段的长度.
考点1 判断点与圆的位置关系的方法
考点2 利用点与圆的位置关系求半径
考点3 确定圆的条件
考点4三角形的外接圆
考点5 找三角形外心的方法
考点6 反证法证明命题的步骤
考点7 判断点与圆的位置关系
考点8 与三角形的外心有关的计算方法
考点1 判断点与圆的位置关系的方法
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知的半径为1，若，则点A在（）
A．内B．上C．外D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解∶，
点A在外．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：①点P在圆外．②点P在圆上．③点P在圆内．
2．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）若的半径为，，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外B．点在上C．点在内D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案．
【详解】解：∵点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内．
故选C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．
3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，以点A为圆心，长为半径作，则原点O与的位置关系是（ ）
A．点O在上B．点O在外C．点O在内D．以上皆有可能
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出的半径，根据可得出点O在内．
【详解】解：平面直角坐标系中，点，点，
，，
，即的半径，
，
点O在内，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，解题的关键是根据勾股定理求得的半径．
4．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点（ ）
A．在圆内B．在圆上
C．在圆外D．在圆上或圆外
【答案】C
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵点P到圆心O的距离为，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
5．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．点P不在内
【答案】A
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由中位线的性质得，最后根据点和圆的位置关系即可解答．
【详解】解：如图：连接
∵在中，，，，是斜边上的中线，
∴
∵点以为直径作
∴
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴点在内．
故选A．
【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质等知识点，，求出点到圆心的距离是关键．
考点2 利用点与圆的位置关系求半径
6．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）已知点在圆外，它到圆的最近距离是，到圆的最远距离是，则圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】搞清楚P点到圆上点的最近距离与到圆上点的最远距离的差为直径（P为圆外一点），本题易解．
【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为，到圆上点的最远距离为，则圆的直径是7-1=，因而半径是．
故选：A
【点睛】本题考查了点和圆，正确理解圆的直径的长度是解决本题的关键．
7．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
8．（2021秋·全国·九年级专题练习）已知中，，，，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，得AB=5，由P为AB的中点，得CP=，要使点A，P在⊙C内，r＞3，r＜4，从而确定r的取值范围.
【详解】∵点A在⊙C内，
∴r＞3，
∵点B在⊙C外，
∴r＜4，
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，利用数形结合思想是解题的关键.
9．（2021秋·全国·九年级专题练习）平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或8cmD．6cm
【答案】C
【分析】由题意，需分点P在⊙O内、点P在⊙O外；当在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径，当在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径.
【详解】设⊙O的直径为，当点P在圆内时，
当点P在⊙O外时，
故选：C.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，依题意得出需分点在圆内和点在圆外两种情形是解题关键.
10．（2020秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，若点B在⊙A外，则a的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．5D．6
【答案】D
【分析】根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】由题意，点B在⊙A外，则d=a-2＞3，解得：a＞5，只有6符合条件．
故选D．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
考点3 确定圆的条件
11．（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．
【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题；
B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题；
C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据确定一个圆的条件，圆周角定理，圆心角定理，圆的对称轴的知识即可判断正误．
【详解】A．经过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，B选项错误，所以B选项不符合题意；
C．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，C选项错误，所以C选项不符合题意；
D．等弧所对的圆周角相等，D选项正确，所以D选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查确定一个圆的条件，圆周角定理，圆心角定理，圆的对称轴，解题的关键是熟练掌握圆的相关定理．
13．（2023秋·九年级课前预习）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0B．1C．2D．0或1
【答案】D
【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
考点：确定圆的条件．
15．（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
考点4 三角形的外接圆
16．（2022春·九年级课时练习）有下列四个命题，其中正确的个数是（ ）
（1）经过三个点一定可以作一个圆；
（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆；
（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；
（4）在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的概念、垂径定理的推论判断即可．
【详解】（1）经过不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆，故本说法错误；
（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆，本说法正确；
（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，本说法正确；
（4）在圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
18．（2022秋·河南新乡·九年级河南师大附中校考期中）如图，点，，都在格点上，的外接圆的圆心坐标为（ ）
A．（5，2）B．（2，4）C．（3，3）D．（4，3）
【答案】A
【分析】根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，则可得出答案．
【详解】解：根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，
∴点P（5，2），
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形的垂直平分线，正确作图是解题的关键．
19．（2022·九年级单元测试）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．ABCB．ABEC．ABDD．ACE
【答案】C
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；
【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平角的定义得到，根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
，，
，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
考点5 找三角形外心的方法
21．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．
【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
22．（2022秋·山西大同·九年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）
【答案】C
【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．
【详解】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
23．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥x轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=-1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为-1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可．
【详解】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3），
∴直线BC∥x轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为-1，
设△ABC的外心为P（a，-1），
∴，
∴，
解得，
∴△ABC外心的坐标为（-2，-1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
24．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的作法，先做出过A，B，C三点的△ABC的外接圆，从而得出答案．
【详解】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的△ABC的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形外接圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
25．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（ ）
A．外心B．重心C．中心D．内心
【答案】A
【分析】根据网格的特点，勾股定理求得，进而即可判断点O是△ABD的外心
【详解】解：∵
∴O是△ABD的外心
故选A
【点睛】本题考查了三角形的外心的判定，勾股定理与网格，理解三角形的外心的定义是解题的关键．三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等．
考点6 反证法证明命题的步骤
26．（2023春·河南安阳·七年级统考阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角互余”是假命题的反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据余角定义和真假命题的判定进行判断即可．
【详解】解：A、，可以用来说明命题“两个锐角互余”是假命题，故本选项符合题意；
B、不是锐角，故本选项不符合题意；
C、，能说明两个锐角互余，故本选项不符合题意；
D、不是锐角，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了命题与证明、互余定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
27．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）反证法是从反面思考问题的证明方法．在运用反证法证明下面这个命题：已知，．求证：，第一步应先假设（ ）
A．B．C．D．且
【答案】A
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】运用反证法证明这个命题时，
第一步假设，
故选：A．
【点睛】本题考查反证法，反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
28．（2023秋·八年级课时练习）已知在中，，求证：．下面写出了用反证法证明该问题过程中的四个步骤：①所以，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以；③假设；④那么由，得，即．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④B．③④②①C．③④①②D．④③②①
【答案】C
【分析】由反证法的证明步骤进行判断即可．
【详解】解：反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论；
由反证法的证明步骤可知，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤应该为：
（1）假设；
（2）那么，由，得，即；
（3）所以，这与三角形内角和定理相矛盾；
（4）所以；
原命题的正确顺序应该为：③④①②．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用反证法证明命题的步骤，反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论．掌握反证法的基本步骤是解决问题的关键．
29．（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
【答案】D
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤
1、假设在中，
2、由，得，即
3、，这与三角形内角和为矛盾
4、因此假设不成立．
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②
故选：D
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
30．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°
【答案】A
【分析】找出原命题的方面即可得出假设的条件．
【详解】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，
故选A．
【点睛】本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．
考点7 判断点与圆的位置关系
31．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的中，求证：点在上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线，与相交于点O，以点O圆心，长为半径作圆，即可得到解答；
（2）连接，由（1）得直线为的垂直平分线，则，得，由由且得到，则，即，即可得证．
【详解】（1）如图所示，为所求，
；
（2）如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴且，
∴
∴，即，
∴三点共圆，点在上．
【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
32．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______；
(2)求圆半径的长度；
(3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)点在圆外
【分析】（1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点；
（2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度；
（3）根据，，求得，由圆半径的长度为，可得点在圆外．
【详解】（1）解：如图1，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点，
则．
（2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，
∵，，，
∴，
∴，
故圆半径的长度为．
（3）解：∵圆心，，
∴，
∵圆半径的长度，
又∵，
∴点在圆外．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键．
33．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、．
(1)写出圆心M的坐标为___________；
(2)这个圆的半径为___________；
(3)直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）．
【答案】(1)
(2)
(3)内
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为；
（2），，
即的半径为；
（3）圆的半径，
线段，
所以点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
34．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在矩形中，，．
(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？
(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．
【答案】(1)点在内，点在外，点在上
(2)
【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解；
（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
的半径为8，
点在内，点在外，点在上；
（2）解：，，，
又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键．
35．（2012·江苏连云港·中考真题）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′，
(1)求证：四边形OAO′B是菱形；
(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．
【答案】(1)证明：∵点O、O′关于直线y＝x＋b的对称，
∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′．
又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB．
∴AO＝AO′＝BO＝BO′．∴四边形OAO′B是菱形．
(2)解：如图，设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是
N(－b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M．
则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°．
∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN．
∴△OMP为等腰直角三角形．
当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1．
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝．
【详解】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．
(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，从而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案．
(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可．
考点8 与三角形的外心有关的计算方法
36．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，平分，
(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2．
【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：连接，设的半径为x，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
37．（2019秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在由每个边长为1的小正方形组成的9×9的网格中，点A，B，C都在格点上，点B绕点C逆时针旋转90°后的对应点为M，已知点B的坐标为(0，﹣2)（坐标轴与网格线平行）．
（1）直接写出：点C的坐标为 ，点M的坐标为 ；
（2）若平面内存在一点P，且P为△ACM的外心，直接写出点P的坐标是 ；
（3）CN平分∠BCM交y轴于点N，则N点坐标为 ．
【答案】（1）（﹣3，2），（1，5）；（2）（，0）；（3）(0，)
【分析】（1）先建立直角坐标系，作出图形，构造全等三角形，即可得出结论；
（2）先判断出PA＝PC，再判断出点P的纵坐标为0，利用PA＝PM建立方程求解即可得出结论；
（3）利用角平分线的特点构造出等腰三角形求出MF，进而求出直线CF的解析式，即可得出结论．
【详解】解：（1）建立如图1所示的平面坐标系，
由网格知，A（﹣3，-2），C（﹣3，2），
∴AC⊥x轴，AC＝4，
∵B（0,-2），
∴AB＝3，
过点M作AC的垂线交AC于D，
∴∠CDM＝∠BAC＝90°，
∴∠DCM+CMD＝90°，
由旋转知，BC＝MC，∠BCM＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠DMC，
∴△ABC≌△DCM（AAS），
∴DM＝AC＝4，CD＝AB＝3，
∴AD＝AC+CD＝7．
∴M（1，5），
故答案为（﹣3，2），（1，5）；
（2）由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），
设点P的坐标为（m，n）
∵点P是△ACM的外接圆的圆心，
∴点P到点A，C，M的距离相等，
由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），
∴n＝0，
∴P（m，0），
而PA＝ ，
∴m＝ ，
∴P（，0），
故答案为（，0）；
（3）如图3，
过点M作MF∥AC交CN于F，
∴∠CFM＝∠ACN，
∵CN是∠ACM的角平分线
∴∠ACN＝∠MCN，
∴∠MCN＝∠CFN，
∴MF＝CM，
而CM＝
∴MF＝5，
∴F（1,0），
∵C（﹣3,2），
设直线CF的解析式为 ，
将F,C代入得
解得
∴直线CF的解析式为
令x＝0，则y＝ ，
∴N（）．
故答案为（）．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形外心及待定系数法，掌握旋转的性质及三角形外心的性质是解题的关键.
38．（2021秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知，如图，点A为⊙O上的一点
（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；
（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为
【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为
【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；
（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．
【详解】接：（1）等边三角形ABC如图所示：
（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，BC=2BD，
∵⊙O半径为10，
∴，
∴，
∴，
∴三角形ABC的边长为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形外接圆的性质及等边三角形的性质，熟练掌握垂径定理、三角形外接圆的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
39．（2020秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
【答案】（1）∠CAD＝35°；（2）．
【分析】(1)由AB=AC，得到=，求得∠ABC=∠ACB，推出∠CAD=∠ACD，得到∠ACB=2∠ACD，于是得到结论；
(2)根据平角的定义得到∠BAC=40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=80°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】(1)∵AB=AC，
∴=，
∴∠ABC=∠ACB，
∵D为的中点，
∴=，
∴∠CAD=∠ACD，
∴=2，
∴∠ACB=2∠ACD，
又∵∠DAE=105°，
∴∠BCD=105°，
∴∠ACD=×105°=35°，
∴∠CAD=35°；
(2)∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，
∴∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC=80°，
∴弧BC的长==．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
40．（2023秋·全国·九年级专题练习）[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆 盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在中， ∠A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕迹) .
（2）如图3,在中，∠A=80° ，∠B=40° ，AB= ，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
（3）如图4,在中，已知AB=15， AC=12, BC=9，半径为1的在的内部任意运动，则覆盖不到的面积是
【答案】（1）见解析；（2）r=2；（3）.
【分析】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图（见解析）即可；
（2）如图（见解析），的最小覆盖圆为的外接圆，由已知条件可得，则圆心角；连接OA、OB，过O作，由等腰三角形的性质可得，在中利用勾股定理求解即可；
（3）由已知条件可是直角三角形，利用的面积减去圆的面积即可得.
【详解】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图如下：
（2）如图，的最小覆盖圆为的外接圆
连接OA、OB，过O作
（圆周角定理）
，则是等腰三角形
在中，
由勾股定理得：
解得：
故的最小覆盖圆的半径为2；
（3）
是直角三角形
又
故所求的面积为.
【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，理解题意，将其转化为三角形外接圆问题是解题关键.
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
QUOTE d>r?d>r?点 QUOTE PP在 QUOTE ⊙O⊙O的外部.
点在圆上
点在圆周上
QUOTE d=r?d=r?点 QUOTE PP在 QUOTE ⊙O⊙O的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
QUOTE d条件
依据及作法
图示
过一点A作圆
经过一个点A作圆，只要以除点A外的任意一点为圆心，以这一点到点A的距离为半径作圆即可.这样的圆有无数个，如
右图
过两点A,B作圆
经过两个点A,B作圆，要以到点A,B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到点A或点B的距离为半径作圆即可.这样的
圆有无数个，如右图
过不在同一条直线上的三点A,B,C作圆
经过不在同一条直线上的三个点A,B,C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此圆心在线段AB,BC的垂直平分线的交点0处.以点O为圆心，以OA(或OB或OC)长为半径可作出经过A,B,C三点的圆.这
样的圆只有一个，如右图
过不在同一条直线上的任意四点作圆
要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上.如右图，点D,到圆心的距离等于半径，则点D₁在圆上；点D₂,D,到圆心的距离不等
于半径，则点D₂,D,不在圆上
判断点和圆的位置关系时，常常转化为判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系。
(1)一个点确定以后，它相对于圆的位置关系是唯一的，只能是上述三种情况之一.当一个点的位置不确定时，有时要对它的位置进行分类讨论；
(2)利用d与r的数量关系可以判断点和圆的位置关系.同样，知道了点和圆的位置关系，也可以确定d与r的数量关系。
2利用点与圆的位置关系求半径
利用d与r的数量关系可以判断点和圆的位置关系，来判断线段的长度，需要构造直角三角形时，可利用勾股定理求得。
3 确定圆的条件
4 三角形的外接圆
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。
5 找三角形外心的方法
三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，故可以作三角形任意两边的垂直平分线，它们的交点即为该三角形的外心。
6 反证法证明命题的步骤
1.反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设与基本事、理、定义或已知条件等不符，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法。反证法是一种间接证明命题真假的方法。
2.用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从假设出发，经过推理论证，得出与基本事实、定理或已知条件等相矛盾的结论；
(3)由矛盾判定所作假设不正确，从而判定原命题的结论正确
7 判断点与圆的位置关系
已知某点的坐标，判断这个点和坐标系中圆的位置关系的方法：先构造直角三角形，运用勾股定理计算出此点与圆心之间的距离，再比较此距离与圆的半径的大小，得出结论。
8 与三角形的外心有关的计算方法
三角形的外心即三角形外接圆的圆心，常利用圆的半径或直径构造相应的直角三角形，根据圆周角定理及垂径定理，求相关角的度数或线段的长度.
考点1 判断点与圆的位置关系的方法
考点2 利用点与圆的位置关系求半径
考点3 确定圆的条件
考点4三角形的外接圆
考点5 找三角形外心的方法
考点6 反证法证明命题的步骤
考点7 判断点与圆的位置关系
考点8 与三角形的外心有关的计算方法
考点1 判断点与圆的位置关系的方法
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知的半径为1，若，则点A在（）
A．内B．上C．外D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解∶，
点A在外．
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：①点P在圆外．②点P在圆上．③点P在圆内．
2．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）若的半径为，，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外B．点在上C．点在内D．不能确定
【答案】C
【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案．
【详解】解：∵点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内．
故选C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．
3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，以点A为圆心，长为半径作，则原点O与的位置关系是（ ）
A．点O在上B．点O在外C．点O在内D．以上皆有可能
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出的半径，根据可得出点O在内．
【详解】解：平面直角坐标系中，点，点，
，，
，即的半径，
，
点O在内，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，解题的关键是根据勾股定理求得的半径．
4．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点（ ）
A．在圆内B．在圆上
C．在圆外D．在圆上或圆外
【答案】C
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵点P到圆心O的距离为，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
5．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，，，是斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．点P不在内
【答案】A
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由中位线的性质得，最后根据点和圆的位置关系即可解答．
【详解】解：如图：连接
∵在中，，，，是斜边上的中线，
∴
∵点以为直径作
∴
∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴点在内．
故选A．
【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质等知识点，，求出点到圆心的距离是关键．
考点2 利用点与圆的位置关系求半径
6．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）已知点在圆外，它到圆的最近距离是，到圆的最远距离是，则圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】搞清楚P点到圆上点的最近距离与到圆上点的最远距离的差为直径（P为圆外一点），本题易解．
【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为，到圆上点的最远距离为，则圆的直径是7-1=，因而半径是．
故选：A
【点睛】本题考查了点和圆，正确理解圆的直径的长度是解决本题的关键．
7．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
8．（2021秋·全国·九年级专题练习）已知中，，，，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，得AB=5，由P为AB的中点，得CP=，要使点A，P在⊙C内，r＞3，r＜4，从而确定r的取值范围.
【详解】∵点A在⊙C内，
∴r＞3，
∵点B在⊙C外，
∴r＜4，
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，利用数形结合思想是解题的关键.
9．（2021秋·全国·九年级专题练习）平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（ ）
A．4cmB．8cmC．4cm或8cmD．6cm
【答案】C
【分析】由题意，需分点P在⊙O内、点P在⊙O外；当在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径，当在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径.
【详解】设⊙O的直径为，当点P在圆内时，
当点P在⊙O外时，
故选：C.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，依题意得出需分点在圆内和点在圆外两种情形是解题关键.
10．（2020秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，若点B在⊙A外，则a的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．5D．6
【答案】D
【分析】根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】由题意，点B在⊙A外，则d=a-2＞3，解得：a＞5，只有6符合条件．
故选D．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
考点3 确定圆的条件
11．（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．
【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题；
B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题；
C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据确定一个圆的条件，圆周角定理，圆心角定理，圆的对称轴的知识即可判断正误．
【详解】A．经过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，B选项错误，所以B选项不符合题意；
C．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，C选项错误，所以C选项不符合题意；
D．等弧所对的圆周角相等，D选项正确，所以D选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查确定一个圆的条件，圆周角定理，圆心角定理，圆的对称轴，解题的关键是熟练掌握圆的相关定理．
13．（2023秋·九年级课前预习）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0B．1C．2D．0或1
【答案】D
【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
考点：确定圆的条件．
15．（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
考点4 三角形的外接圆
16．（2022春·九年级课时练习）有下列四个命题，其中正确的个数是（ ）
（1）经过三个点一定可以作一个圆；
（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆；
（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；
（4）在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的概念、垂径定理的推论判断即可．
【详解】（1）经过不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆，故本说法错误；
（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆，本说法正确；
（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，本说法正确；
（4）在圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
18．（2022秋·河南新乡·九年级河南师大附中校考期中）如图，点，，都在格点上，的外接圆的圆心坐标为（ ）
A．（5，2）B．（2，4）C．（3，3）D．（4，3）
【答案】A
【分析】根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，则可得出答案．
【详解】解：根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，
∴点P（5，2），
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形的垂直平分线，正确作图是解题的关键．
19．（2022·九年级单元测试）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．ABCB．ABEC．ABDD．ACE
【答案】C
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；
【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平角的定义得到，根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
，，
，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
考点5 找三角形外心的方法
21．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．
【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
22．（2022秋·山西大同·九年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）
【答案】C
【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．
【详解】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
23．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥x轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=-1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为-1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可．
【详解】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3），
∴直线BC∥x轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为-1，
设△ABC的外心为P（a，-1），
∴，
∴，
解得，
∴△ABC外心的坐标为（-2，-1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
24．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的作法，先做出过A，B，C三点的△ABC的外接圆，从而得出答案．
【详解】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的△ABC的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形外接圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
25．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（ ）
A．外心B．重心C．中心D．内心
【答案】A
【分析】根据网格的特点，勾股定理求得，进而即可判断点O是△ABD的外心
【详解】解：∵
∴O是△ABD的外心
故选A
【点睛】本题考查了三角形的外心的判定，勾股定理与网格，理解三角形的外心的定义是解题的关键．三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等．
考点6 反证法证明命题的步骤
26．（2023春·河南安阳·七年级统考阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角互余”是假命题的反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据余角定义和真假命题的判定进行判断即可．
【详解】解：A、，可以用来说明命题“两个锐角互余”是假命题，故本选项符合题意；
B、不是锐角，故本选项不符合题意；
C、，能说明两个锐角互余，故本选项不符合题意；
D、不是锐角，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了命题与证明、互余定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
27．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）反证法是从反面思考问题的证明方法．在运用反证法证明下面这个命题：已知，．求证：，第一步应先假设（ ）
A．B．C．D．且
【答案】A
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】运用反证法证明这个命题时，
第一步假设，
故选：A．
【点睛】本题考查反证法，反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
28．（2023秋·八年级课时练习）已知在中，，求证：．下面写出了用反证法证明该问题过程中的四个步骤：①所以，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以；③假设；④那么由，得，即．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④B．③④②①C．③④①②D．④③②①
【答案】C
【分析】由反证法的证明步骤进行判断即可．
【详解】解：反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论；
由反证法的证明步骤可知，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤应该为：
（1）假设；
（2）那么，由，得，即；
（3）所以，这与三角形内角和定理相矛盾；
（4）所以；
原命题的正确顺序应该为：③④①②．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用反证法证明命题的步骤，反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论．掌握反证法的基本步骤是解决问题的关键．
29．（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
【答案】D
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤
1、假设在中，
2、由，得，即
3、，这与三角形内角和为矛盾
4、因此假设不成立．
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②
故选：D
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
30．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°
【答案】A
【分析】找出原命题的方面即可得出假设的条件．
【详解】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，
故选A．
【点睛】本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．
考点7 判断点与圆的位置关系
31．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的中，求证：点在上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线，与相交于点O，以点O圆心，长为半径作圆，即可得到解答；
（2）连接，由（1）得直线为的垂直平分线，则，得，由由且得到，则，即，即可得证．
【详解】（1）如图所示，为所求，
；
（2）如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴且，
∴
∴，即，
∴三点共圆，点在上．
【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
32．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______；
(2)求圆半径的长度；
(3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)点在圆外
【分析】（1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点；
（2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度；
（3）根据，，求得，由圆半径的长度为，可得点在圆外．
【详解】（1）解：如图1，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点，
则．
（2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，
∵，，，
∴，
∴，
故圆半径的长度为．
（3）解：∵圆心，，
∴，
∵圆半径的长度，
又∵，
∴点在圆外．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键．
33．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、．
(1)写出圆心M的坐标为___________；
(2)这个圆的半径为___________；
(3)直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）．
【答案】(1)
(2)
(3)内
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为；
（2），，
即的半径为；
（3）圆的半径，
线段，
所以点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
34．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在矩形中，，．
(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？
(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．
【答案】(1)点在内，点在外，点在上
(2)
【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解；
（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
的半径为8，
点在内，点在外，点在上；
（2）解：，，，
又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键．
35．（2012·江苏连云港·中考真题）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′，
(1)求证：四边形OAO′B是菱形；
(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．
【答案】(1)证明：∵点O、O′关于直线y＝x＋b的对称，
∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′．
又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB．
∴AO＝AO′＝BO＝BO′．∴四边形OAO′B是菱形．
(2)解：如图，设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是
N(－b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M．
则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°．
∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN．
∴△OMP为等腰直角三角形．
当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1．
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝．
【详解】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．
(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，从而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案．
(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可．
考点8 与三角形的外心有关的计算方法
36．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，平分，
(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2．
【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：连接，设的半径为x，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
37．（2019秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在由每个边长为1的小正方形组成的9×9的网格中，点A，B，C都在格点上，点B绕点C逆时针旋转90°后的对应点为M，已知点B的坐标为(0，﹣2)（坐标轴与网格线平行）．
（1）直接写出：点C的坐标为 ，点M的坐标为 ；
（2）若平面内存在一点P，且P为△ACM的外心，直接写出点P的坐标是 ；
（3）CN平分∠BCM交y轴于点N，则N点坐标为 ．
【答案】（1）（﹣3，2），（1，5）；（2）（，0）；（3）(0，)
【分析】（1）先建立直角坐标系，作出图形，构造全等三角形，即可得出结论；
（2）先判断出PA＝PC，再判断出点P的纵坐标为0，利用PA＝PM建立方程求解即可得出结论；
（3）利用角平分线的特点构造出等腰三角形求出MF，进而求出直线CF的解析式，即可得出结论．
【详解】解：（1）建立如图1所示的平面坐标系，
由网格知，A（﹣3，-2），C（﹣3，2），
∴AC⊥x轴，AC＝4，
∵B（0,-2），
∴AB＝3，
过点M作AC的垂线交AC于D，
∴∠CDM＝∠BAC＝90°，
∴∠DCM+CMD＝90°，
由旋转知，BC＝MC，∠BCM＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠DMC，
∴△ABC≌△DCM（AAS），
∴DM＝AC＝4，CD＝AB＝3，
∴AD＝AC+CD＝7．
∴M（1，5），
故答案为（﹣3，2），（1，5）；
（2）由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），
设点P的坐标为（m，n）
∵点P是△ACM的外接圆的圆心，
∴点P到点A，C，M的距离相等，
由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），
∴n＝0，
∴P（m，0），
而PA＝ ，
∴m＝ ，
∴P（，0），
故答案为（，0）；
（3）如图3，
过点M作MF∥AC交CN于F，
∴∠CFM＝∠ACN，
∵CN是∠ACM的角平分线
∴∠ACN＝∠MCN，
∴∠MCN＝∠CFN，
∴MF＝CM，
而CM＝
∴MF＝5，
∴F（1,0），
∵C（﹣3,2），
设直线CF的解析式为 ，
将F,C代入得
解得
∴直线CF的解析式为
令x＝0，则y＝ ，
∴N（）．
故答案为（）．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形外心及待定系数法，掌握旋转的性质及三角形外心的性质是解题的关键.
38．（2021秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知，如图，点A为⊙O上的一点
（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；
（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为
【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为
【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；
（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．
【详解】接：（1）等边三角形ABC如图所示：
（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，BC=2BD，
∵⊙O半径为10，
∴，
∴，
∴，
∴三角形ABC的边长为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形外接圆的性质及等边三角形的性质，熟练掌握垂径定理、三角形外接圆的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
39．（2020秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
【答案】（1）∠CAD＝35°；（2）．
【分析】(1)由AB=AC，得到=，求得∠ABC=∠ACB，推出∠CAD=∠ACD，得到∠ACB=2∠ACD，于是得到结论；
(2)根据平角的定义得到∠BAC=40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=80°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】(1)∵AB=AC，
∴=，
∴∠ABC=∠ACB，
∵D为的中点，
∴=，
∴∠CAD=∠ACD，
∴=2，
∴∠ACB=2∠ACD，
又∵∠DAE=105°，
∴∠BCD=105°，
∴∠ACD=×105°=35°，
∴∠CAD=35°；
(2)∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，
∴∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC=80°，
∴弧BC的长==．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
40．（2023秋·全国·九年级专题练习）[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆 盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在中， ∠A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕迹) .
（2）如图3,在中，∠A=80° ，∠B=40° ，AB= ，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
（3）如图4,在中，已知AB=15， AC=12, BC=9，半径为1的在的内部任意运动，则覆盖不到的面积是
【答案】（1）见解析；（2）r=2；（3）.
【分析】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图（见解析）即可；
（2）如图（见解析），的最小覆盖圆为的外接圆，由已知条件可得，则圆心角；连接OA、OB，过O作，由等腰三角形的性质可得，在中利用勾股定理求解即可；
（3）由已知条件可是直角三角形，利用的面积减去圆的面积即可得.
【详解】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接OC，则OC为半径，画图如下：
（2）如图，的最小覆盖圆为的外接圆
连接OA、OB，过O作
（圆周角定理）
，则是等腰三角形
在中，
由勾股定理得：
解得：
故的最小覆盖圆的半径为2；
（3）
是直角三角形
又
故所求的面积为.
【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，理解题意，将其转化为三角形外接圆问题是解题关键.
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
QUOTE d>r?d>r?点 QUOTE PP在 QUOTE ⊙O⊙O的外部.
点在圆上
点在圆周上
QUOTE d=r?d=r?点 QUOTE PP在 QUOTE ⊙O⊙O的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
QUOTE d
依据及作法
图示
过一点A作圆
经过一个点A作圆，只要以除点A外的任意一点为圆心，以这一点到点A的距离为半径作圆即可.这样的圆有无数个，如
右图
过两点A,B作圆
经过两个点A,B作圆，要以到点A,B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到点A或点B的距离为半径作圆即可.这样的
圆有无数个，如右图
过不在同一条直线上的三点A,B,C作圆
经过不在同一条直线上的三个点A,B,C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此圆心在线段AB,BC的垂直平分线的交点0处.以点O为圆心，以OA(或OB或OC)长为半径可作出经过A,B,C三点的圆.这
样的圆只有一个，如右图
过不在同一条直线上的任意四点作圆
要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上.如右图，点D,到圆心的距离等于半径，则点D₁在圆上；点D₂,D,到圆心的距离不等
于半径，则点D₂,D,不在圆上
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