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考点14 直线与圆的位置关系的7大题型方法归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）
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这是一份考点14 直线与圆的位置关系的7大题型方法归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版），共8页。试卷主要包含了切线长，5B．5等内容，欢迎下载使用。
（1）只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才称为切点；
(2)判断直线和圆的位置关系，可以通过公共点的个数判断，若不知道公共点的个数，就需要转化为比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表
2 切线的判定定理和辅助线的作法
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
作辅助线判定圆的切线的常用方法：
①有交点，连半径，证重直；②无交点，作垂直，证半径。
利用圆的切线的判定定理判定切线时，把握两个要素：一是经过半径的外端点，二是垂直于这条半径.这两者缺一不可。
3 切线的性质定理
（1）圆的切线垂直于过切点的半径.
（2）切线的主要性质：
A切线和圆只有一个公共点；
B圆心到切线的距离等于圆的半径；
C切线垂直于过切点的半径；
D经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
E经过切点垂直于切线的直线必过圆心
切线的性质C、D、E可归纳如下：
对于如下三个结论：①过圆心，②过切点，③垂直于切线，若直线满足这三个结论中的任意两个，便可得到第三个结论。
注：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线与圆可能相切也可能相交。
4 切线长定理进行几何计算或证明的方法
1.切线长
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
注：(1)圆的切线一般指的是直线，而切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长度；
切线长定理可以通过判定直角三角形全等的判定定理“HL”进行证明。
利用切线长定理进行几何计算或证明：先构建切线长定理的基本图形，再利用切线长相等这一性质进行等量转化，或利用切线长定理中所隐含的等腰三角形、垂直平分线等条件来进行计算或证明.
5 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系的求法
设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,r为其内切圆的半径长，若利用切线长定理推导，则r=(a+b-c)/2;若利用等面积法推导，则 r=aba＋b＋c.这两个结论可在做选择题和填空题时直接运用.
6 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
7 圆的综合问题
考点1 直线与圆的位置关系的判断方法
考点2 切线的判定定理和辅助线的作法
考点3 切线的性质定理
考点4 切线长定理进行几何计算或证明的方法
考点5 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
考点6 三角形内切圆
考点7 圆的综合问题
考点1 直线与圆的位置关系的判断方法
1．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
2．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
3．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（ ）
A．m＝dB．m＜dC．2d＞mD．2d＜m
5．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（ ）．
A．4.5B．5.5C．6D．7
考点2 切线的判定定理和辅助线的作法
6．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．
(1)的周长为______．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）
7．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线．
9．（2023秋·九年级课时练习）如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．
10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形．
考点3 切线的性质定理
11．（2023春·河北唐山·九年级统考开学考试）如图，点O为线段的中点，点C为线段上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D、，，，连接．
(1)求证：；
(2)当与圆O相切时，求的长度．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点O作，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)若点到的距离为，，求直径的长．
13．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，为的直径，为上一点．有下列三个条件：①直线是的切线；②于点；③平分，请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明．
14．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．
15．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：．
考点4 切线长定理进行几何计算或证明的方法
16．（2018春·九年级单元测试）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的长．
17．（2022秋·重庆长寿·九年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
18．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
19．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）已知：为的直径，，弦，直线与相交于点C，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点F．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断与是否相等，并说明理由．
20．（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
考点5 直角三角形周长、面积与三角形内切圆的关系
21．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
22．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值．
24．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，
(1)实践与操作：
请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：
连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．
考点6 三角形内切圆
26．（2023·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．
(1)求证：是的切线；
(2)求的直径；
(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 ．
27．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
28．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为．
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．
29．（2022春·四川广安·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．
30．（2021·九年级课时练习）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
考点7 圆的综合问题
31．（2022·天津·统考中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．
(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
32．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
33．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
34．（2021·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．
35．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长；
（3）请用线段、表示的长，并说明理由．位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
直线与相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
直线与相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
直线与相交
（1）只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才称为切点；
(2)判断直线和圆的位置关系，可以通过公共点的个数判断，若不知道公共点的个数，就需要转化为比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表
2 切线的判定定理和辅助线的作法
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
作辅助线判定圆的切线的常用方法：
①有交点，连半径，证重直；②无交点，作垂直，证半径。
利用圆的切线的判定定理判定切线时，把握两个要素：一是经过半径的外端点，二是垂直于这条半径.这两者缺一不可。
3 切线的性质定理
（1）圆的切线垂直于过切点的半径.
（2）切线的主要性质：
A切线和圆只有一个公共点；
B圆心到切线的距离等于圆的半径；
C切线垂直于过切点的半径；
D经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
E经过切点垂直于切线的直线必过圆心
切线的性质C、D、E可归纳如下：
对于如下三个结论：①过圆心，②过切点，③垂直于切线，若直线满足这三个结论中的任意两个，便可得到第三个结论。
注：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线与圆可能相切也可能相交。
4 切线长定理进行几何计算或证明的方法
1.切线长
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
注：(1)圆的切线一般指的是直线，而切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长度；
切线长定理可以通过判定直角三角形全等的判定定理“HL”进行证明。
利用切线长定理进行几何计算或证明：先构建切线长定理的基本图形，再利用切线长相等这一性质进行等量转化，或利用切线长定理中所隐含的等腰三角形、垂直平分线等条件来进行计算或证明.
5 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系的求法
设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,r为其内切圆的半径长，若利用切线长定理推导，则r=(a+b-c)/2;若利用等面积法推导，则 r=aba＋b＋c.这两个结论可在做选择题和填空题时直接运用.
6 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
7 圆的综合问题
考点1 直线与圆的位置关系的判断方法
考点2 切线的判定定理和辅助线的作法
考点3 切线的性质定理
考点4 切线长定理进行几何计算或证明的方法
考点5 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
考点6 三角形内切圆
考点7 圆的综合问题
考点1 直线与圆的位置关系的判断方法
1．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
2．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
3．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（ ）
A．m＝dB．m＜dC．2d＞mD．2d＜m
5．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（ ）．
A．4.5B．5.5C．6D．7
考点2 切线的判定定理和辅助线的作法
6．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．
(1)的周长为______．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）
7．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线．
9．（2023秋·九年级课时练习）如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．
10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形．
考点3 切线的性质定理
11．（2023春·河北唐山·九年级统考开学考试）如图，点O为线段的中点，点C为线段上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D、，，，连接．
(1)求证：；
(2)当与圆O相切时，求的长度．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点O作，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)若点到的距离为，，求直径的长．
13．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，为的直径，为上一点．有下列三个条件：①直线是的切线；②于点；③平分，请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明．
14．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．
15．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：．
考点4 切线长定理进行几何计算或证明的方法
16．（2018春·九年级单元测试）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的长．
17．（2022秋·重庆长寿·九年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
18．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
19．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）已知：为的直径，，弦，直线与相交于点C，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点F．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断与是否相等，并说明理由．
20．（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
考点5 直角三角形周长、面积与三角形内切圆的关系
21．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
22．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值．
24．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，
(1)实践与操作：
请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：
连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．
考点6 三角形内切圆
26．（2023·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．
(1)求证：是的切线；
(2)求的直径；
(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 ．
27．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
28．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为．
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．
29．（2022春·四川广安·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．
30．（2021·九年级课时练习）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
考点7 圆的综合问题
31．（2022·天津·统考中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．
(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
32．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
33．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
34．（2021·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．
35．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长；
（3）请用线段、表示的长，并说明理由．位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
直线与相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
直线与相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
直线与相交
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