北师大版 （2019）第二章 圆锥曲线 单元测试卷(含答案)

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北师大版 （2019）第二章  圆锥曲线 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知,分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线C的渐近线的垂线,垂足为P,且与双曲线C的左支交于点Q,若（O为坐标原点）,则双曲线的离心率为(   )A. B. C. D.2、已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为(   )A.  B.C.或 D.或3、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是(   )A. B. C. D.4、直线与椭圆的交点个数为(   )A.0 B.1 C.2 D.35、若点在椭圆上，则有(   )A.点不在椭圆上 B.点在椭圆上C.点不在椭圆上 D.点在椭圆上6、若P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则(   )A.1 B.3 C.5 D.97、“”是“方程表示椭圆”的(   )A.必要不充分条件  B.充分不必要条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件8、已知是椭圆的一个焦点，过F且垂直于x轴的弦长为，则该椭圆的方程为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则C的离心率为(   )A. B. C. D.10、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则下列说法正确的是(   )A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，C.椭圆的离心率为 D.的最小值为3三、填空题11、给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是___________（填序号）.12、焦点在y轴上且离心率大于的一个椭圆方程为_________.13、已知椭圆C的两个焦点分别为，，为了使椭圆C的方程为，可以再添加一个条件，__________.14、已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_____________.四、解答题15、已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为4.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积.16、在平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为.（1）求点M的轨迹方程；（2）若点，求的最大值与最小值.
参考答案1、答案：B解析：2、答案：D解析：若焦点在x轴上，则.由，得，所以，此时椭圆C的标准方程为.若焦点在y轴上，则.由，得，此时椭圆C的标准方程为.综上所述，椭圆C的标准方程为或.故选D.3、答案：D解析：如图.若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则只需P为椭圆长轴端点时，即，则，即.因为，所以，所以，即.又，所以，即.故选D.4、答案：C解析：由椭圆，可得，，则椭圆的右顶点为，上顶点为.又直线恰好过点A，B，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选C.5、答案：D解析：因为椭圆关于坐标轴对称，且关于原点对称，所以点关于x轴的对称点在椭圆上，关于y轴的对称点在椭圆上，关于原点的对称点也在椭圆上，所以D正确.故选D.6、答案：A解析：由椭圆方程变形得，所以椭圆长半轴的长为4.由椭圆的定义可得.又，所以.故选A.7、答案：D解析：若方程表示椭圆，则，且，，“”不是“方程表示椭圆”的必要条件；反过来，当时，取或，方程表示圆，“”不是方程“表示椭圆”的充分条件.综上所述，“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件.故选D.8、答案：C解析：依题意知，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的两个交点坐标分别为，，则解得所以椭圆的方程为.故选C.9、答案：AB解析：当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率；当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线为，可设，，则，离心率，故选AB.10、答案：BCD解析：由题意可知，根据椭圆的定义可知，，所以，则的最大值为5，即的最小值为3，故D正确.根据椭圆的性质可知，当轴时，最小，此时最大.如图，将代入椭圆方程得，解得，则，所以，，所以短轴长为，A错误.当轴时，，B正确.，C正确.故选BCD.11、答案：①③④解析：对于①，圆心到直线的距离为，等于半径，故①满足题意.对于②，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以②不满足题意.对于③，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以③满足题意.对于④，联立得方程组消去y并整理，得.因为，所以④满足题意.故满足题意的曲线是①③④.12、答案：（答案不唯一）解析：因为所求椭圆的焦点在y轴上，所以设其方程为.又离心率大于，故可取离心率为.设，则，所以，所以，所以满足条件的一个椭圆方程为.本题答案不唯一.13、答案：椭圆上的点到两焦点的距离之和为10（答案不唯一）解析：根据椭圆的焦点坐标可知，，并且焦点在x轴上.若使椭圆方程为，则只需，所以可添加条件“椭圆上的点到两焦点的距离之和为10”.本题答案不唯一.14、答案：解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①又因为点P在椭圆上，所以，将①代入可得.又，所以两边同除以a得.又，所以.
15、（1）答案：解析：由条件知，，，双曲线C的标准方程为.（2）答案：面积为1解析：由双曲线的定义可知，.，，，的面积.16、（1）答案：解析：设，依题意得，两边平方化简得，所以点M的轨迹方程为.（2）答案：，解析：，又点M满足，即，因此.又，所以当时，有最小值，所以；当时，有最大值121，所以.