北师大版 （2019）第三章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)

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北师大版 （2019）第三章  空间向量与立体几何 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.2、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为(   )A.10 B.3 C. D.3、在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为(   )A.2 B.3 C.4 D.54、如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为(   )A. B. C. D.5、已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则的值是(   )A.-6 B.6 C.14 D.-146、已知三棱锥的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是的外心，，，则PB与底面ABC所成角的大小为(   )A. B. C. D.7、如图，在空间直角坐标系Cxyz中，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在线段EF上，且平面BDE，则点M的坐标为(   )A. B. C. D.8、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，D是棱的中点，P是AD的延长线与的延长线的交点，若点Q在上，则(   )A.当点Q为线段的中点时，平面B.当点Q为线段靠近点P的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点Q，使得平面D.在上不存在一点Q，使得平面二、多项选择题9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则(   )A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为10、设，，，且是空间向量的一组基底，则下列可以作为空间向量的一组基底的有(   )A.a，b，x B.x，y，z C.b，c，z D.x，y，三、填空题11、已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.12、如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.13、如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________.14、如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为__________.四、解答题15、如图，正方形ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，，且平面ABCD.(1)求证：平面BCF；(2)求证：平面AEF.16、如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：.(2)已知点G在平面PAD内，且平面PCB，试确定点G的位置.
参考答案1、答案：A解析：设，则，，，所以，，，因为，所以，解得，所以，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.2、答案：D解析：由，得点P到平面的距离.3、答案：D解析：设平面ABCD的一个法向量为，则得取，则，所以这个四棱锥的高.4、答案：B解析：依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，(，，且m，n不同时为0)，则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则即令，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为，所以，得，所以，所以当时，m取得最大值，为.5、答案：A解析：，，且，，，，故选A.6、答案：B解析：设的外心为O，PB与底面ABC所成的角为.因为是以AC为斜边的直角三角形，所以O为AC的中点.由，，知，则.又，，所以，因为，所以，所以.7、答案：C解析：方法一：由题意，知，，，，所以，，设，，平面BDE的一个法向量为，则即令，则，，此时.又，所以，所以，即.方法二：设AC与BD相交于点O，连接OE.由平面BDE，且平面ACEF，平面平面，所以.因为四边形ACEF为矩形，所以，即四边形AOEM为平行四边形.又O是正方形ABCD对角线的交点，所以点M为线段EF的中点.由题意，知，，由中点坐标公式，知.8、答案：D解析：以为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则取，则，，所以.假设在上存在一点Q，使得平面，设，则，所以.因为也是平面的一个法向量，所以与共线，则有，此时无解，故在上不存在一点Q，使得平面.故选D.9、答案：AC解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；，且，不是平面的法向量，故B不正确；，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；，且，不是平面的法向量，故D不正确.10、答案：BCD解析：如图，结合长方体，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，也不共面.故可作为空间向量的一组基底的有B，C，D.11、答案：解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.12、答案：解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.13、答案：解析：连接AG，BG，因为，的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥的体积最大.设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面BEF的一个法向量为，则可得令，则.设直线AC与平面BEF所成角为，则.14、答案：解析：方法一取的中点E，连接OE，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意可得，，，，则，.设直线AD与BC所成的角为，则，所以，则直线AD与BC所成的角为.方法二：设，，，则，，，，所以，，，所以，所以，所以直线AD与BC所成的角为.方法三：延长DO交于点F，连接BF，则，且.连接CF，由题可知，又，所以为等边三角形，所以BF与BC所成的角为，即直线AD与BC所成的角为.15、答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)取BC的中点H，连接OH，则，又四边形ABCD为正方形，，.又平面ABCD，，，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面BCF的一个法向量为，则即取，得.四边形BDEF为平行四边形，，，，.又平面，平面BCF.(2)，，，，，，又，平面AEF.16、答案：(1)证明见解析(2)点G为AD的中点解析：(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(如图)，设，则，，，，，，所以，，所以，所以.(2)因为平面PAD，设，所以.由(1)，知，.因为平面PCB，所以，，所以，，所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.