北师大版 （2019）第五章 计数原理 单元测试卷(含答案)
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北师大版 （2019）第五章 计数原理 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为( ).A. B.60 C.120 D.2402、在二项式的展开式中，含项的二项式系数为( )A.15 B.-15 C.10 D.-103、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是( )A.342 B.346 C.432 D.4284、某小学设置了2处核酸检测点，现将4名教师志愿者分配到这2处检测点，每名志愿者需要分配到1处检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有( )A.6种 B.8种 C.14种 D.20种5、6名同学到某博物馆里面的书画、青铜、瓷器三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，则每个场馆恰好有2名志愿者的不同安排方法有( )A.270种 B.90种 C.45种 D.15种6、现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是( )A.20 B.90 C.120 D.2407、甲、乙、丙3人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有A，B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙3人不同的排队方案共有( )A.12种 B.18种 C.24种 D.36种8、数学与文学有许多奇妙的联系，如文学中的诗歌有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.则在三位数的回文数中偶数的个数是( )A.40 B.30 C.20 D.10二、多项选择题9、某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，安排学生利用周末去社区义务劳动.高三共6个班，其中只有高三(1)班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )A.若高三(1)班不再分配名额，则共有种分配方法B.若高三(1)班有除芀动模范之外的学生参加，则共有种分配方法C.若高三(1)班恰有3人参加，则共有种分配方法D.若每个班至少3人参加，则共有种分配方法10、下列各式中与排列数一定相等的是( )A. B.C. D.三、填空题11、某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.12、二项式的常数项为__________.13、5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有_________种(填数字).14、某车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人里选派4名钳工和4名车工修理一台机床，则不同的选派方法有__________种.四、解答题15、7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮.16、对于给定的奇数，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置”1110010101.直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”；2.当时，若对任意的都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值；3.求证：数表中的“好位置”个数的最小值为．
参考答案1、答案：B解析：因为，所以.所以展开式的通项为，令得，所以展开式的常数项为.故选B.2、答案：A解析：二项式的展开式的通项为,令,解得,所以展开式中 项的二项式系数为.3、答案：B解析：方法一：若2人都在前排左面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人都在前排右面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人分别在前排中间3个座位的左面和右面，则有种坐法，故2人都在前排，且不左右相邻，共有种坐法.若2人都在后排，且不左右相邻，则有种坐法.若2人分别在前后两排，则有种坐法.故共有种坐法.方法二：可坐的座位一共有20个，2个人坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.4、答案：C解析：将4名志愿者分成2组，每组2人或者一组3人，一组1人.若每组2人，分别分配到2处检测点，则有种分配方案；若一组3人，一组1人，分别分配到2处检测点，则有种分配方案.综上，不同的分配方案共(种).5、答案：B解析：不同安排方法种数为.6、答案：C解析：共有种不同的选派方案.7、答案：C解析：按排在A队的人数分4类： 人数方案种数第1类3第2类2第3类1第4类0综上，甲、乙、丙3人不同的排队方案共有(种).8、答案：A解析：由题意知，若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一个，十位上的数字有10个不同的取值，百位上的数字同个位上的数字，所以三位数的回文数中偶数的个数为，故选A.9、答案：BD解析：对于A，若高三(1)班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，知有种分配方法，故A错误；对于B，若高三(1)班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故B正确；对于C，若高三(1)班恰有3人参加，则高三(1)班需再分配1个名额，剩余19个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故C错误；对于D，先分给除高三(1)班外的每个班级2个名额，剩余10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故D正确.故选BD.10、答案：AD解析：易知A正确；对于B，，与不一定相等，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选AD.11、答案：240解析：先将5名学生分成4组共有种，再将4组学生安排到4所不同的学校有种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.故答案为：240.12、答案：10解析：的展开式的通项公式为,而,令,得；令,得所以的展开式中的常数项为.故答案为:1013、答案：86400解析：方法一：因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，所以先把6个男孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有(种)；6个男孩形成6个空，5个女生插入到这6个空中，共有种排法.综上，不同的排法共有(种).方法二：“环状排列，化环为直”，经旋转可重合的排队应认为是同一种排法，故可考虑让某个女孩A固定不动，将圆圈按顺时针的方向拉成一直排，以a，b分别表示剩下的女孩与男孩.先从6个男孩中选5个与5个女孩组成1组“Ab”和4组“ab”，共有种排法，再把剩下的1个男孩与除“Ab”外的4组“ab”视为5组进行排列，有种排法.因此，不同的排法有(种).14、答案：185解析：设既能当车工又能当钳工的2名工人为A，B.A，B都不在内的选派方法有(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有(种)；A，B都在内，且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有(种).所以不同的选派方法共有(种).15、答案：(1)20种(2)630种解析：(1)第一步，将最高的安排在正中间，只有1种排法；第二步，从剩下的6人中任选3人安排在一侧，有种排法；第三步，将剩下的3人安排在另一侧，只有1种排法.所以共有种不同的排法.(2)第一步，从7人中选6人，有种选法；第二步，从6人中选2人安排在第一列，有种排法；第三步，从剩下的4人中选2人安排在第二列，有种排法；第四步，将剩下的2人安排在第三列，只有1种排法.故共有种不同的排法.16、答案：1.“好位置”有： 2.因为对于任意的，；所以当时，，当时，；因此若为“好位置”，则必有，且，即 设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于，则有列中含的个数不多于，所以，，因为为自然数，所以的最小值为 因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过所以，该数表好位置的个数不少于个 而下面的数表显然符合题意1110011100110101100110011此数表的“好位置”的个数恰好为 综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为 3.当为“好位置”时，且时，则有，所以，注意到为奇数，，所以有同理得到 当为“好位置”，且时，则，则必有，注意到为奇数，，所以有同理得到 因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设 其中，则数表可以分成如下四个子表其中是行列，是行列，是行列，是行列设，，，中的个数分别为则，，，中的个数分别为则数表中好位置的个数为个而， 所以所以而 显然当取得最小值时，上式取得最小值，因为，所以当时，数表中至少含有个，而，所以至少为此时当时，数表中至少含有个而，所以至少为此时下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为 解析：
