江苏省南京二十九中迈皋桥分校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省南京二十九中迈皋桥分校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，若∠A＝36°，∠F＝24°（ ）
A．50°B．60°C．65°D．120°
3．（3分）作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
4．（3分）用三角尺画角平分线：如图，先在∠AOB的两边分别取OM＝ON，再分别过点M，OB的垂线，交点为P．得到OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．ASA
5．（3分）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中不正确的（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′．
（2）∠BAC＝∠B′A′C′．
（3）直线l垂直平分CC′．
（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上．
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
二、填空题（每题3分）
7．（3分）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是 ．
8．（3分）如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，使PC＝PA，PD＝PB，测得CD长为25m，则池塘宽AB为 m，依据是 ．
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，延长BC到点E，使CE＝2，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，当t的值为 秒时，△ABP与△DCE全等．
10．（3分）如图，在△PAB中，∠A＝∠B，PB，AB上的点，BN＝AK，若∠MKN＝42° °．
11．（3分）如图，∠AOB＝45°，点P在∠AOB内，点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，连接OP1、OP2、P1P2，则△OP1P2的面积等于 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点 ．
①DB＝DC；
②∠AMD＝45°；
③NE﹣EM＝MC；
④MC＝2EM．
三、解答题
13．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
14．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
15．如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（2）请用无刻度直尺，在y轴上找一点P，使它到A、C两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）请在x轴上画出点Q，使△QAC周长最小．
16．如图：某通信公司要修建一座信号发射塔，要求发射塔到两城镇P、Q的距离相等，同时到两条高速公路l1、l2的距离也相等．在图上画出发射塔的位置．
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE
18．如图在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，连接AD，BE交于点M．
（1）如图1，当点B，C，D在同一条直线上，可以得到图中的一对全等三角形，即 ≌ ；
（2）当点D不在直线BC上时，如图2位置，且∠ACB＝∠DCE＝α．
①试说明AD＝BE；
②直接写出∠EMD的大小（用含α的代数式表示）．
2023-2024学年江苏省南京二十九中迈皋桥分校八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．不是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
2．（3分）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，若∠A＝36°，∠F＝24°（ ）
A．50°B．60°C．65°D．120°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，然后利用三角形外角的性质即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝36°，
∴∠D＝∠A＝36°，
∵∠F＝24°，
∴∠DEC＝∠D+∠F＝36°+24°＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形对应角相等，三角形外角的性质，是基础题，准确识图，找出对应角是解题的关键．
3．（3分）作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
【答案】B
【分析】根据作图方法可得第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直．
【解答】解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
【点评】此题主要考查了作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．
基本作法：①先确定图形的关键点；
②利用轴对称性质作出关键点的对称点；
③按原图形中的方式顺次连接对称点
4．（3分）用三角尺画角平分线：如图，先在∠AOB的两边分别取OM＝ON，再分别过点M，OB的垂线，交点为P．得到OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．ASA
【答案】A
【分析】根据题意，PM＝PN，根据HL可证Rt△OPM≌Rt△OPN，推出∠POM＝∠PON．
【解答】解：在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠POM＝∠PON，
∴OP平分∠AOB．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（3分）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中不正确的（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′．
（2）∠BAC＝∠B′A′C′．
（3）直线l垂直平分CC′．
（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质求解．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴（1）△ABC≌△A′B′C′，正确．
（2）∠BAC＝∠B′A′C′，正确．
（3）直线l垂直平分CC′，正确．
（4）直线BC和B′C′的交点一定在直线l上，错误．
故选：D．
【点评】此题考查轴对称的性质，轴对称的性质：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上．
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
二、填空题（每题3分）
7．（3分）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是 50° ．
【答案】50°．
【分析】由全等三角形的性质可求解．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是本题的关键．
8．（3分）如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，使PC＝PA，PD＝PB，测得CD长为25m，则池塘宽AB为 25 m，依据是 全等三角形对应边相等 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用“边角边”证明△ABP和△CDP全等，再根据全等三角形对应边相等可得CD＝AB．
【解答】解：在△ABP和△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（SAS），
∴CD＝AB，
∵CD长为25m，
∴AB＝25m．
故答案为：25，全等三角形对应边相等．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，延长BC到点E，使CE＝2，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，当t的值为 1或7 秒时，△ABP与△DCE全等．
【答案】1或7．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝5，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝8．
所以，当时t＝1或7．
故答案为：8或7．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在△PAB中，∠A＝∠B，PB，AB上的点，BN＝AK，若∠MKN＝42° 96 °．
【答案】96．
【分析】证明△MAK≌△KBN，根据全等三角形的性质得到∠BKN＝∠AMK，根据三角形的外角性质求出∠A，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：在△MAK和△KBN中，
，
∴△MAK≌△KBN（SAS），
∴∠BKN＝∠AMK，
∵∠MKB是△AMK的外角，
∴∠BKN+∠MKN＝∠A+∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝42°，
∴∠B＝∠A＝42°，
∴∠P＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
故答案为：96．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．（3分）如图，∠AOB＝45°，点P在∠AOB内，点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，连接OP1、OP2、P1P2，则△OP1P2的面积等于 32 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，根据轴对称的性质求出OP1，OP2的长，求出∠P1OP2＝90°，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：如图，
∵点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，
∴OP6＝OP＝8，OP2＝OP＝2，
∠P1OP2＝8∠AOB＝90°，
△OP1P2的面积是：OP1×OP5＝×5×8＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积公式等知识点的应用，解此题的关键是正确画出图形和求出OP1、OP2、∠P1OP2，题目比较典型，难度适中．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点 ①②③④ ．
①DB＝DC；
②∠AMD＝45°；
③NE﹣EM＝MC；
④MC＝2EM．
【答案】①②③④．
【分析】根据CD⊥AB，∠ABC＝45°，可得DB＝DC，可知①正确；利用ASA证明△BDN≌△CDM，得DN＝DM，从而说明△DMN是等腰直角三角形，可知②正确；过点D作DF⊥MN于F，则∠DFE＝90°＝∠CME，利用AAS可证△DEF≌△CEM，可说明③、④正确．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴DB＝DC，故①正确；
∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∵∠CDN+∠BDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∵∠DBN＝∠DCM，DB＝DC，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∵∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝45°，故②正确；
过点D作DF⊥MN于F，则∠DFE＝90°＝∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF＝FN＝FM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴FN＝CM，
∴MC＝2EM
∵NE﹣EF＝FN，
∴NE﹣EM＝MC，故③；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
三、解答题
13．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
14．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可；
（2）证出∠BAN＝∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B＝∠C，由ASA证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵∠2＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠3+∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M＝∠N．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
15．如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（2）请用无刻度直尺，在y轴上找一点P，使它到A、C两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）请在x轴上画出点Q，使△QAC周长最小．
【答案】（1）画图见解答；A1（﹣2，﹣1），B1（﹣3，﹣3），C1（﹣1，﹣4）．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）作线段AC的垂直平分线，与y轴的交点即为点P．
（3）使△QAC周长最小，即QA+QC的值最小，连接A1C，与x轴的交点即为点Q．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求.
A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣7），C1（﹣1，﹣2）．
（2）∵点P到A、C两点的距离相等，
∴点P在线段AC的垂直平分线上．
如图，点P即为所求．
（3）若使△QAC周长最小，即QA+QC+AC的值最小，
则QA+QC的值最小，
连接A1C，与x轴交于点Q，
此时QA+QC＝A1Q+QC＝A5C，满足值最小．
如图，点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
16．如图：某通信公司要修建一座信号发射塔，要求发射塔到两城镇P、Q的距离相等，同时到两条高速公路l1、l2的距离也相等．在图上画出发射塔的位置．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件可知发射塔要再两条高速公路的夹角的角平分线和线段PQ的中垂线的交点上，分别作出夹角的角平分线和线段PQ的中垂线，找到其交点就是发射塔修建位置．
【解答】解：如图所示：点O以及点O′就是发射塔的位置．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握作已知角的角平分线和线段垂直平分线的运用是解题关键．
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论．
【解答】解：（1）连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
∵，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
∵
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，
∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，
∴AC+CF＝AB﹣BE
∵AB＝a，AC＝b，
∴b+BE＝a﹣BE，
∴BE＝，
∴AE＝a﹣＝．
答：AE＝，BE＝．
【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．如图在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，连接AD，BE交于点M．
（1）如图1，当点B，C，D在同一条直线上，可以得到图中的一对全等三角形，即 △BCE ≌ △ACD ；
（2）当点D不在直线BC上时，如图2位置，且∠ACB＝∠DCE＝α．
①试说明AD＝BE；
②直接写出∠EMD的大小（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）△BCE，△ACD；
（2）①见解析过程；
②∠EMD＝α．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△ACD；
（2）①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD＝BE，
②由全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，由三角形的内角和定理可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
故答案为：△BCE，△ACD；
（2）①证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴∠AMB＝∠EMD＝180°﹣（180°﹣α）＝α．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．