5.1 函数与方程答案 试卷

函数与方程

一、单选题

1. 【答案】C

【解析】

函数，

函数在上单调递减，

，

，

故，

∴函数的零点所在区间为，

故选：C

2. 【答案】C

【解析】

由题设，，，，，

∴零点所在的区间为（，1）.

故选：C

3. 【答案】A

【解析】

解：令，

则，

所以方程无解，

即函数的零点个数是0个.

故选：A.

4. 【答案】A

【解析】

函数的零点个数，等于函数和函数的图象的交点个数，如下图所示：

由图可知，当时，函数和函数的图象的交点个数为，

故时，函数的零点个数为．

故选：A．

5. 【答案】A

【解析】

由得：或，即或；

作出函数的图象，如图所示：

由图象可知：方程有两个不同的实数根，则当有五个实数根时，方程有三个不同的实数根，

即和的图象有个不同的交点，结合图象：，

即实数的取值范围为.

故选：A.

6. 【答案】B

【解析】

依题意可知，，

解得，

故选：B．

7. 【答案】C

【解析】

依题意，

若函数在上有零点，不等式组无解，所以，即.

若，根据零点存在性定理可知：函数在上有零点.

所以“函数在上有零点”是“”的充要条件.

故选：C

8. 【答案】B

【解析】

方程对应的二次函数设为：

因为方程恰有一根属于，则需要满足：① 或者②函数有一个零点刚好经过点或者，另一个零点属于，

解①得：，解得：

解②得： 把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去

把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意

综上：实数m的取值范围为

故选：B

9. 【答案】A

【解析】

（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像

若有两个交点，则，

因为，所以此种情况不存在；

（2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像

若有两个交点，则，

因为，所以.

综上，的取值范围是

故选：A

二、多选题

10. 【答案】CD

【解析】

对于A，，即，则不是奇函数，即A不正确；

对于B，时，在上递增，时，在上递增，

并且，于是得在R上单调递增，对任意，，则，B不正确；

对于C，时，，

时，，

时，

综上得：对任意，则有成立，C正确；

对于D，因，则0不是的零点，

时，，令，，依题意函数的图象与直线有两个公共点，

时，，时，，

于是得，由对勾函数知，在上递减，在上递增，又在上递减，在上递增，如图：

直线与的图象有两个公共点，，直线与的图象有两个公共点，，

从而得函数的图象与直线有两个公共点时或，

所以实数的取值范围是，D正确.

故选：CD

11. 【答案】CD

【解析】

函数有五个零点等价于与有五个不同的交点，作出图像可知，当时，

若与有五个不同的交点，

则，

，

故选：．

12. 【答案】ACD

【解析】

由题设，函数单调递增，，

，

，

，

，

，

综上，零点所在的区间不可能是、、.

故选：ACD

三、填空题

13．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可知的一个零点的近似值可取为______（误差不超过0.005）．

【答案】1.55935（答案不唯一）

【解析】

解：因为，，

根据零点存在性定理，可知零点在内，

由二分法可得零点的近似值可取为，所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.0

13. 【答案】(2，3)

【解析】

解：由题意可知：对于函数在区间，上，

有，

利用函数的零点存在性定理，所以函数在上有零点．

取区间的中点，计算得，

利用函数的零点存在性定理，函数在上有零点．

故答案为：．

14. 【答案】

【解析】

当时，，不成立；

当时，，即，

解得，

故答案为：

四、解答题

15. 【答案】

（1）存在，区间为

（2）

【解析】

（1）

解：当时，可得，

则函数开口向上，对称轴为，所以函数在上为单调递减函数，

由，，可得，

所以函数在区间上存在唯一零点，

因为，所以，可得；

因为，所以，可得；

因为，所以，可得；

因为，所以，可得，

又因为，所以所求区间为.

（2）

解：由函数在上为单调递减函数，

因为在区间上存在零点，所以，即，

解得，所以实数m的取值范围是.

16. 【答案】

（1）；

（2）；

（3）﹒

【解析】

（1）

函数的图象的对称轴是直线，

在上为减函数，

又在上存在零点，故，解得，

故实数的取值范围为；

（2）

若对任意的，总存在，使得，

则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，函数图象的对称轴是直线，∴在上的函数值的取值集合为，

①当时，，不符合题意，舍去；

②当时，在上的值域为，只需，解得；

③当时，在上的值域为，只需，无解；

综上，实数的取值范围为；

（3）

，当或时，在上单调递增，则，

当时，，

解得，

故当时，，

综上，的最小值为．

17. 【答案】

（1）为“局部奇函数”，理由见解析

（2）答案见解析

【解析】

（1）

当时，方程，即有解，

解得，

所以为“局部奇函数”.

（2）

当时，可化为

，

令，则，

从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，

令，

①当时，在上有解，

由，即，解得；

②当时，在上有解等价于

此时无解.

则所求实数的取值范围是.

令，因为，所以，

则，

令，对称轴为，

当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；

当时，时，取得最小值，，

即时，.

综上，当时，；

当时，.