安徽省九师联盟2023-2024学年高三数学上学期10月期中试题（Word版附解析）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、复数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法求出复数，再利用复数模的公式计算.
【详解】复数满足，则，.
故选：A
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，
【详解】由题意得，，
则，则，故A错误；
，或，则，故B正确；
又，，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3. 已知是角的终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求.
【详解】因为是角的终边上一点，
所以，
则，
故选：B.
4. 已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则与共线，可知充分性成立；
若与共线，例如，则不成立，可知必要性不成立；
所以“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形弧长公式求半径，利用扇形面积公式求得大扇形与小扇形面积，再作差即可求扇面面积.
【详解】由弧长公式可得，，
所以，则，
所以该折扇的扇面面积为，
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为，
可知，
且在定义域内单调递减，则，即，
所以.
故选：C.
7. 如图，已知两个单位向量和向量 与夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系结合三角函数的定义及恒等变换得B、C坐标，再利用平面向量的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，
又，结合三角函数的定义易得，
而，
，
所以，
故，
即.
故选：D
8. 已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，将方程转化为，设，且，由导数得出的单调性与值域，并画出简图，设，则，得，分类讨论的范围，即可得出的范围．
【详解】令，得，
当时，，即或，只有2个零点，不合题意，故，
又，
所以，
设，且，
则，令，解得，且，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
则在的最小值为，
画出简图，如图所示，
所以当时，，当时，，
设，则，
变形为，
记，令，则，
画出简图，如图所示，
①当时，只有一个根，
则只有一个根，不合题意；
②当时，有两个根，
则有一个根，有两个根，符合题意；
③当时，有两个根，
则有一个根，有一个根，不合题意；
综上所述， ，即，
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于点对称D. 的图象关于点对称
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A，由的最小值为可得周期，进而解得；选项B，由对称轴代入函数可得最值，解即可；选项C，代入验证知C项错误；选项D可证明.
【详解】选项A，因为为的两个极值点，且的最小值为，
所以的周期，所以，故A错误；
则，
选项B，由为图象的一条对称轴，
所以，即，
因为，所以，故B正确；
则，
将的图象向左平移个单位长度，得，
选项C，若的图象关于点对称，则 ，
但，故C错误；
选项D，由，
得，
即的图象关于点对称，故D正确.
故选：BD.
10. 下列式子中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解；对于D：取特值代入检验.
【详解】对于选项A：因为，则，
当且仅当，即时等号成立，
但，所以的最小值不为4，故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故C成立；
对于选项D：令，可得，
所以4不是的最小值，故D错误；
故选：BC.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且为奇函数，若，则（ ）
A. B. 4为一个周期C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，由为奇函数，得，赋值可解；选项B，由已知关系式变形可得，则得周期为；选项CD，借助原函数满足的等量关系两边求导，探究性质，再结合周期性与赋值法可判断.
【详解】因为为奇函数，所以，
选项A，令，可得，故A正确；
选项B，由，得，
又已知，则，
即，
所以，
即函数的一个周期为，故B正确；
选项C，由，两边求导得，
令，得，故C错误；
选项D，由，两边求导得，
令，得，
由，两边求导得，
故的一个周期为，，故D正确.
故选：ABD.
12. 在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则的面积与的面积之比是
B. 若，则满足条件的三角形有两个
C. 若，则为等腰三角形
D. 若点是的重心，且，则为直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由奔驰定理及，即可判断A；由余弦定理即可判断B；由向量数量积的定义，诱导公式即可判断C；由三角形重心的性质和平面向量基本定理，即可判断D．
【详解】对于A，如图，点为内任意一点，延长交于点，则，则，
所以
所以，
所以，即，
又，
所以，故A正确；
对于B，由余弦定理得，即，
解得或（舍去），
所以满足条件的三角形只有一个，故B错误；
对于C，由得，，
所以，
因为，
所以，即，
所以为等腰三角形，故C正确；
对于D，因为点是的重心，
所以，即，
所以，即，
所以，解得，
因为，
所以，所以为直角三角形，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.
【详解】因为，则，可得，
即切点坐标为，斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
14. ______．
【答案】
【解析】
【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值.
【详解】
.
故.
故答案为：.
15. 函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，求出的取值范围，利用同角三角函数的平方关系得出，将函数解析式化简，利用判断原函数的单调性可得出该函数的值域.
【详解】设，
因为，则，
可知，
可得函数，
则对任意恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以该函数的值域为.
故答案为：.
16. 函数的最大值为，最小值为，若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．
【详解】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案：1．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）在中，，求边的长．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的坐标表示得到的解析式，化简得，由周期公式可解得，利用整体角的范围求解单调减区间即可；
（2）由整体角范围解三角方程可得，再由已知条件，结合正弦定理可求.
【小问1详解】
由题意得
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）知，，
则，由，得，
则，解得，
又由，得，已知，
则由正弦定理，
得.
18. 已知，且是偶函数．
（1）求的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值；
（2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值．
【小问1详解】
函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即 ，得，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，
所以实数的最大整数值为5.
19. 已知是方程的根．
（1）求的值；
（2）若是第四象限角，，求值．
【答案】（1）当在第三象限时，值为；当在第四象限时，值为.
（2）
【解析】
【分析】（1）解方程得的值，利用诱导公式和同角三角函数的关系，化简算式并求值；
（2），利用同角三角函数的关系与两角和的正弦公式计算.
【小问1详解】
方程，解得，，
由，得，
当在第三象限时，可得；当在第四象限时，可得，
，
所以，当在第三象限时， ；
当在第四象限时， ，
【小问2详解】
若是第四象限角，则，，
由，则，
所以
.
20. 南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
（1）求；
（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度；
（2）利用导数研究函数单调性求最值即可.
【小问1详解】
由题意知，，，
则，，
所以.
所以栈道总长度为
【小问2详解】
建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时， ，当时， ，
则在单调递减，在单调递增，
故，
此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
21. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）已知，利用面积公式和余弦定理化简，结合同角三角函数的平方关系，解出与，可求的值；
（2）由正弦定理和三角变换可得，根据角的范围，转化为求三角函数值域问题.
【小问1详解】
在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
【小问2详解】
，，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.
22. 已知函数为其导函数．
（1）求在上极值点的个数；
（2）若对恒成立，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数的单调性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.
【小问1详解】
①当时，，
所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，
所以在单调递减，
又，
故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，
所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
【小问2详解】
当时，恒成立，
即.
令，
若对恒成立，
由，，
所以当时，取得最小值.
由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数最小值点，
，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩，如等．