天津经济技术开发区国际学校2023--2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份天津经济技术开发区国际学校2023--2024学年九年级上学期期中数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．时，随的增大而减小 D．，函数有最小值
4．如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
5．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
6．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
7．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是的直径，是上的三点，点是的中点，点是上一动点，若的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，共18分）
13．点关于原点的对称点为点，则点的坐标为________．
14．一元二次方程，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
15．二次函数的图象的顶点为________．
16．已知的半径是，点与圆心的距离分别为．则点在________，点在________，点在________．
17．已知二次函数的图象与轴交于两点．若，则________．
18．如图，在中，，点是边上一动点，作于点，线段上存在一点，当的值取得最小值，且时，则________．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
19．解方程：（1）． （2）；
20．如图，在中，，．
（Ⅰ）求证：是等边三角形；
（Ⅱ）求的大小．
21．如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
22．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
23．某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y顶．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售头盔每月的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x取何值时，每月销售头盔的利润w有最大值？最大值是多少？
24．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为，记旋转角为．
图① 图② 图③
（Ⅰ）如图①，若，求的长；
（Ⅱ）如图②，若，求点的坐标；
（Ⅲ）如图③，为上一点，且，连接，在绕点逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
25．如图，已知二次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
（3）直线分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，求的值．
国际学校2023-2024（1）九年级数学学科期中学情调查卷
参考答案
一、选择题（本题共12小题，共36分）
1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．D 11．C 12．B
二、填空题（本题共6小题，共18分）
13． 14．2 15． 16．圆上 圆内 圆外 17． 18．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
19．【答案】（1）解：，
，
，
．
（2），
移项得：，
分解因式得：，
整理得：，
则或，
；
20．【解答】（Ⅰ）证明：，
，又，
是等边三角形；
（Ⅱ）是等边三角形，
，
．
21．解：设道路为x米宽，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去．
答：道路为宽．
22．【答案】（1）证明：为的中点，
，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．【答案】解：（1）；
（2）由题知
，
与之间的函数关系式为；
（3），
，
抛物线开口向下，
又，
当时，有最大值，最大值为9000．
即当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元．
24．【答案】解：（Ⅰ）如图①中，
图①
，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
（Ⅱ）如图②中，过点作于点．
图②
在中，，
，
；
（Ⅲ）存在．
理由：如图③-1中，当点落在的延长线上时，的面积最大．
图③-1
由题意，，
，
，
，
，
的面积的最大值．
如图③-2中，当点落在上时，的面积最小，最小值为．
图③-2
25．解：（1）将代入函数表达式，得
解得
这个二次函数的表达式是；
（2）当时，，即点，
设直线的表达式为，将点，点代入得解得
直线的表达式为，
过点作轴，交直线于点．
设点坐标为，
点坐标为，
，
，
，
当时，最大，最大值为；
（3）由题意得，，，
当时，
①，解得，
②，解得，
当时，，点与点重合，
；
当时，，
，解得或（舍），
当是等腰三角形时，的值为．