2024南京六校联合体高三上学期10月联合调研数学含解析

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2023.10
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12B. 24C. 30D. 32
3. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知角终边上有一点，则是（ ）
A 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
5. 已知直线和圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
6. 已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A. B. C. D. 7
7. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的一个周期为2
C.
D. 函数的图象关于直线对称
8. 已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 设复数满足，则下列说法错误是（ ）
A. 为纯虚数B. 的虚部为2i
C. 在复平面内，对应的点位于第二象限D. ＝
10. 已知向量，，且，则（ ）
A. B.
C. 向量与向量的夹角是D. 向量在向量上的投影向量坐标是
11. 已知函数，下列说法正确是（ ）
A. 函数的值域为
B. 若存在，使得对都有，则的最小值为
C. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D. 若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围为
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递增
B. 若的图象在处的切线与直线垂直，则实数
C. 当时，不存在极值
D 当时，有且仅有两个零点，且
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在的展开式中，的系数为______．
14. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.
15. 已知，若，，则实数的取值范围是______．
16. 在正三棱锥中，底面的边长为4，E为AD的中点，，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
18. 已知函数,
（1）求函数的最值；
（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的面积．
19. 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．

（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
21. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设.如果对任意，，求的取值范围．
22. 已知双曲线过点，离心率.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值.