冀教版九年级上册数学第二十三章数据分析（A卷-）含解析答案

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第二十三章数据分析（A卷-）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（    ）
A．3，4，7 B．7，24，25 C．，， D．3，-4，5
2．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（    ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
3．如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到．使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ）

A．2个 B．4个 C．5个 D．7个
8．如图，在中，，，点为边上一点，过点A作交延长线于点，若满足，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（　）

A．
B．

C．
D．

10．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④；⑤，其中正确结论有（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

评卷人
得分



二、填空题
11．如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为 ．

12．如图，中，，以为边作等边，过D作，交延长线于E，若，则______________．

13．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A，C，E共线．若cm，，则 cm2．

14．如图，是边长为2的等边三角形，直线经过顶点，且与边平行，在直线上有一点，当的值为 时，使得．

15．已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是 ．

16．如图，是等边三角形，为的中点，点在线段上，连接，以为边在的右下方作等边，的延长线交于，连，当点在线段上（不与，重合）运动时：

①与互补；②；③是定值；④是定值．
以上结论中正确的有 ．

评卷人
得分



三、解答题
17．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．

(1)若，则_________；
(2)若周长，，求的长．








18．如图，在等腰直角三角形中，，是斜边上任一点，于，交的延长线于，于，交于．求证：

(1)；
(2)．








19．如图，在ΔABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G．

(1)求证：CD=AB；
(2)若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．








20．如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．

(1)当时，判断的形状并说明理由；
(2)当的最小值为2时，此时 ；
(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．








21．【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．

(1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
∵，，，
∴
∴为 三角形
∴的度数为 ．
(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证．
(3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长．








22．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．

(1)求斜边的长和斜边上的高的长．
(2)当点P在上时．
①用含t的代数式表示的长为 ；
②若点P在的角平分线上，求t的值．
(3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．









评卷人
得分



四、计算题
23．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．
路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．

(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可．
【详解】A.因为,所以3，4，7不是勾股数；
B.因为,所以7，24，25是勾股数；
C.因为,所以，，不是勾股数；
D.因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用平方差公式计算是解题的关键．
2．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
3．C
【分析】根据等边三角形及为中线，可得：,,再根据含直角三角形的性质可得出，，即可得出答案．
【详解】解：在等边三角形ABC中，为中线，
∴,,
∴
∵,
∴,
∴
∴,
在中：,
∴，
在中,
∴，
∴．
故答案为：C．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
4．A
【分析】根据等边对等角得到，根据翻折的性质以及三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，进一步求出．
【详解】解：∵，
∴
∵将沿翻折得到，
∴，
∵，
∴，
故选：A
【点睛】此题考查翻折的性质，等边对等角，三角形外角性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质，等边对等角，三角形外角性质．
5．A
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则，，，，
因为，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
6．C
【分析】由题意可得：，，由旋转的性质可得，，，利用等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，
由旋转的性质可得：，
∴
∴
故选：C
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
7．C
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；
②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
8．C
【分析】延长、交于点，证，得，再证，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长、交于点，
，，
，，
，
∴，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．A
【分析】根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么．由，得．根据三角形外角的性质，由，得．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】解∶∵，，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
同理可得：．
…
以此类推，以为顶点的内角度数是．
∴以为顶点的内角度数是．
故选 A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
10．D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出，进而证得，故①正确；
连接，证明是的垂直平分线，可得，再由直角三角形的性质可得，可得到为等腰三角形，故②正确；
先证得，可得，可证得，可得到，故③正确；
由①知：，可得，故④正确；
由③知：，可得到，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，可得到，故⑤正确，即可．
【详解】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
连接，如图，

，
，
，
．
，
是的垂直平分线，
，
，
为斜边上的中线，
，
为等腰三角形，故②正确；
连接，如图，

，
，
，
．
在和中
，
，
，
，故③正确；
由①知：，
，
，故④正确；
由③知：，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，故⑤正确，
综上，正确的结论有：①②③④⑤，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据题意得到全等三角形是解题的关键．
11．6
【分析】根据角平分线的意义与平行线的性质，得出，再根据等腰三角形的性质得，即可得解．
【详解】解：点是的内角和外角的两条角平分线的交点，
，
，
，
，
，
，
即；
故答案为：6．
【点睛】此题考查了角平分线的意义、平行线的性质与等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质与判定进行逻辑推理是解答此题的关键．
12．7
【分析】首先作辅助线，延长 使得 ，连接 交CA的延长线于 ，再证明 ，利用 直角三角形的性质求 ，进而求得 ，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，延长 到 使得，连接 交CA的延长线于

是等边三角形
，


在 和 中


，

，




故答案为7．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、直角三角形 的性质、等边三角形的性质和判定，解题关键是做辅助线构建两三角形全等．
13．
【分析】作，，垂足分别为G、H，利用证明得到，，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出，,再根据等腰三角形的性质即可求出的长度，再结合三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：作，，垂足分别为、，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，

故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得是解决问题的关键．
14．2或4/4或2
【分析】在直线上分别截取，连接，根据等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：当或4时，使得，理由如下：
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
如下图，在直线上分别截取，点为中点，连接，

∴，
∵直线经过顶点，且与边平行，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，连接，

∵，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
∴当AP的值为2或4时，使得．
故答案为：2或4．
【点睛】本题主要考查了作图—尺规作图、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识．
15．4
【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，，，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图，

∵作点M、点Q关于的对称，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知：当时，最小，
∴根据作图可知此时：最小，且最小为，
∵，作点M、点Q关于的对称，，
∴，，
∴，
∵，
∴在中有：，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置．
16．①②③
【分析】在四边形中，运用对角互补，证得①正确；如图，在线段上截取，使得，证，推导出，，从而得到②③正确．
【详解】解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，
∴，
在四边形中，
∵，
又∵，，
∴，
即与互补，
选项①说法正确，符合题意；
如图，在线段上截取，使得，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
即，
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴
选项②说法正确，符合题意；
同理，如图，在线段上截取，使得，
②中已证，，
∴，
∵是等边三角形，为的中点，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
选项③说法正确，符合题意；
点在线段上运动，的延长线交于，
无法证明是定值，
选项④说法错误，不符合题意；
综上，说法正确的为①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，其中添加正确的辅助线是解题的关键．
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，，利用三角形内角和求出，再利用三角形外角和求出即可；
（2）根据得出的长，再推出，即可列式求解．
【详解】（1），，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵垂直平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵周长，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．
18．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的定义及各角之间的关系得出，然后利用全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的定义得出，，结合图形得出，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）∵等腰直角三角形
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，

∴；
（2）是等腰直角三角形，，
，．
，，
．
，，
．
在和中，
，
．
．
【点睛】本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
19．(1)见解析
(2)∠BCE =22°

【分析】（1）连接DE．由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=AB，即可得到CD=AB．
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质即可求得∠BCE的度数．
【详解】（1）如图，连接DE，
∵是的中点，DG⊥CE，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵是高，是中线，
∴是的斜边上的中线，
∴，
∴；

（2）∵DC=DE，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=66°，
∴∠BCE=22°．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确作出辅助线是解题关键．
20．(1)直角三角形
(2)3
(3)的度数是60°或105°

【分析】（1）证明即可解答；
（2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出，的值即可解答；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（2）解：当时，的值最小，如图，

在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
（3）解：的形状可以是等腰三角形，理由如下，
分三种情况：
①时，，
∴；
②时，，
∴；
③时，，
∴，点O与C重合，不合题意，
综上所述，的度数是60°或105°．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．(1)直角；
(2)见详解
(3)

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
（2）如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．证明，利用勾股定理证明即可．
（3）过点C作于T，连接，设交于O．证明是等腰直角三角形，，设，则，利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
∵，，，
∴，
∴为直角三角形．
∴的度数为．
故答案为：直角；．
（2）证明：如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由旋转的性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．

（3）解：过点C作于T，连接，设交于O．∵，，
∴，
∵， ，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得或（负值舍弃），
∴，
∴．

【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．(1)的长为10，斜边上的高为
(2)①；②
(3)t的值为4或5或或22

【分析】（1）根据勾股定理直接求出的值；设斜边上的高为h，由面积法可求得答案；
（2）①的长度等于和长度之和减去运动的路程，②过点P作，证明，用含t的代数式分别表示各线段，利用勾股定理解即可求得t的值；
（3）由图可知，当是等腰三角形时，点P必在线段或线段上，当点P在线段上时，分三种情况：，，，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
；
设边上的高为h，
则，
，
，
即斜边的长为10，斜边上的高为；
（2）解：①当点P在BC上时，点P运动的长度为，
则，
故答案为：；
②当点P在的角平分线上，过点P作，如图：

平分，，，
，
由①知，，
，，
在和中，
，
，
，
又 ，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：．
（3）解：由图可知，当是等腰三角形时，点P必在线段或线段上，
①当点P在线段上时，此时是等腰直角三角形，

则，
，
，即，
；
②当点P在线段上时，若，

则，
又点P运动的长度为，
；
若，如图，过点C作于点H，则，

在中，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
点P运动的长度为：，
；
若，如图所示，

则，
，
，，
，
，
，
，
又点P运动的长度为，
；
综上，t的值为4或5或或22．
【点睛】本题主要考查了三角形中的动点问题，涉及角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是掌握上述性质、定理，并熟练运用分类讨论思想．
23．(1)选择路线1较短，理由见解析
(2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析

【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可；
（2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可．
【详解】（1）解：剪开前，，，
∴，
剪开后，，，
∴；
∵
∴即所以选择路线1较短；
（2）解：①，
．
②，
∴即所以选择路线2较短．
【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．