初中冀教版24.1 一元二次方程精品一课一练

这是一份初中冀教版24.1 一元二次方程精品一课一练，共25页。试卷主要包含了将个数，，，记成，对于一元二次方程，下列说法等内容，欢迎下载使用。


1．已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
2．用配方法解方程，经过配方可转化为（ ）
A．B．C．D．
3．有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．B．
C．D．
5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
6．将个数，，，记成：定义，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
7．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长
8．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（ ）
A．sB．5sC．4sD．3s
9．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有①B．只有①②C．①②③D．只有①②④
10．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
11．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
12．已知三角形两边的长分别是8和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
13．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有 支球队．
14．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是 ．
15．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则与数量关系是 ．
16．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，例如：，若，当y＝4则x＝ ．
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．已知：关于x的方程．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程的一个根小于1，求k的取值范围．
19．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是，请回答下列问题：
(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg；
(2)从第二次降价的第1天算起，第天（为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为元/kg，设销售该水果第天（）的利润为元，求的值．
20．阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下：



(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解．
(2)拓展：当代数式时，求的值．
21．某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，销量比第一周增加了2m个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m的值．
22．如图1，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点P的速度为每秒，运动时间为x秒，如图1是的面积与x（秒）的图像．
(1)______时间段内点P在线段上运动；______时间段内点P在线段上运动；
(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的______；______；______；图2中的______；
(3)当点P运动______秒时，．
23．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；
②求线段DB的长度．
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到，连接，．若平移后的四边形是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段的长）为______．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
时间/天
销量/kg
储藏和损耗费用/元
参考答案：
1．D
【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，则可表示出m3=2m-1，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，
∴m2+m-1=0，
∴m2=-m+1，
∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1
∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．B
【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可.
【详解】解：
移项得：
两边都加4得：

故选：B.
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
3．A
【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有（x+1）人感染,则经过第二轮有 人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程．
【详解】解：由题可知1+x+x（1+ x）=100．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键．
4．B
【分析】根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】解：设房价定为x元，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是关键．
5．A
【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可．
【详解】解：对于一元二次方程即，
设t＝x＋2，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根为x＝2020，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．C
【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可．
【详解】解：∵
∴2x2−4x=-3，
即，
∵b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8﹤0，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化．
7．B
【分析】由勾股定理可得：整理可得从而可得答案.
【详解】解： ∠C＝90°，AC＝，BC＝b，AD＝AC，

整理得：
而x2+ax＝b2，
方程的一个正根为线段BD的长，
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.
8．D
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×(8−t)×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故答案为:D
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
9．D
【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．
【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．
10．A
【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
11．4
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，
由题意得
解得或（舍去）
所以，每轮传染中平均一个人传染了4人
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．或24
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=2，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：x2-16x+60=0，
（x-6）（x-10）=0，
x-6=0或x-10=0，
所以x1=6，x2=10，
当第三边长为6时，三角形为腰是6，底为8的等腰三角形，
则底边上的高==2，
此时三角形的面积==；
当第三边长为10时，∵62+82=102,
∴三角形为直角三角形，
此时三角形的面积=×8×6=24．
故答案为：或24
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系，勾股定理及其逆定理．
13．4
【分析】设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为场，根据×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
14．/
【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出解方程即可．
【详解】解：∵阴影部分的面积为50，
∴
即75=（x+5）2，
解得
∴x的正数解为：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．
15．
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．
【详解】解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，
整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab，
则a2-b2+ab=0，
方程两边同时除以b2，
则，
解得：，
∵不能为负，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题
16．-1或2/2或-1
【分析】首先根据题意，进而可得max{（x﹣1）2，x2}＝4时分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【详解】∵max{（x﹣1）2，x2}＝4，
解得
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为4，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则x2＝4，
解得：x1＝-2（不合题意，舍去），x2＝2，
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x﹣1＝2，x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝-1，x2＝3（不合题意，舍去），
综上所述：x的值为：2或﹣1．
故答案为2或﹣1．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用配方法解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：原方程可化为，
配方得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．
18．(1)有两个实数根
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；
（2）由一元二次方程的求根公式可得，，分和两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ≥0．
∴原方程有两个实数根．
（2）解：∵，
其中，，，，
∵
∴，
若，
则，
∵该方程的一个根小于1，
∴，即，
这与矛盾，应舍去；
若，
则，
∵该方程的一个根小于1，
∴，即，符合题意，
综上，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据“水果店标价为元/kg的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是”,即可求出答案；
（2）利用当天销售该水果获得的利润＝每斤的利润×当天的销售量－储藏和损耗费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出x的值为．
（1）
解：根据题意得，
两次降价后的价格为元/千克，
故答案为：．
（2）
解：根据题意得，
，
整理得：，
∴，，
又∵，
∴x的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．(1)
(2)1或-3
【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；
（2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可．
【详解】（1）解：



；
（2）解：



，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式．
21．(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元
(2)15
【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+）+（100-m-80）×（150+2m）=13200，
整理得：m2-15m=0，
解得：m1=15，m2=0（舍去）．
答：m的值为15．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．(1)0到2；2到5
(2)2；3；1；3
(3)3
【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，即可求解；
（2）从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即可求解；
（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．
【详解】（1）解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，
故答案为：0到2；2到5；
（2）解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），
当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，
即m＝S＝×AB•BC＝×2×3＝3（cm2），
故答案为：2，3，1，3；
（3）解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，
此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，
则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，
当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
23．(1)①是；②BD=
(2)4或5或 或
【分析】（1）①“等邻边四边形”的定义判断即可；
②根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论；
（2）根据由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．
【详解】（1）解：①四边形ACBD是等邻边四边形，
理由：∵将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，
∴AC=AD，
∴四边形ACBD是等邻边四边形；
故答案为：是；
②如图1，
过D作DH⊥BC于H，
则∠DHC=∠DHB=90°，
∵将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AC=4，∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCH=30°，
∴DH=CD=2，CH==2，
∵BC=3，
∴BH=，
∴BD=；
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，
（I）如图1，
当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=4；
（II）如图2，
当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；
（III）当A′C′=BC′=5时，
如图3，
延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=∠ABB′=45°，
∴B′D=BD，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+3，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2，
∴x2+（x+3）2=52，
解得：x=（负值已舍），
∴BB′=x=；
（Ⅳ）当BC′=AB=4时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+C′D2=BC′2，
设B′D=BD=x，
则x2+（x+3）2=42，
解得：x=（负值已舍），
∴BB′=x=，
综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5或或，
故答案为：4或5或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，新定义类探究题，主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键．