冀教版九年级上册数学第二十五章图形的相似（A卷）含解析答案

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第二十四章图形的相似（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ）
A． B． C． D．
2．如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（    ）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例．如果某面国旗长为2米．则其宽约为（    ）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
4．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，DEBC，EFAB，若AD＝3，BD＝4，CF＝2，则BF的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
6．已知正方形，E是的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出与相似的是（　　）

A． B．
C．P是BC的中点 D．
7．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ）

A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
8．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ）

A． B． C． D．
9．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（    ）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
11．已知，若，则 ．
12．已知三角形甲各边的比为，和它相似的三角形乙的最大边为，则三角形乙的最短边为 .
13．如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是 ．（写出一个即可）

14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ．

15．如图，正方形城邑的四面正中各有城门，出北门20步的A处（步）有一树木，由南门14步到C处（步），再向西行1775步到B处（步），正好看到A处的树木（点D在直线上），则城邑的边长为 步．

16．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且，，若，，则BD的长为 ．


评卷人
得分



三、解答题
17．如图，直线，直线AC分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F，若，，，求线段AC长．









18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F．请找出一对相似三角形，并加以证明．









19．如图，在的正方形方格中，的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，D在边格点上，请用无刻度直尺在边上找点E，使得与相似．









20．如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．









21．如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．



(1)问题产生∶若P为中点，当时，                     ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．









评卷人
得分



四、作图题
22．如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．

(1)在图中标出与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
(2)若以点O为位似中心，与是位似图形，且与的位似比为，则满足条件的点坐标为______．
(3)请你帮小华在图中给定的网格内画出．
23．如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形．

(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）
请你继续解决下列问题：
(2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；
(3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得．
【详解】解：∵，，，成比例线段，
∴可得：，
又∵，，，
∴，
解得：，
∴线段的长为．
故选：B
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键．
2．B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，即可得到AB∥CD，AD∥BC，则△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，进而可以得到△EAB∽△AFD．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD，
故选B．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．B
【分析】由黄金分割的定义和黄金比代入计算即可
【详解】解：由题意得：国旗的宽约为（米，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
4．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
5．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：∵DEBC，EFAB，

，
∵
∴，即．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，掌握这一定理是解题得关键．
6．C
【分析】利用相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵E为中点，
∴，即，
当时，结合，
∴，故选项A不符合题意；
由，可得，
∵，
∴，故选项B不符合题意；
当时，则有，且，
∴，结合∠B=∠C，
∴，故选项D不符合题意；
当P是BC中点时，则有BC=2PC，可知PC=CE，
则为等腰直角三角形，
而BP≠AB，即不是等腰直角三角形，
故不能推出与相似，故C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
7．A
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，

∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
9．A
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，可得AF=4，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△CAF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【详解】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AF=4，BE=DG=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，，
∴△BCE≌△CAF，
∴CF=BE=3，
∴AC==5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴，即，
解得：CD=，
∴BD==．

故选：A．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
10．A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，，的长，从而可发现规律，根据规律即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴，
∴．
∵按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形ADCB的边长的比为，
即，
∴，
∴ ，
依此类推，．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
11．
【分析】根据已知，用表示、表示、表示，然后代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解本题的关键．
12．5
【分析】根据相似三角形的性质，设三角形乙最短边是x，由，即可求出最短边.
【详解】解：∵三角形甲与三角形乙相似，
∴三角形乙的各边之比为：，
设三角形乙最短边为x，则有，
解得：，
故答案为5.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的相似比等于边长之比.
13．（答案不唯一）
【分析】和有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．
【详解】解：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用和的公共角是关键．
14．
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：

∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点，
∴OA=10，
∵，
∴，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即，
∴，
∴BC=4，
∴点B的坐标为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15．250
【分析】设城邑的边长为x步，利用相似三角形的性质解题，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
【详解】解：设城邑的边长为x步，根据题意，
∵Rt△AHD∽Rt△ACB，
∴ ，
即，
解得x1＝250，x2＝−284（不合题意，舍去），
∴城邑的边长为250步．
故答案为：250．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，此类题目只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求解．
16．9
【分析】根据，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：9
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
17．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，根据，，，得出BC的长，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据得出，是解题的关键．
18．见解析．
【分析】选择△ABF∽△DEF，根据四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD，再由平行线的性质得出∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，据此可得出结论．
【详解】解①选择：△ABF∽△DEF
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABF＝∠E，∠A＝∠FDE，
∴△ABF∽△DEF．
②选择：△EDF∽△ECB
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠C＝∠FDE．
又∵∠E＝∠E，
∴△EDF∽△ECB．
③选择：△ABF∽△CEB
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A＝∠C．
∴∠ABF＝∠E．
∴△ABF∽△CEB．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是找出熟知相似三角形的判定方法．
19．见解析
【分析】以或两种情况进行分类讨论．利用相似比确定E点即可．
【详解】解：①，
由图可知：，
∴，
∴；
如图：

②，
由图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图：

【点睛】本题考查根据相似三角形确定点的位置．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
20．当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米
【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得，得，再根据面积列出，求出x即可．
【详解】解：设DE的长为x，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DG
∴，
∴，
∴，
∴矩形DEFG面积为：，
解得：x＝30或50，
EF＝DG＝62.5或37.5．
∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．
21．(1)
(2)不变，证明见解析；
(3)或

【分析】（1）通过P为中点，，可以得到：，进而得到是的中位线，利用中位线定理即可得解；
（2）过点作，得到是的中位线，得到，证明，得到，即可得证；
（3）当，利用，得到点C、D、P、E共圆，得到，证明，利用相似比即可得解，当时，可以得到点是的中点，即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴，
∵P为中点，
∴，
∴；
（2）不变，理由如下：
过点作，
则，
∵P为中点，

∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的值不变；

（3）如图2，连接 ，
∵，
∴ ，
当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

如图3，当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，

综上所述：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．
22．(1)见解析
(2)或
(3)见解析

【分析】（1）对应点连接的交点即为位似中心；
（2）利用方格特点，在直线上找出点使得，写出点坐标即可；
（3）利用位似性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为；

（2）解：在直线上找出点使得，
当点在第三象限时，坐标为，
当点在第一象限时，坐标为，
即满足条件的点坐标为或；
（3）解：当点在第三象限时，如下图所示：

当点在第一象限时，如下图所示：

【点睛】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）．
23．(1)，；
(2)存在，理由见解析；
(3)不存在，理由见解析．

【分析】（1）根据题意所列方程，解一元二次方程可得 从而可得答案；
（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，再判断方程是否有解即可得到结论；
（3）利用两个正方形是相似图形，则周长之比与面积之比不相等，从而可得答案．
【详解】（1）解：由题意，得，消去y得：
，
则，
∴
∴，；
当时，
当时，，
所以方程组的解为：或
∴满足要求的矩形B存在，边长分别为：．
（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，
消去y可得，
∵，
∴，
∴
∴存在“减半”矩形；
（3）不存在．理由如下：
因为两个正方形是相似图形，
当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，方程组的解法，相似图形的判定与性质，理解题意，建立合适的数学模型解题是解本题的关键．